《考不好，沒關係？》搶答環節概率模型的建立和分析

　　2019年1月20日星期日

　　 （本文或許需要像李永樂老師、媽咪叔這樣的大神一證真偽。）

一

　　先上廣告：

　　“關注西瓜視頻每週六晚八點原創觀察答題秀《考不好 沒關係？》，看看爸爸變成小學生到底能考多少分！”

《考不好 沒關係？》

　　哈哈，再說正文。

　　《考不好 沒關係？》這個綜藝節目相信已經很火爆了。昨晚第二期如約而至，由於忙於事務，我和兒子是在10點後一起看的。兒子這次表現的鎮定了一些，但是當看到沒有替爸爸搶到答題機會而哭泣的孩子們時，難免也揉起了自己的眼睛。這次我沒有給兒子講道理安慰，而是讓他自己調適。我反倒在思考一個“數學問題”：這個搶答環節的概率模型是什麼樣的？

　　《考不好 沒關係？》的淘汰規則（或勝出規則）是這樣的：

　　第一個環節：21選13，通過筆試摸底，淘汰8位爸爸。

　　第二個環節：13選5，通過孩子競搶機會，爸爸作答，答對勝出，答錯淘汰，勝出達到5位即止，講究親子協作。凡上一輪搶到答題機會的，無論爸爸勝出或淘汰，均不再參與下一輪搶答。

　　第三個環節：5選3及進一步的3選2、2選1。通過依次答題，答對勝出，答錯淘汰，決出3個幸運家庭，並進而產生季軍、亞軍、冠軍。

　　現在，我感興趣或產生了數學問題的是第二個環節——搶答環節——的概率模型。經過一大早的紙筆演算和思考，打算寫下本文。

二

　　我寫本文是具備一定基礎的：

　　1.我自學過《概率與統計》，考試成績還不錯。

　　2.我喜歡思考這類問題，喜歡享受探究這類問題的駕輕就熟和成就感，似乎在找尋一種足以自誇的資本。

　　3.我不想也不能給出關於“古典概型”、“幾何概型”、“貝努裡概型”、“隨機事件”、“條件概率”、“事件的獨立性”等一系列重要而基礎的數學概念的定義，雖然這些概念與準確理解、評判本文內容密切相關。一則大家懶得讀，再則我已將大多數準確的內容還給了“教材”，也算是一個凡夫俗子，豈敢擺出一副專家、教授、學者的嘴臉。

　　4.當大家看了上面3條，在準備嗤之以鼻、義憤填膺、拔出刀來時，請務必念及我至少提出了一個正確的問題：搶答環節“13選5”的概率模型是什麼？

三

　　在開始正式闡釋之前，先羅列一串基於“根本問題”——搶答環節“13選5”的概率模型是什麼——的子問題。

　　1.“搶答事件”是隨機事件嗎？多次重複進行的“搶答事件”是獨立隨機事件嗎？也許您已經獨立思考並得出了初步的結果：第一輪搶答概率為：1/13（十三分之一），第二輪搶答概率為：1/12，第三輪搶答概率為：1/11，第四輪搶答概率為：1/10……依次類推。但我要告訴您的是：這個結論是片面的。

　　2.也許您覺得“搶答人數減少”、“別人遭淘汰”，有助於提高您的“搶中概率”，但是，影響每個人“搶中概率”高低的因素到底是什麼呢？每個人的“搶中概率”是公平的嗎？讓我先迫不及待地告訴您答案：影響“搶中概率”的唯一因素是“搶答次數”，每個人的“單次搶中概率”是一樣的。

　　3.您有沒有想過：搶答幾次就可以完成節目“13選5”的任務要求？這個“搶答次數”具備隨機性的特點嗎？有沒有可能5次搶答均勝出，導致節目提前結束？亦有沒有可能搶答持續了13次，仍然沒有選拔夠5位勝出者？這是可能的，因為“搶答次數”具備隨機性的特點。

　　4.搶答次數最少是5次，這是節目“13選5”的硬性要求，但是到底幾次會結束，事先不可預知。換個方式提問：最有可能幾次結束？您有沒有想過：影響“搶答次數”的因素是“選拔人數要求”和“題目難易程度”。題目簡單了，5次搶答5次勝出將是大概率事件；題目複雜了，13次搶答不夠5次勝出也可能是大概率事件。“題目難易程度”的考量不能聯繫答題者的主觀水平和特長，如果是這樣的話，該問題將不再具備“數學可研究性”。即使單純考慮“題目”本身的難易程度，也難以做到完全“客觀”、“公平”，而且題與題之間的難易程度不見得就是一致的。為了保證問題的“數學可研究性”，我們假定對題目難易程度的衡量是“客觀準確”的。為了更進一步方便研究，或者先從最簡單的情況出發，我們假定題目的難易程度是“固定不變”的。當然，我們也可以用數據描述“變化”的難易程度，但不利於分析獲得有用的結論。

