美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。

“千年大奖问题”公布以来， 在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。

认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。可以预期， “千年大奖问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。

其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个（注:黎曼猜想仍有争议）.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶工作。）

庞加莱猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。

我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。

单连通

非单连通

我们这里说的庞加莱最著名的一个猜想，庞加莱猜想。说是猜想其实已经被证明，应该算是庞加莱定理了。庞加莱猜想在1904年被提出，这是拓扑学一个最基础重大的猜想。这个猜想的表述的通俗表述为：

“如果一个封闭空间中所有的封闭曲线都可以收缩成一点，那么这个空间一定是圆球。”---庞加莱猜想

百余年来，数学家们为证明这一猜想付出了艰辛的努力。我们可能没有办法去理解这句简单的陈述背后到底蕴含着多少精妙的数学规律，但是它的重要性不言而喻。这个猜想被誉为是人类在三维空间研究角度解决的第一个难题，也是一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识，对物理学和工程学都将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。

亨利.庞加莱

亨利·庞加莱是法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。

他被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。庞加莱在数学方面的杰出工作对20世纪和当今的数学造成极其深远的影响，他在天体力学方面的研究是牛顿之后的一座里程碑，他因为对电子理论的研究被公认为相对论的理论先驱。庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。

家庭背景

庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人都居住在法国东部的洛林。庞加莱从小就显出超常的智力。他的双亲智力都很高，他的双亲又可追溯到他的祖父。他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职，1817年在鲁昂定居，先后生下两个儿子，大儿子莱昂·庞加莱即为庞加莱的父亲。庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学医学院教授。他的母亲是一位善良、才华出众、很有教养的女性，一生的心血全部倾注到教育和照料孩子身上。

因为视力极差，所以庞加莱在音乐和体育课上表现一般，除此之外，庞加莱在各方面都称得上是成绩优异。庞加莱的数学才华在上大学之前已经显现出来。他的数学教师形容他是一只“数学怪兽”，这只怪兽席卷了包括法国高中学科竞赛第一名在内的几乎所有荣誉。

童年生活

庞加莱的童年主要接受母亲的教育。他的超常智力使他成为早熟的儿童，不仅接受知识极为迅速，而且口才也很流利。但不幸的事发生了：五岁时患了一场白喉病、九个月后喉头坏了，致使他的思想不能顺利用口头表达出来，并成为一位体弱多病的人。尽管如此，庞加莱还是乐意玩耍游戏，喜欢跳舞。当然，剧烈的运动他是无法进行的。

才华初展

庞加莱特别爱好读书，读书的速度快得惊人，而且能对读过的内容迅速、准确、持久地记住。他甚至能讲出书中某件事是在第几页第几行中讲述的。庞加莱还对博物学发生过特殊的兴趣，《大洪水前的地球》一书据说给他留下了终身不忘的印象。他对博物学的兴趣也很浓，历史、地理的成绩也很优异。他在儿童时代还显露了文学才华，有的作文被老师誉为“杰作”。

猜测的证明过程

提出这个猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。在1904年的名为《对位相分析学的第5次补充》论文中提出了庞加莱猜想。所谓的位相分析学后来发展为数学重要的分支“拓扑学”。庞加莱猜想最重大的意义就是随着它的诞生、以及深入地研究，加深了人们对形状的理解，促使“拓扑学”诞生和完善。

在学习拓扑学之前，我们对图形的理解是这样的：

在庞加莱猜想中，或者说“拓扑”这个数学分支中，并不关心传统意义上的、精确的形状，它会认为任何三维中有一个“洞”的形状都等同于“甜甜圈”（比如下面的茶杯），任何三维中没有“洞"的就等同于“球形”（比如下面的橡皮奶牛）：

但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。

20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特海whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。但是失之东隅、收之桑榆，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，这些特例被称为怀特海流形。

30年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。

帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而闻名于世，然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。

一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。

斯梅尔（Smale）在60年代初想到了一个天才的主意：如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。他，就是斯梅尔。

1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，立时引起轰动。斯梅尔由此获得1966年菲尔茨奖。

1983年，美国数学家福里德曼（Freedman）将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。

拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿（Thruston）就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。他认为不论宇宙的形状多奇怪，一定是由以下八大基本拓扑结构组成：

接着他证明了，这八种基本拓扑图形除了“球形”之外，别的形状都会阻止绳圈的收回：

“就像费马大定理，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前景，但所有的人心中都有数了。因为，一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任文志英说。

里奇曲率流

理查德·汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜。

1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于是我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。”

Ricci流是以意大利数学家里奇（Gregorio Ricci）命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后，丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。

在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。

佩雷尔曼的突破

格里戈里·佩雷尔曼（1966-）在花了8年时间研究这个足有一个世纪的数学难题后，在2002年11月和2003年7月之间，将3份关键论文的手稿粘贴到专门刊登数学和物理预印本论文的网站arXiv.org上，并用电邮通知了几位数学家，声称自己证明了几何化猜想。

数学家知道佩雷尔曼的分量，不得不仔细掂量这篇论文，可是很尴尬地发现看不懂，也挑不出错误，于是邀请本人到美国召开特别讲座。

论文发表的第二年，也就是2003年4月，佩雷尔曼在纽约举行了讲座。大家惊异地发现证明过程不是通过拓扑学进行的，而是用老旧的微分几何（也就是我们熟悉的包含长度、坐标、角度等要素的几何）、物理中的热力学等来证明的，这对于拓扑学家是相当大的打击：

