高中物理习题解决的“检验法”（下）

四．特例检验

即特殊值检验法，是指应用极限思维的方法检验题解对错的方法。

【例题8】如图8—1—4所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为 M 的平盘，盘中有物体质量为 m ，当盘静止时，弹簧伸长了 L ，今向下拉盘使弹簧再伸长ΔL 后停止，然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于( )

【解析】按照常规的解题方法。设弹簧的劲度系数为k，以平盘和物体为研究对象，可得

静止时：

松开手的瞬间：

以物体为研究对象，设松开手的瞬间平盘对物体的支持力为F

可得

得：

所以A答案正确

【检验】若用“极限法” 去思考“理想的物理状态”，让

，此时，盘对物体的支持力应等于mg,于是，将

代入四个选项加以验证，得知A正确。

【例题9】升降机中有一物体，当升降机以

的加速度匀减速上升时，物体对底板的压力是多少？

【解析】一物体为研究对象，物体受到向下的重力mg，底板对物体的支持力

N，物体向上作匀减速运动，加速度方向向下，依牛二定律可得

因此

即物体对底板的压力为物种的1/4倍。

【检验】应用极限思维法，假定上升时升降机向下的加速度达到临界值

，此时机中物体完全失重，物体对底板的压力恰好为零。而现在已知升降机中

（方向竖直向下），显然

，由此可知，物体对底板的压力当然为零，因此上述解法是错误的。

【点拨】由

表明，底板对物体的支持力并不存在。在实际情况下，当升降机以竖直向下的加速度

运动时，物体将“飞离”底板。

【例题10】如图8—1—5所示，在水平光滑的桌面上，放一质量为M的小车，在小车的平台上（小车的一部分）有一质量可忽略的弹簧，一端固定在平台上，另一端用一小球将弹簧压缩一定距离后用细线系住，用手将小车固定在桌面上，然后烧断细线，小球瞬间被弹出，落在车上的 A 点，且OA=l 。如果小车不固定静止而烧断细线，球将落在车上何处？（设车足够长，球不致落在车外，不计所有摩擦）

【解析】首先，当小车固定不动时，设平台高度为h，小球弹出时的对地速度大小为v0

，由平抛运动的规律求出

其次，当小车不固定时，设小球弹出时的对地为速度的大小为v，车速的大小为V

，由动量守恒得

显然，分析前、后两次弹射过程，系统获取的动能是相同的（都由系统的弹性势能转化而来），因而由机械能守恒可得

然后，设小球相对小车的速度为v'，依相对速度的定义可知

再设小球此时可落于车上的A'点，OA'=L'，由平抛运动的规律又得

最后，把以上五式联立成方程组，即可求出以下结果

【检验】我们可应用极限思维法，考察在理想的极限状态下这一结果的正确性。当小球与小车的质量

时，由上式可推出l'=l，恰好表示出小车固定时小球做平抛运动的水平射程。由此证明，此题的解答是完全正确的。

若解题的结果是文字（字母）表达式，则可代入符合题意的某些特殊值，通过计算求得具体值，据此判断结果是否正确的思维方法。极限思维的方法，就是常用的一种特例检验法。

【例题11】输电线的电阻共计1.0Ω，输送的电功率为100KW，用400v的电压输送与用

1×104v的高压输送，输电线上发热损失的功率各为多少？

【解析】由电功率公式

可得低压送电时，输电线上因发热损失的功率

高压送电时，输电线上因发热损失的功率

【检验】比较发现，高压输电时损失的功率似乎太大了。用极限思维法检验，容易迅速发现上述解法是错误的。

当输送功率一定时，假定输送的电压趋近于无穷大，则输送电流趋近于零；反之，当输送的电压趋近于零时，则输送电流趋近于无穷大。显然，在输电线电阻相同的条件下，根据电流的热效应可知，电压越高输电线上发热损失的功率则越小。

分析上述产生错误的原因，是由于计算发热损失的功率时，不仅严重混淆功率P、功率损失ΔP

，并且不恰当地使用输送电压U，而不是输电线上的电压损失ΔU等物理概念。

【例题12】铀238的半衰期为4.5×109，假设一块矿石中含有1kg铀238，求

⑴经过45亿年后还剩多少铀238？

⑵假设发生衰变的铀238都变成了铅206，矿石中会有多少铅这时铀铅的比例是多少？⑶如果测出铀铅的比例为k，怎样计算矿石的年龄？

比较发现，恰好与⑵情况下的衰变的时间相同。检验结果表明，上述计算矿石年龄的公式应是正确的。

五、估算检验

【例题13】如图8—1—6所示，质量为m、电量为q的带正电的小球，用长度为Ｌ＝１m的绝缘细线系于顶角θ=120°的圆锥的顶端，此装置处于磁感应强度Ｂ＝１Ｔ、方向竖直向上的匀强磁场中。试问：小球绕圆锥旋转的角速度ω取何值时，它可刚好离开锥面？取

