爱数学做数学
我认为这个问题极具教研价值。在我的教学生涯中，每当在教到这个章节时，特别是多边形外角和时，必然要牵扯到多边形外角的个数问题？虽然没有学生当面质疑，但总觉得少数学生没有心服，只有口服。这是教师在教学时常面临的两难：不提不知道，提出更困惑。明知少数爱思考的学生可能会困惑，但限于大多数学生知识和认知的局限，教师不会主动提出（除非有学生主动提出），以免引起更多人认知上的困惑。
看罢题主的描述，我认为师生的交锋分两轮：
第一轮：
老师认为：三角形有三个外角。
学生认为：三角形有六个外角。
第二轮：
师生都认为：三角形的外角和等于三角形所有外角的和。
但因为师生第一轮认知冲突，导致第二轮表面看起来好像师生达成共识，其实不然！师生对“所有”二字的理解，显然是不同的。老师理解的“所有”是“三个”，学生理解的“所有”是“六个”。
争议的焦点在于：1.三角形到底有几个外角？2.三角形的外角和是指三角形所有外角的和吗？并由此联想到：n边形到底有几个外角？ n边形的外角和是指n边形所有外角的和吗？
任何新概念的引入都是在已有认知基础之上的。无论是三角形的外角，还是三角形的外角和，它们都来源于已有的认知（相对应于三角形的内角、三角形的内角和）。原有的认知对新概念的建立产生的影响，有时候是积极的，起促进作用；有时候是消极的，有干扰作用。教学的最理想的状态，就是能够引起学生的认知上冲突，在最近发展区调动学生学习的积极性，发挥其潜能，扩大已有认知的积极影响，克服消极影响，从而超越最近发展区，进入一个发展阶段。对学生是这样，有时候对教师也是这样的！所谓教学相长，意即如此。本文师生的两轮交锋就是实现这种教学状态难得的教学资源。
1.三角形到底有几个外角？
三角形的到底有几条边，几个内角？
----图1----
三角形有三个顶点，三条边，三个内角。顶点数，边数，内角个数是一一对应的关系，这是不争的事实。
但是，学生对三角形的边，内角的认知，是以对线段，角的认知为基础的。如果学生对线段和角的认知出现偏差，就会产生如下认识：比如，有学生认为三角形有六条边，六个内角。
其理由是：按照定义，三角形相邻两个顶点所连的线段，叫做三角形的边；三角形相邻两边组成的角，叫三角形的内角。
△ABC中，三个顶点A，B，C，显然可以连出六条线段：AB，BA；AC，CA；BC，CB，因而三角形有六条边。
同样地，三角形相邻两边组成的角有六个：∠BAC,∠CAB；∠ABC,∠CBA；∠ACB,∠BCA，因而三角形有六个内角。
作为老师，如何回应这样的质疑？
不外乎从两个方面：
（1）仅从A，B，C三个字母的排列方式（有序）来说，其排列方式有六种：AB，BA；AC，CA；BC，CB，这无疑是正确的。但是把这种理解迁移到对三角形边的理解，就是负迁移了，就产生抑制和干扰了。因为三角形的边只能用A，B，C三个字母的组合（无序）方式来理解。A，B，C组合方式只有三种AB，BC，CA。因为要用到排列与组合，这样的解释很显然不适合初中生。
（2）结合图形（很重要！），已有的认知：线段是没有方向的（无序），线段AB和线段BA是同一条线段（从图形看，它们是完全重合的！），其他同理。因而，由三个顶点A，B，C，任意两个顶点连线段，有且只有三条线段AB，BC，CA，因而三角形有且只有三条边。该同学所说的六条，其实只有三条。从计数原则来说，他重复计数了。同样的解释，适合于内角。甲边与乙边组成的角，其组成方式是无序的！从甲到乙还是从乙到甲组成的都是同一个角。因而该同学所说的六个角，其实一半是重复的，所以三角形有且只有三个内角。
什么叫三角形的外角？三角形到底有几个外角？
按教科书的定义，三角形一边与另一边的延长线组成角，叫做三角形的外角。
如何理解其中“一边的延长线”这个说法？
理解1：一边只能向一个方向延长，因而三角形有三个外角。
如下图，△ABC的三条边，每边只向一个方向延长，其延长线与另一条边组成角有三个∠1，∠2，∠3。
----图2----
理解2：一边可以向两个方向延长，因而三角形有六个外角。
如下图，△ABC的三条边，每边可以向二个方向延长，其延长线与另一条边组成角有六个∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们互为对顶角，度数是相等的。
----图3----
两种理解，到底哪一种理解正确？
只能从原有的认知去确认。原有的认知：虽然线段没有方向性，但可以向两个方向无限延长，延长后，其实得到两条不同的射线，而线段的延长线就是这两条射线上除去原线段后的部分。
