01 開場白

作為我的大學《微積分》的第一講，我思前想後要以什麼知識點作為內容。索性找到一本大學的的教材，從第一章開始講。這樣也方便本科生參照學習。

我選的教材是《大學數學教程》，作者姜東平和江惠坤。

02 數列

高等數學接觸的第一個概念是數列。

數列的標準定義

顧名思義，數列就是有共同特徵（通項）的一列數。

如果我們假設一數列的通項為：

數列通項

那麼，我們將 n從1~150的點全部動態繪製出來，可以總結出哪些知識點呢？

圖1：n ~ (0, 150)

從圖1中，我們發現A點的運動軌跡中後一個點值都比前一個要大。這就引發了數列單調性的定義。

2 - 1 數列的單調性

遞增數列和不減數列

圖1中繪製的數列既是一個遞增數列，如果結合通項去定義遞增數列，如下：

• 遞增數列：第 n - 1 項的值 < 第n項的值。
• 不減數列：第 n - 1 項的值 <= 第n項的值。

如果我們將圖1中的數列通項乘以 -1，如下所示：

數列通項

數列的動態圖如圖2所示：

圖2：n ~ (0, 150)

遞減數列和不增數列

• 遞減數列：第 n - 1 項的值 > 第n項的值。
• 不增數列：第 n - 1 項的值 >= 第n項的值。

同時，遞增、遞減、不增、不減數列統稱為單調數列。

圖1中，隨著 n 的增大，數列中的值不斷逼近 2。

圖2中，隨著 n 的增大，數列中的值不斷逼近 -2。

那麼，我們回過頭來看圖1，可以將 x軸 和 y = 2 這兩條線規定了數列中任何一點的最大活動範圍。圖1中的數列是遞增數列，且遞增的極限是無限逼近 2。介於此，可以引出第二個的定義：

2 既是圖1中數列的上界；

-2 既是圖2中數列的下界。

2 - 2 數列的極限

數列的極限

• 誤區1：有界數列一定收斂有極限

誤區1是初學高等數學最容易搞混的知識點。我們找一個最簡單的例子：

對應的動態圖如下：

圖3：有界不收斂

如圖3所示，數列隨著 n 的增大，一直在 -1 和 1之間震盪。基於有界數列的定義，該數列是同時擁有 上界（1）和下界（-1）的數列。

但是，隨著 n 的增大，數列卻無法收斂於

但是反過來說，收斂數列一定有界 卻是正確的表達，這個很容易理解，不加贅述。

總結

一直在猶豫是做成科普文（詼諧幽默點）還是比較正規的碼字。希望讀者朋友們給點建議。

數列的討論是為了之後將數列收斂推廣到函數收斂。我們第一次接觸數列應該是在高中，此次的知識點回顧是希望打下一個結實的基礎。

我們下一節再見，更多好玩的動圖演示即將推出。

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