四

　　下面開始具體的“建模和分析”過程。

　　重點一：單次搶中概率是一致的。

　　13位孩子競搶一次答題機會，是一個“隨機事件”，符合結果不可預知、每位孩子等可能性的特點。由於得到搶答機會的孩子，不論其爸爸答題勝出還是淘汰，均不再參加下一輪搶答，因此，該過程相當於“從13個球中隨機抓取1個球的不放回隨機試驗”。對此，我們有重要的結論：

　　“一般地，取後放回試驗的每次結果之間是相互獨立的，而取後不放回試驗的各結果不具有獨立性。為了使試驗滿足獨立性，對於取後不放回試驗，只要總數很大，而取出作試驗的數又相應小，顯然不放回，也視為獨立。”

　　強調“獨立性”的原因在於：第一次競搶影響第二次競搶概率，第一、二次競搶影響第三次競搶概率……具體計算如下：

　　第一次搶中概率：1/13

　　第二次搶中概率：12/13×1/12＝1/13

　　為何如此計算？如果甲是第二次搶中的，則第一次競搶中發生了“甲以外別人搶中事件”，這個事件的概率是：P（A）＝12/13；在此基礎上，甲搶中了第二次的條件概率是：P（B|A）＝1/12；事件A與B共同發生的概率是：P（AB）＝P（A）P（B|A）＝12/13×1/12＝1/13。所謂“事件A與B共同發生”是指“第一輪別人搶中”與“第二輪甲搶中”兩個事件共同發生。以下道理類同，不在贅述。

　　第三次搶中概率：12/13×11/12×1/11＝1/13

　　第四次搶中概率：12/13×11/12×10/11×1/10＝1/13

　　第五次搶中概率：12/13×11/12×10/11×9/10×1/9＝1/13

　　……

　　第十三次搶中概率：12/13×11/12×10/11×9/10×8/9×7/8×6/7×5/6×4/5×3/4×2/3×1/2×1/1＝1/13

　　可見，單次搶中概率是一致的：1/13≈0.076923077，其中，1/13是分數十三分之一的橫寫形式，其餘同。

　　（重要程度★★★★★）

　　重點二：總搶中概率的高低取決於搶答次數。

　　設：

　　n：勝出次數。根據規則，n＝5。

　　m：淘汰次數。m最小為0，說明5次搶答，5次連續勝出；m最大為13，因為初始競搶總人數是13人，頂多淘汰13人。但是，當m取值為9、10、11、12、13時，節目是失敗的，因為選拔不夠5個人，也說明“題目難度太大”。當m取值為8時，說明一共搶答了13次，每個人都搶到了答題機會。

　　c：搶答次數。顯然：c＝n＋m。

　　可得：

　　（重要程度★★★★★）

　　例：

　　5次搶中概率＝5/13

　　6次搶中概率＝6/13

　　7次搶中概率＝7/13

　　8次搶中概率＝8/13

　　……

　　13次搶中概率＝13/13＝1

　　這是一個顯然的結論，如果搶答進行了13次，則每個孩子都有搶中機會。

　　可見，總搶中概率隨著搶答次數的增加逐步提高，直到等於1。這說明事件“別人遭淘汰”發生，是有助於提高我們的總搶中概率的。因為勝出次數n是固定的5次，搶答次數的多寡便只取決於淘汰次數m的值。

　　然而，不能高興得太早的是：c次搶答出現的概率是不一樣的。舉例說：13次搶答出現時，每個人的總搶中概率等於1（也就是必然事件），貌似十分美滿，但是13次搶答出現的概率，在題目難度較小的情況下，遠遠要比5次、6次搶答出現的概率低。因此，問題的另一方面是：事件“c次搶答”出現的概率。

　　重點三：c次搶答出現概率取決於題目難易程度。

　　再設：

　　一輪搶答中，有勝出者用“1”表示，有淘汰者用“0”表示。

　　p：勝出概率。取值0～1；值越接近0，說明勝出可能性越低，代表題目難度越大；值越接近1，說明勝出可能性越高，代表題目難度越小。

　　q：淘汰概率。顯然：q＝1－p。

　　為了本文敘述的簡略，我們取：

　　p＝0.2，表示題目困難；

　　p＝0.5，表示題目適中；

　　p＝0.8，表示題目簡單。

　　當然，如果我能在頭條發佈我的“Excel電子表格”計算模型的話，您大可以將p取0～1之間的任何值。需要提醒的是，為了簡化計算，我們依然假定題目與題目之間的難易程度是固定不變的，也即第1道題目、第2道題目……的p值都是統一的。

