數長方形
例1 如下圖，數一數下列各圖中長方形的個數？
分析： 圖（Ⅰ）中長方形的個數與AB邊上所分成的線段的 條數有關，每一條線段對應一個長方形，所以長方形的個數等 於AB邊 上線段的條數，即長方形個數為：
4+3+2+1=10（個）.
圖（Ⅱ）中AB邊上共有線段4+3+2+1=10條. BC邊上
共有線段：2+1=3（條），把AB上的每一條線段作為長，BC邊上每一條線段作為寬，每一個長配一個寬，就組成一個長方形，所以圖（Ⅱ）中共有長方形為：
（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（個）.
圖（Ⅲ）中，依據計算圖（Ⅱ）中長方形個數的方法：可得長方形個數為：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（個）.
解：圖（Ⅰ）中長方形個數為
4+3+2+1=10（個）.
圖（Ⅱ）中長方形個數為：
（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（個）.
圖（Ⅲ）中長方形個數為：
（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（個）.
小結：一般情況下，如果有類似圖Ⅲ的任一個長方形一邊上有n-1個分點（不包括這條邊的兩個端點），另一邊上有m-1個分點（不包括這條邊上的兩個端點），通過這些點分別作對邊的平行線且與另一邊相交，這兩組平行線將長方形分為許多長方形，這時長方形的總數為：
（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.
例2 如右圖數一數圖中長方形的個數.
解：AB邊上分成的線段有：5+4+3+2+1=15.
BC邊上分成的線段有：3+2+1=6.
所以共有長方形：
（5+4+3+2+1）×（3+2+1）
=15×6
=90（個）.
數正方形
例3 數一數下頁各個圖中所有正方形的個數.（每個小方格為邊長為1的正方形）
分析：圖Ⅰ中，邊長為1個長度單位的正方形有：2×2=4（個），
邊長為2個長度單位的正方形有：1×1=1（個）.
所以，正方形總數為1×1+2×2=1+4=5（個）.
圖Ⅱ中，邊長為1個長度單位的正方形有3×3=9（個）；
邊長為2個長度單位的正方形有：2×2=4（個）；
邊長為3個長度單位的正方形有1×1=1（個）.
所以，正方形的總數為：1×1+2×2+3×3=14（個）.
圖Ⅲ中，邊長為1個長度單位的正方形有：4×4=16（個）；
邊長為2個長度單位的正方形有：3×3=9（個）；
邊長為3個長度單位的正方形有：2×2=4（個）；
邊長為4個長度單位的正方形有：1×1=1（個）；
所以，正方形的總數為：1×1+2×2+3×3+4×4=30（個）.
圖Ⅳ中，邊長為1個長度單位的正方形有：5×5=25（個）；
邊長為2個長度單位的正方形有：4×4=16（個）；
邊長為3個長度單位的正方形有：3×3=9（個）；
邊長為4個長度單位的正方形有：2×2=4（個）；
邊長為5個長度單位的正方形有：1×1=1（個）.
所有正方形個數為：
1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（個）.
小結：一般地，如果類似圖Ⅳ中，一個大正方形的邊長是n個長度單位，那麼其中邊長為1個長度單位的正方形個數有：n×n=n2（個），邊長為2個長度單位的正方形個數有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（個）…；邊長為（n-1）個長度單位的正方形個數有：2×2=22（個），邊長為n個長度單位的正方形個數有：1×1=1（個）.所以，這個大正方形內所有正方形總數為：12+22+32+…+n2（個）.
例4 如右圖，數一數圖中有多少個正方形（其中每個小方格都是邊長為1個長度單位的正方形）.
分析：為敘述方便，我們規定最小正方形的邊長為1個長度單位，又稱為基本線段，圖中共有五類正方形.
①以一條基本線段為邊的正方形個數共有：
6×5=30（個）.
②以二條基本線段為邊的正方形個數共有：
5×4=20（個）.
③以三條基本線段為邊的正方形個數共有：
4×3=12（個）.
④以四條基本線段為邊的正方形個數共有：
3×2=6（個）.
⑤以五條基本線段為邊的正方形個數共有：
2×1=2（個）.