所以从原有的认知可以确认，虽然线段没有方向性，但其延长线是有方向性的。实际教学中，我们常以正向延长线和反向延长线来区分！因而上述第一种理解是片面的，不完整的，第二种理解才是完整的。
显然题主是第一种理解，学生是第二种理解。
这一轮，题主的理解错误，学生的理解正确。
三角形有六个外角！
2.三角形的外角和是指三角形所有外角的和吗？
三角形的内角和是三角形所有内角的和吗？
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
此处强调三个内角，显然是为后续的三角形外角和定理埋下伏笔的！
前面说过，三角形的顶点数，边数，内角个数，是一一对应的关系，三角形3个顶点，3个内角，因而三角形内角和定理完全可以弱化理解为：三角形所有内角的和等于180°。此处这种理解强调“所有”，弱化“所有”的具体数目。其实在大多数的人记忆中，甚至连“所有”二字都省掉了，直接理解为：三角形的内角和等于180°。这样理解三角形内角和定理，不会出问题，但将此迁移到三角形的外角和，显然就会出现大问题，正如前面叙述师生的第二轮交锋：
老师理解为：三角形的顶点数，边数，内角个数，外角个数仍然为一一对应的关系：三角形3个顶点，3条边，3个内角，3个外角，所以三角形的外角和当然是所有（3个）外角的和。
学生理解为：三角形的顶点数，边数，内角个数，外角个数并不是一一对应关系：三角形3个顶点，3条边，3个内角，6个外角，所以三角形的外角和当然是所有（6个）外角的和。
但是，教科书上说的是，三角形的外角和是指，在三角形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和，叫做三角形的外角和。“这些外角”显然是指“3个外角”，而非“6个”。
第二轮交锋，师生各对一半。
因而三角形的外角和是指三角形3个外角（每个顶点各取一个）的和。
综述：
1.至此，我们可以得出最终结论：三角形有6个外角，其中三个外角（每个顶点各取一个）的和，叫做三角形的外角和。
三角形外角和定理：三角形的三个外角（每个顶点各取一个）的和等于360°。（证明从略）
并由此推广到n边形：n边形，有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角，n边形的n个内角的和等于（n-2）180°，n边形的n个外角（每个顶点各取一个）的和等于360°。
2.本人对教科书关于三角形外角和定义的认识：
合理性：
a.三角形的外角和是三角形内角和的延续，
b.三角形外角和在生活中的对应模型：从三角形一个顶点出发，沿三边绕行一周，回到起点，身体转向360°。
3.本人对教科书关于三角形外角定义的认识：
现行教科书对三角形外角的定义，容易引发师生认知冲突，焦点在于三角形的外角到底有几个？（3 or 6）三角形外角和到底是3个还是6个外角的和？
为避免此冲突，三边形的外角和的定义应修改为：三角形的一边的正向延长线与另一边组成的角。这样定义更加合理，承前接后过渡更自然！
一孔之见，欢迎讨论。
<strong>
中考数学当百荟
三角形的确有六个外角，每个顶点有两个。而任何凸多边形“外角和”的定义指的都是每个顶点只取一个外角。
手机用户5994526403
一个三角形本来就有6个外角，你还要反驳？你有资格当老师吗？只是说“三角形外角和”的时候，只取每一个内角相邻的一个外角而已。
用户2870448581372
本来就有6个外角，只不过外角和定义规定每个定点只取一个外角。
朝阳164848282
不用反驳，学生说的没有问题，任何一个多边形一个顶点都有两个外角，n边形有2n个外角。只是在三角形外角定理会增加说明一句，一个顶点只选取一个外角计算。
数学思维课堂
一个三角形本来就有6个外角!三角形外角和的定义指的是每个顶点各取一个外角的和，教材中有特别强调，所以并无冲突
最美大自然666
定义写的明明白白，就是六个外角。
至于外角和定理，外角等于另外两个内角之和，哪里说三个外角了？该不会是哪个辅导书写的吧？
sAviOr本座
为什么要反驳，他说的是有道理的，这就是数学，数学没有标准答案，只有在限定条件下才有标准答案。听说过非欧几何吗?在不限定平面上时，很多平面几何（欧几里几何）的结论都是错的，这就是数学的魅力，而在航空航海计算上，非欧几何比欧式几何有用的多。
tree5433
不是反驳，而且讨论！这证明你的学生很有思想，不按部就班，是好事
可乐初中数学
本就有6个呀！每一个顶点处有两个，由于是一对对顶角，彼此相等。只研究一个就行。
