題目：猜帽子顏色 （難度：4）
在一個遊戲中，13個人圍成一圈。有紅、藍、黃、黑4種顏色的帽子各4頂，將帽子每人一頂隨機發給這13個人，讓他們戴在頭上，最後剩下3頂。
每個人都看不到自己的帽子，也不知道剩下3頂帽子的顏色，但能看到另外9個人的帽子。
遊戲規則是：主持人提問“誰能猜出自己頭上帽子的顏色請舉手？”如果沒有人舉手，主持人將會一直重複同樣的問題，直到有人舉手為止。
請問主持人最多提問到第幾次，一定有人舉手？
解析：
用假設法和遞推法解題。從主持人第一次提問開始，假設沒有人能舉手表示猜出帽子顏色，再推導出其充要條件，如果該充要條件有可能存在，證明假設成立。再進入第二次提問的假設和推導……每次都假設沒有人猜出帽子顏色，直到某次假設被證明無法成立，該提問次數也就是問題的答案。
主持人第一次提問時，如果有人能猜出自己帽子顏色，那一定是他看到另外12人頭上的帽子加起來只有3種顏色（每種顏色各4頂），他才能夠猜出自己帽子是另外一種顏色。現在我們假設沒有人能猜出帽子顏色，也就是每個人看到另外12人的帽子加起來必然4色俱全（每種顏色至少1頂）。那麼，13個人的帽子加起來就是4色俱全，且每種顏色至少2頂。（為什麼至少2頂呢？因為如果13個人中某種顏色的帽子只有1頂，它的佩戴者看到另外12人的帽子就只有3種顏色了。以下類似情況同此理。）
根據假設，第一次提問之後，沒有人能猜出帽子顏色。所有人由此得到一個推論：這13頂帽子裡，4種顏色中每一種都不少於2頂（記為推論A）。
現在進入第二次提問。如果有人能猜出帽子顏色，根據推論A，他一定是看到另外12頂帽子裡某種顏色的帽子只有1頂，他才能猜出自己帽子的顏色與之相同。我們假設沒有人能猜出帽子顏色，也就是每人看到另外12頂帽子裡每種顏色至少2頂。
那麼，當第二次提問大家都表示猜不出帽子顏色時，所有人都確信：這13頂帽子裡，4種顏色中每一種都不少於3頂（將此信息記為推論B）。根據題意，推論B的情況是有可能出現的。
接下來進入第三次提問。如果有人能猜出帽子顏色，根據推論B，他一定是看到另外12頂帽子裡有某種顏色的帽子只有2頂，他才能夠猜出自己帽子的顏色與之相同。我們假設沒有人能猜出帽子顏色，也就是每人看到另外12頂帽子裡每種顏色至少3頂。這種情況是否有可能出現呢？我們先設想13個人中某人剛好看到另外12頂帽子裡每種顏色都是3頂。那麼另外12人中，只有跟他帽子顏色相同的人才能看到同樣的情景。跟他帽子顏色不同的人，無法看到12頂帽子裡每種顏色都是3頂。故此，“第三次提問時沒有人能猜出帽子顏色”的假設成立的充要條件一定無法滿足，此假設不成立。
因此，如果有第三次提問，必然有人能猜出帽子顏色。
答案：
第三次。
啟發：
不就是重複提問嗎，問一次不知道，難道問多幾次就清楚了？對！這就是邏輯推理的奇妙之處，也是它引人入勝的地方。
對於某個人來說，自己表示“猜不出”並沒有任何意義。但不要忘了，他同時還獲得另外12人表達的信息，這些信息與他的目標答案存在邏輯關聯。隨著提問次數的遞增，個人獲得的信息不斷積累，量變最終導致質變，問題的答案終究水落石出。
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