在座的许多数学家都把自己的精力倾注在庞加莱猜想上，当看到证明已近完成的时候，他们会很沮丧；而当他们了解到这种证明中没有使用拓扑学的时候，沮丧更上一层；到最后他们发现自己竟然理解不了这个证明，这让他们更加万分沮丧。

----参加讲座的约翰·摩根博士

两年后，三个数学小组终于可以确定这篇论文是正确的。2006年，四年一度的数学最高奖项菲尔兹奖决定颁发给佩雷尔曼，克雷数学研究所也拿出了一百万美金。但是佩雷尔曼拒绝了菲尔兹奖，也拒绝了一百万美金，就好像从未出现过一样，从公众眼前消失了。

佩雷尔曼

格里戈里·佩雷尔曼（俄语：Григорий Яковлевич Перельман），1966年6月13日出生，犹太人，俄罗斯数学家。他是一位Ricci流的专家，证明了数学中一个重要的未解决的问题：庞加莱猜想。在于使用Ricci流来改变理乍得·汉密尔顿的几何化方法。与直接的拓扑学方案相比这个方案似乎更可行。

潜心研究、淡泊名利、待人以诚、来去无踪是佩雷尔曼给同行最深刻的印象。《科学》杂志评选出的2006年度十大科学进展，其中科学家证明庞加莱猜想被列为头号科学进展。佩雷尔曼在他的学术生涯中曾多次拒绝荣誉或奖项。1995年，他拒绝斯坦福大学等一批美国著名学府的邀请；1996年，他拒绝接受欧洲数学学会颁发的杰出青年数学家奖。佩雷尔曼在圣彼得堡接受采访时表示，自己根本不值得人们如此关注。他说：“我不认为自己说的话能引起公众的兴趣。我不说，是因为我重视隐私，而不是我隐藏了自己正在做的事情。没有什么所谓的顶级计划正在进行。我只是认为公众对我根本没有兴趣。”

家庭背景：

1966年，佩雷尔曼出生于前苏联的一个犹太人家庭，母亲是一位数学教师。

与传说中犹太人很早对孩子进行“恶”的教育――比如让孩子三次从窗口跳下来，前两次接着，第三次令他摔倒在地，以示“并非总有人会帮你”――不同，格里高里·雅柯夫列维奇的母亲从一开始就描绘了一个简单、高纯度的世界，很可能，是为了保护这个男孩的天分和专注。

他很早就展现出了数学天分，并且一直是个孤独的学霸。在高中阶段的专业数学学校里，佩雷尔曼总是沉默地坐在后排，只有当发现某个人的解法或解释需要更正时才说话，而且总是一锤定音。中学学业完成前，佩雷尔曼已经在全苏联数学奥林匹克竞赛中赢得了一块金牌和一块银牌。后来他在国际数学奥林匹克竞赛中以满分成绩拿到了金牌。

母亲是数学研究生，因为结婚放弃了学业，成为两个孩子的母亲时，她在列宁格勒一所学校教数学。她领着佩雷尔曼找到自己从前的导师，由此将十岁男孩领进了“列宁格勒先锋宫”数学班，跟随一位数学教练。前苏联的少年尖子培训体制在中国的1980年代可以找到复印本，先锋宫类似少年宫，许多非商业性的课外教学在那里展开。

数学班的老师卢克欣说，除了数学，佩雷尔曼好像不愿意接受多余的东西：他不会把皮帽子的耳朵盖解开，参加夏令营拒绝洗澡洗衣服，对女孩子从来不感兴趣……

天赋异禀若此，佩雷尔曼得以在13岁进入抽象的拓扑学――几何学的一个分支，简言之，将一个几何图形伸缩或扭曲，不割断，不粘合，连续变形之后，研究它保持不变的那些性质。

他14岁入读的高中很值得一提。那是二十世纪俄罗斯大数学家柯尔莫哥罗夫创办的第239所学校，一所专业数学物理高中，但是，提供古代史、音乐、视觉艺术、俄罗斯古建筑课程和大量的体育教学，没有政治思想课。柯尔莫哥罗夫瞧不上意识形态灌输。他的终生伴侣是另一位数学家。古典音乐、同性伴侣、数学、体育、诗歌和思想，这是柯尔莫哥罗夫理想中的男人和学校。

学校对他最大的善待，是给他独处的空间，他也在这块有营养少农药的土壤里吸收了他想要的。小痕迹是，2006年夏末，两位为《纽约客》写稿的美国记者终于敲开他家房门之后，第二天，他陪他俩去圣彼得堡音乐学院听了一场持续五个钟头的声乐比赛。他对古典音乐的兴趣也是母亲给他的礼物之一，一个柏拉图世界的必要不充分条件。

格里高里·雅柯夫列维奇·佩雷尔曼想对这世界说的不多，其中有几句是这样的：

“如果每个人都诚实，那么和他人分享智识是很自然的事情。”

“那些破坏道德标准的人并没有被视为异类，可是，像我这样的人却被孤立了。”

“想成就伟大的工作就得有一颗纯洁的心。你只能想数学。其它一切都属于人类的弱点。”

参考：

http://ren.bytravel.cn/history/10/henglipangjialai.html

https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/89307753

https://blog.csdn.net/yanni12181/article/details/78732427

http://www.360doc.com/content/18/1001/01/57083417_791083819.shtml

http://www.infzm.com/content/144445