myw58
1的阶乘等于1，0的阶乘也等于1，1的阶乘和0的阶乘相等，这不是互相矛盾吗？0的阶乘为什么等于1？因为这是人为定义的，是一种特殊形式的阶乘记号。
通常我们所说的阶乘是指所有小于及等于该数的正整数的积，即n!=1×2×3×……×n。由于在计算过程中经常会遇到零的阶乘无意义的情况，于是为了计算方便，才规定0的阶乘为1。如果我们把阶乘从正整数拓展到实数乃至复数领域，就形成了广义阶乘的概念。
在数学上，像这种人为规定的例子还很多。比如我们规定0为自然数。0为什么是自然数？像这种问题，在数学上是无法给出证明的。为了学习使用方便，我们通常规定负数无对数，其实在复数领域，负数也有对数。
再举一个比较贴切的例子。对于单项式，单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。只含有一个字母的单项式，它的次数就是1。但是单独一个数也是单项式，于是我们又规定单独一个数看成单项式时，它的次数为0。任何数（零除外）的0次方不是等于1吗？逻辑上看似有问题，不过这并不打紧，因为这只是人为规定的。
不过我们可以问为什么数学家会这样规定？给零的阶乘下定义只是为了让相关数学公式的表述及运算更方便，事实证明这是有必要的，而且在逻辑上也并没有什么问题。
科学探索菌
0！＝1.
由于以前没有把阶乘拓宽，高中数学书上只是作了硬性的规定。
其实，拓宽到负整数阶乘以后，自然而然的就解释了0的阶乘等于1.
就是：
因为(-1)！=-1*-2*-3*-4*-5*...
0*(-1)！＝1.
所以0！＝1.
详见《张氏数演奕》之《张氏阶乘数》
创新数
阶乘最初是定义在自然数域，n！=1*2*…*n。这个很好理解。搞数学的都喜欢扩张领域，那阶乘！能不能推广到自然数以外呢？
很显然，阶乘的实质很容易提炼出一个递推公式：（n+1）！=（n+1）*n！
那么把n=0代入，有1！=1*0！，这就是0！=1的由来。
当然当我们想继续推广时会发现负整数的阶乘没法定义，按上述递推公式，负整数的阶乘应该在±∞交错。
但如果你以为数学家们就此止步了，呵呵…
【前方高能预警】！！！
欧拉（又是他！）首先开始考虑把阶乘推广到实数域乃至复数。出发点仍然是那个递推公式：
F（x+1）=（x+1）*F（x），此外有F（0）=1。
如果只考虑初等函数自然是不太可能的，但作为一个“把微积分从婴儿一手带大”（伯努利语）的大神，欧拉的武器库早就不是冷兵器时代。
其实这个可以作为大学生一个特别好的微积分延展学习。如果给出提示：用含参数x的积分式来定义F，利用分部积分来满足递推公式。聪明的数学专业学生就应该想到使用两个经典函数：
- 以x为指数的幂函数积分（产生递推因子x）。
- 还有自然常数的指函数（积分不动点）。
从而有机会自己想出下面的公式：
x！=F（x）=∫yˣe⁻ʸdy，对y从0到+∞积分。
不难证明这个积分式满足阶乘的递推公式，而且可以推广到整个实数域甚至复数域。而且很明显，除了负整数积分不收敛之外，其它都有确定值。
帖木兒
答：对阶乘进行解析延拓后，就能得到著名的伽马函数，我们根据伽马函数，就可以得到"0！=1"。
阶乘
阶乘是指所有小于以及等于某个数的正整数之积，记为：
n！=1×2×3×……×n；
在排列组合中我们经常遇到阶乘运算，比如5个人按照顺序进行排队的话，就有“5！=120种”排列方法。
按照阶乘的定义，我们很容易得出这么一个结论：
（n+1）!=(n+1)*n!，其中n≥1且为整数；
至于n=0的情况，超出了阶乘的定义范围，但是我们为了让上面式子继续成立，我们强行把n=0带进去有：
（0+1）！=（0+1）*0！
由于1！=1，所以我们得出0！=1的结论，大家要注意了，这只是一个试探性的结论，不过我们为了保证数学公式的连续性，完全可以定义：
0！=1
这样的话，对于阶乘来说，我们就能把定义域再加上一个“0”；那么0的阶乘等于零又有何意义呢？这样的定义是否合理？
伽马函数
对于0的阶乘等于零，更严谨的证明需要用到伽马函数Γ（n）：
这是大数学家欧拉在1729年，经过解析延拓后得到的函数，也是对阶乘函数的扩展，这个函数拥有一个非常有趣的性质：
Γ（n+1）=nΓ（n），其中n>0；
于是我们很容易得到：
对于最后一个公式，当n=1时：
Γ（1）=（1-1）！=0！=1
得证！
伽马函数的定义域不在仅限于整数，对于非整数也是成立的，如果利用伽马函数的递归公式，还可以把伽马函数的定义域扩展到负数上。
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艾伯史密斯
从阶乘的定义出发。从阶乘表达式n！=n×（n-1）!中，知道一个数的阶乘是递推定义的。比如要计算一个任意的整数m的阶乘，我们就把m作为初值，计算m!=m×（m-1）!。
同样的，当m=l时，m！=1!=1×0!=1，取等式中最后一个等号的两边，即1×0!=1，这个等式两边同时约去1，就得到如下结果：0!=1。
阶乘的计算方法是1乘以2乘以3乘以4，一直乘到所要求的数。例如所要求的数是6，则阶乘式是1×2×3×…×6，得到的积是720，720就是6的阶乘。
如果所要求的数是n，则阶乘式是1×2×3×…×n，设得到的积是x，x就是n的阶乘。任何大于1的自然数n的阶乘的表示方法是：n！=1×2×3×……×n或n！=n×（n-1）!。
懂小姐的先生
在自然数域中，阶乘时递减至1为止，不是至0为止。O乘以任何数均为0。在自然数域内不存在O的阶乘。严格地讲，O并不具有自然数的性质，把O当自然数推演，要小心引出悖论。＜例＞。O×1＝O，0×2＝O。O×1＝0×2。左右消去”等值数0＂，得l＝2。？？演算过程无误，关键是概念错误。所以特别提醒年轻朋友，在涉及数理力学科时，要牢固把握＂基本概念＂。粗略看过几位朋友的论式，其实都在于没搞请0的本质，把它当自然数去推演。另外，阶乘运算只在自然数域，没有1.5！或（一1）！的说法。建议对数学有兴趣的朋友，手边常备一册中小型《数学手册》。
王祖荫1
你学过算法没，求多个数的和时首先置变量为O，再s=s+n，而求多个数的积时，首先置变量为1，再s＝s*n，这样才保证s不会为O，阶乘显然是积的形式，只能置初始变量为1
虹子69085567
0！本身没有意义，但是在计算过程中又需要使用它，就补充定义了0！=1，仅此而已。有些人胡乱发挥想当然。
星43849490
1是表示你有一种选择，0是表示没有选择，而没有选择就是你唯一的选择！
晓春796
阶乘只是噶嘛函数的特例
