《考不好，没关系？》抢答环节概率模型的建立和分析

　　2019年1月20日星期日

　　 （本文或许需要像李永乐老师、妈咪叔这样的大神一证真伪。）

一

　　先上广告：

　　“关注西瓜视频每周六晚八点原创观察答题秀《考不好 没关系？》，看看爸爸变成小学生到底能考多少分！”

《考不好 没关系？》

　　哈哈，再说正文。

　　《考不好 没关系？》这个综艺节目相信已经很火爆了。昨晚第二期如约而至，由于忙于事务，我和儿子是在10点后一起看的。儿子这次表现的镇定了一些，但是当看到没有替爸爸抢到答题机会而哭泣的孩子们时，难免也揉起了自己的眼睛。这次我没有给儿子讲道理安慰，而是让他自己调适。我反倒在思考一个“数学问题”：这个抢答环节的概率模型是什么样的？

　　《考不好 没关系？》的淘汰规则（或胜出规则）是这样的：

　　第一个环节：21选13，通过笔试摸底，淘汰8位爸爸。

　　第二个环节：13选5，通过孩子竞抢机会，爸爸作答，答对胜出，答错淘汰，胜出达到5位即止，讲究亲子协作。凡上一轮抢到答题机会的，无论爸爸胜出或淘汰，均不再参与下一轮抢答。

　　第三个环节：5选3及进一步的3选2、2选1。通过依次答题，答对胜出，答错淘汰，决出3个幸运家庭，并进而产生季军、亚军、冠军。

　　现在，我感兴趣或产生了数学问题的是第二个环节——抢答环节——的概率模型。经过一大早的纸笔演算和思考，打算写下本文。

二

　　我写本文是具备一定基础的：

　　1.我自学过《概率与统计》，考试成绩还不错。

　　2.我喜欢思考这类问题，喜欢享受探究这类问题的驾轻就熟和成就感，似乎在找寻一种足以自夸的资本。

　　3.我不想也不能给出关于“古典概型”、“几何概型”、“贝努里概型”、“随机事件”、“条件概率”、“事件的独立性”等一系列重要而基础的数学概念的定义，虽然这些概念与准确理解、评判本文内容密切相关。一则大家懒得读，再则我已将大多数准确的内容还给了“教材”，也算是一个凡夫俗子，岂敢摆出一副专家、教授、学者的嘴脸。

　　4.当大家看了上面3条，在准备嗤之以鼻、义愤填膺、拔出刀来时，请务必念及我至少提出了一个正确的问题：抢答环节“13选5”的概率模型是什么？

三

　　在开始正式阐释之前，先罗列一串基于“根本问题”——抢答环节“13选5”的概率模型是什么——的子问题。

　　1.“抢答事件”是随机事件吗？多次重复进行的“抢答事件”是独立随机事件吗？也许您已经独立思考并得出了初步的结果：第一轮抢答概率为：1/13（十三分之一），第二轮抢答概率为：1/12，第三轮抢答概率为：1/11，第四轮抢答概率为：1/10……依次类推。但我要告诉您的是：这个结论是片面的。

　　2.也许您觉得“抢答人数减少”、“别人遭淘汰”，有助于提高您的“抢中概率”，但是，影响每个人“抢中概率”高低的因素到底是什么呢？每个人的“抢中概率”是公平的吗？让我先迫不及待地告诉您答案：影响“抢中概率”的唯一因素是“抢答次数”，每个人的“单次抢中概率”是一样的。

　　3.您有没有想过：抢答几次就可以完成节目“13选5”的任务要求？这个“抢答次数”具备随机性的特点吗？有没有可能5次抢答均胜出，导致节目提前结束？亦有没有可能抢答持续了13次，仍然没有选拔够5位胜出者？这是可能的，因为“抢答次数”具备随机性的特点。

　　4.抢答次数最少是5次，这是节目“13选5”的硬性要求，但是到底几次会结束，事先不可预知。换个方式提问：最有可能几次结束？您有没有想过：影响“抢答次数”的因素是“选拔人数要求”和“题目难易程度”。题目简单了，5次抢答5次胜出将是大概率事件；题目复杂了，13次抢答不够5次胜出也可能是大概率事件。“题目难易程度”的考量不能联系答题者的主观水平和特长，如果是这样的话，该问题将不再具备“数学可研究性”。即使单纯考虑“题目”本身的难易程度，也难以做到完全“客观”、“公平”，而且题与题之间的难易程度不见得就是一致的。为了保证问题的“数学可研究性”，我们假定对题目难易程度的衡量是“客观准确”的。为了更进一步方便研究，或者先从最简单的情况出发，我们假定题目的难易程度是“固定不变”的。当然，我们也可以用数据描述“变化”的难易程度，但不利于分析获得有用的结论。

四

　　下面开始具体的“建模和分析”过程。

　　重点一：单次抢中概率是一致的。

　　13位孩子竞抢一次答题机会，是一个“随机事件”，符合结果不可预知、每位孩子等可能性的特点。由于得到抢答机会的孩子，不论其爸爸答题胜出还是淘汰，均不再参加下一轮抢答，因此，该过程相当于“从13个球中随机抓取1个球的不放回随机试验”。对此，我们有重要的结论：

　　“一般地，取后放回试验的每次结果之间是相互独立的，而取后不放回试验的各结果不具有独立性。为了使试验满足独立性，对于取后不放回试验，只要总数很大，而取出作试验的数又相应小，显然不放回，也视为独立。”