【解析】我们知道，角速度是一个矢量，其方向遵守右手关系。显然，由于题目没有明确角速度的方向如何，而其方向却有顺时针、逆时针等两种情况。因此，题目的解决必定针对两种不同情况进行讨论。

设小球俯视作逆时针转动，则刚好离开锥面时的受力情况如图8—1—7所示。由牛二定律可得

再设小球俯视作顺时针转动，则刚好离开锥面时的受力情况如图8—1—8所示。同理，可得

【点拨】如果对上述结果中的负值，弄不清角速度的方向性，不分青红皂白的一律舍去，则大错特错了。

六．转换思维

解题时，通常按原来使用的思维方法、思路和物理规律等检验结果的正确性，错误往往不能被发现。由此，我们可以从多方位、多角度、多层次的分析和思考问题，采用思维转换的方法，另辟蹊径，求出结果，再相互比较、做出正确的判断。

例题14】有两个相互垂直的力作用于一点，其合力是25N，已知一个力比另一个力大5N，求此二力的大小。

【解析】设此二力分别为x、y，依题意可得

此结果的正确性，可用函数图象的方法检验一下。上述二元二次方程组可表示为直角坐标系xoy内的截距为x=5,y=-5的直线和半径为r=25的圆，如图8—1—9所示。

【点拨】直线与圆的两个交点的坐标，分别为方程组的两组解，说明结果是完全正确的。

七．综合检验

【例题15】如图5—1—10所示，长为2L的轻质硬棒，左端可绕过O点的光滑水平轴转动，两者的中点及右端均分别固定两个完全相同的小球A、B。现把系统均拉到水平位置，然后无初速释放。试讨论当A球转至竖直位置时，两球的速度各为多少？

【错解】若稍不留神，初学者常会犯一个典型错误。即均用单个小球机械能守恒求解。

然而，根据“同轴转动的物体的各点角速度相等”，硬棒转动的速度之比应该等于转动半径之比v1:v2=1:2，两相对比，可知上述答案一定是错了。

【探究】为了彻底弄清产生这一错误的原因，我们可以设计下面的所谓“对比试验”。

如图8—1—11所示，左边的实验装置不变，右边再增设与左类似的细绳——双球实验设置，只是用长度相等的刚性细绳替换了轻质硬棒，而两球与右完全相同。然后，分别把两系统拉直水平位置，由静止开始释放。

实验事实可以证明，在细绳——双球系统转动过程中，显然小球B落后于小球A，亦即B球落后，A球超前，这是由于两者的角速度大小不同。当小球A到达其圆弧最低点时，小球B还不能到达。

产生错误的原因究竟是什么呢？

其一，在分析A、B两球的受力情况时，认为棒对球的弹力始终沿轴线与速度垂直；其二，由此误导，认为在系统转动全过程中弹力对两球均不做功。因此，错误地判断出单个小球机械能守恒的结论。

实际上，在上述两个系统中，无论轻质硬棒还是刚性细绳所施加的弹力，对每个小球都是做功的。请看以下的分析。

如图5—1—11所示，分别表示两系统运动的对应状态，不难发现：⑴左图中 A、B两球角速度一致，棒的弹力不沿轴线方向，F₁对A球做负功，F₂对B球做了正功。⑵右图中两球角速度、线速度均不相同，A超前而B落后；细线的拉力沿线的方向，弹力F₂对球B做正功，弹力F₁

综上所述，无论对硬棒——双球、还是细绳——双球系统而言，由于弹力做功的原因，单个小球的机械能都是不守恒的。

特别强调，这里所谓弹力，属于刚体发生微小形变产生的，它所做的功与弹簧类物体产生的弹性势能无关。

正确的解答如下：

【解析】对硬棒——双球系统，虽然由于弹力做功的原因，存在A球的机械能减少， B球的机械能增加的现象，但整体看来，机械能守恒。以B球最低点为重力势能零点，从而

又由圆周运动的线速度——角速度的关系，可得

联立以上两式，即可求出

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