所以，正方形總數為：
6×5+5×4+4×3+3×2+2×1
=30+20+12+6+2=70（個）.
小結：一般情況下，若一長方形的長被分成m等份，寬被分成n等份，（長和寬上的每一份是相等的）那麼正方形的總數為（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1
顯然例4是結論的特殊情況.
例5 如下圖，平面上有16個點，每個點上都釘上釘子，形成4×4的正方形釘陣，現有許多皮筋，問能套出多少個正方形.
分析 這個問題與前面數正方形的個數是不同的，因為正方形的邊不是先畫好的，而是要我們去確定的，所以如何確定正方形的邊長及頂點，這是我們首先要思考的問題.很明顯，我們能圍成上圖Ⅰ那樣正向正方形14個，除此之外我們還能圍出圖Ⅱ那樣斜向正方形4個，圖Ⅲ那樣斜向正方形2個.但我們不可能再圍出比它們更小或更大的斜向正方形，所以斜向正方形一共有4+2=6個，總共可以圍出正方形有：14+6=20（個）.
我們把上述結果列表分析可知，對於n×n個頂點，
可作出斜向正方形的個數恰好等於（n-1）×（n-1）個頂點時的所有正方形的總數.
數三角形
例6 如右圖，數一數圖中三角形的個數.
分析 這樣的圖形只能分類數，可以採用類似數正方形的方法，從邊長為一條基本線段的最小三角形開始.
Ⅰ.以一條基本線段為邊的三角形：
①尖朝上的三角形共有四層，它們的總數為：
W①上=1+2+3+4=10（個）.
②尖朝下的三角形共有三層，它們的總數為：
W①下=1+2+3=6（個）.
Ⅱ.以兩條基本線段為邊的三角形：
①尖朝上的三角形共有三層，它們的總數為：
W②上=1+2+3=6（個）.
②尖朝下的三角形只有一個，記為W②下=1（個）.
Ⅲ.以三條基本線段為邊的三角形：
①尖朝上的三角形共有二層，它們的總數為：
W③上=1+2=3（個）.
②尖朝下的三角形零個，記為W③下=0（個）.
Ⅳ.以四條基本線段為邊的三角形，只有一個，記為：
W④上=1（個）.
所以三角形的總數是10+6+6+1+3+1=27（個）.
我們還可以按另一種分類情況計算三角形的個數，即按尖朝上與尖朝下的三角形的兩種分類情況計算三角形個數.
Ⅰ.尖朝上的三角形共有四種：
W①下=1+2+3+4=10
W②上=1+2+3=6
W③上=1+2=3
W④上=1
所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（個）.
Ⅱ.尖朝下的三角形共有二種：
W①下=1+2+3=6
W②下=1
W③下=0
W④下=0
則尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（個）
所以，尖朝上與尖朝下的三角形一共有：
20+7=27（個）.
小結：尖朝上的三角形共有四種.每一種尖朝上的三角形個數都是由1開始的連續自然數的和，其中連續自然數最多的和中最大的加數就是三角形每邊被分成的基本線段的條數，依次各個連續自然數的和都比上一次少一個最大的加數，直到1為止.
尖朝下的三角形的個數也是從1開始的連續自然數的和，它的第一個和恰是尖朝上的第二個和，依次各個和都比上一個和少最大的兩個加數，以此類推直到零為止.
例7 頁圖數一數圖中有多少個三角形.
解：參考例6所總結的規律把圖中三角形分成尖朝上和尖朝下的兩類：
Ⅰ.尖朝上的三角形有五種：
（1）W①上=8+7+6+5+4=30
（2）W②上=7+6+5+4=22
（3）W③上=6+5+4=15
（4）W④上=5+4=9
（5）W⑤上=4
∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80（個）.
Ⅱ.尖朝下的三角形有四種：
（1）W①下=3+4+5+6+7=25
（2）W②下=2+3+4+5=14
（3）W③下=1+2+3=6
（4）W④下=1
尖朝下的三角形共有 25+14+6+1=46（個）.
所以尖朝上與尖朝下的三角形總共有
80+46=126（個）
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