　　①5次搶答結束，表示為：

　　（1，1，1，1），1

　　只有一種情況，為：C（4，4）＝1（4選4的組合數）。為何這樣算？因為，最後一次肯定是以“第5個勝出者”作結束的，因此，先確定最後一個位置是“1”。

　　②6次搶答結束，表示為：

　　（1，1，1，1，0），1

　　有：C（4，5）＝5種情況（5選4的組合數）。

　　具體羅列如下：

　　（1，1，1，1，0），1

　　（1，1，1，0，1），1

　　（1，1，0，1，1），1

　　（1，0，1，1，1），1

　　（0，1，1，1，1），1

　　下面不再一一羅列，情況眾多。

　　③7次搶答結束，表示為：

　　（1，1，1，1，0，0），1

　　有：C（4，6）＝15種情況（6選4的組合數）。

　　④8次搶答結束，表示為：

　　（1，1，1，1，0，0，0），1

　　有：C（4，7）＝35種情況（7選4的組合數）。

　　⑤9次搶答結束，表示為：

　　（1，1，1，1，0，0，0，0），1

　　有：C（4，8）＝70種情況（8選4的組合數）。

　　……

　　可見，c次搶答結束的情況數是：

　　（n＋m－1選4的組合數）。

　　注意：

　　在Excel電子表格中，組合數的計算命令是：combin，且輸入為：=combin(8,4)。很明顯，上下標數字在橫寫時前後位置恰好相反。

　　（重要程度★★★★★）

　　截取Excel電子表格計算模型圖如下：

　　共同部分：

　　題目困難：

　　可見，勝出概率p＝0.2時，題目難度大，5次～13次搶答出現的總概率也只有10%左右。也就是說，很難成功完成“選拔5名勝出者”的任務，因為此時的數學期望只有：13×0.2＝2.6（人），極少數人可以勝出。

　　題目適中：

　　勝出概率p＝0.5時，題目難度適中，8次搶答和9次搶答出現的概率最高，達到了約13.7%。此時的數學期望是：13×0.5＝6.5（人），一半的人可以勝出。

　　題目簡單：

　　勝出概率p＝0.8時，題目難度小，5次搶答和6次搶答出現的概率最高，達到了約32.8%。此時的數學期望是：13×0.8＝10.4（人），較多的人可以勝出。

五

　　最後，以勝出概率p＝0.6，也即答題者可以取得“60分及格”為難度，舉例說明有些令人匪夷所思的“綜合概率”。上面“困難、適中、簡單”三種示例中也包含“綜合概率”。

綜合概率

　　可見，此時7次搶答、8次搶答出現概率最高。我沒有細心計數《考不好 沒關係？》第一期和第二期分別搶答了幾次結束，此刻也不想再耽誤寫作時間，就請求細心的網友幫忙了。我猜測節目中題目難度為0.5、0.6的可能性居多（這個數字與通常的難度係數相反，因為我以勝出概率表達難度係數，數字越大，難度越低）。

　　（重要程度★★★★★）

　　c次搶中概率是隨著搶答次數遞增的，直到1。但由於c次搶答出現的概率有高有低，且只有“c次搶答事件”出現，“c次搶中概率”才變為現實，因此，後者以前者為條件。根據條件概率的計算公式得到上面的綜合概率計算公式，上文已有提及，不再贅述。

　　“綜合概率”是我自己給出的命名，是表達的需要。

　　本來遞增的“c次搶中概率”，在考察“c次搶答事件”出現概率，並綜合計算後，由：

　　5/13＝0.384615385

　　6/13＝0.461538462

　　7/13＝0.538461538

　　8/13＝0.615384615

　　9/13＝0.692307692

　　10/13＝0.769230769

　　11/13＝0.846153846

　　12/13＝0.923076923

　　13/13＝1

　　變為：

　　5次搶答：0.029907692

　　6次搶答：0.071778462

　　7次搶答：0.100489846

　　8次搶答：0.107189169

　　9次搶答：0.096470252

　　10次搶答：0.077176202

　　11次搶答：0.056595881

　　12次搶答：0.038808604

　　13次搶答：0.025225593

　　這樣“兩頭低，中間高”的狀態。

　　結論是：8次搶答事件出現時的綜合概率最高，是0.107189169。

　　用最簡單的事實描述就是：雖然搶答13次時每個孩子都有搶中機會，但是“搶答13次”在通常題目難度下，是一個小概率事件。

六

　　好了，本文就此打住，如果您能細心閱讀並同樣紙筆演算至此，甚至根據幾張Excel截圖嘗試建立自己的“電子表格計算模型”，您無疑是真正的具備獨立思考的人。

　　再會。

閱讀更多 初等數學學習aoe1981 的文章

關鍵字: 環節 淘汰 考不好沒關係