　　强调“独立性”的原因在于：第一次竞抢影响第二次竞抢概率，第一、二次竞抢影响第三次竞抢概率……具体计算如下：

　　第一次抢中概率：1/13

　　第二次抢中概率：12/13×1/12＝1/13

　　为何如此计算？如果甲是第二次抢中的，则第一次竞抢中发生了“甲以外别人抢中事件”，这个事件的概率是：P（A）＝12/13；在此基础上，甲抢中了第二次的条件概率是：P（B|A）＝1/12；事件A与B共同发生的概率是：P（AB）＝P（A）P（B|A）＝12/13×1/12＝1/13。所谓“事件A与B共同发生”是指“第一轮别人抢中”与“第二轮甲抢中”两个事件共同发生。以下道理类同，不在赘述。

　　第三次抢中概率：12/13×11/12×1/11＝1/13

　　第四次抢中概率：12/13×11/12×10/11×1/10＝1/13

　　第五次抢中概率：12/13×11/12×10/11×9/10×1/9＝1/13

　　……

　　第十三次抢中概率：12/13×11/12×10/11×9/10×8/9×7/8×6/7×5/6×4/5×3/4×2/3×1/2×1/1＝1/13

　　可见，单次抢中概率是一致的：1/13≈0.076923077，其中，1/13是分数十三分之一的横写形式，其余同。

　　（重要程度★★★★★）

　　重点二：总抢中概率的高低取决于抢答次数。

　　设：

　　n：胜出次数。根据规则，n＝5。

　　m：淘汰次数。m最小为0，说明5次抢答，5次连续胜出；m最大为13，因为初始竞抢总人数是13人，顶多淘汰13人。但是，当m取值为9、10、11、12、13时，节目是失败的，因为选拔不够5个人，也说明“题目难度太大”。当m取值为8时，说明一共抢答了13次，每个人都抢到了答题机会。

　　c：抢答次数。显然：c＝n＋m。

　　可得：

　　（重要程度★★★★★）

　　例：

　　5次抢中概率＝5/13

　　6次抢中概率＝6/13

　　7次抢中概率＝7/13

　　8次抢中概率＝8/13

　　……

　　13次抢中概率＝13/13＝1

　　这是一个显然的结论，如果抢答进行了13次，则每个孩子都有抢中机会。

　　可见，总抢中概率随着抢答次数的增加逐步提高，直到等于1。这说明事件“别人遭淘汰”发生，是有助于提高我们的总抢中概率的。因为胜出次数n是固定的5次，抢答次数的多寡便只取决于淘汰次数m的值。

　　然而，不能高兴得太早的是：c次抢答出现的概率是不一样的。举例说：13次抢答出现时，每个人的总抢中概率等于1（也就是必然事件），貌似十分美满，但是13次抢答出现的概率，在题目难度较小的情况下，远远要比5次、6次抢答出现的概率低。因此，问题的另一方面是：事件“c次抢答”出现的概率。

　　重点三：c次抢答出现概率取决于题目难易程度。

　　再设：

　　一轮抢答中，有胜出者用“1”表示，有淘汰者用“0”表示。

　　p：胜出概率。取值0～1；值越接近0，说明胜出可能性越低，代表题目难度越大；值越接近1，说明胜出可能性越高，代表题目难度越小。

　　q：淘汰概率。显然：q＝1－p。

　　为了本文叙述的简略，我们取：

　　p＝0.2，表示题目困难；

　　p＝0.5，表示题目适中；

　　p＝0.8，表示题目简单。

　　当然，如果我能在头条发布我的“Excel电子表格”计算模型的话，您大可以将p取0～1之间的任何值。需要提醒的是，为了简化计算，我们依然假定题目与题目之间的难易程度是固定不变的，也即第1道题目、第2道题目……的p值都是统一的。

　　①5次抢答结束，表示为：

　　（1，1，1，1），1

　　只有一种情况，为：C（4，4）＝1（4选4的组合数）。为何这样算？因为，最后一次肯定是以“第5个胜出者”作结束的，因此，先确定最后一个位置是“1”。

　　②6次抢答结束，表示为：

　　（1，1，1，1，0），1

　　有：C（4，5）＝5种情况（5选4的组合数）。

　　具体罗列如下：

　　（1，1，1，1，0），1

　　（1，1，1，0，1），1

　　（1，1，0，1，1），1

　　（1，0，1，1，1），1

　　（0，1，1，1，1），1

　　下面不再一一罗列，情况众多。

　　③7次抢答结束，表示为：

　　（1，1，1，1，0，0），1

　　有：C（4，6）＝15种情况（6选4的组合数）。

　　④8次抢答结束，表示为：

　　（1，1，1，1，0，0，0），1

　　有：C（4，7）＝35种情况（7选4的组合数）。

　　⑤9次抢答结束，表示为：

　　（1，1，1，1，0，0，0，0），1

　　有：C（4，8）＝70种情况（8选4的组合数）。

　　……

　　可见，c次抢答结束的情况数是：

　　（n＋m－1选4的组合数）。

　　注意：

　　在Excel电子表格中，组合数的计算命令是：combin，且输入为：=combin(8,4)。很明显，上下标数字在横写时前后位置恰好相反。

　　（重要程度★★★★★）

　　截取Excel电子表格计算模型图如下：

　　共同部分：

　　题目困难：

　　可见，胜出概率p＝0.2时，题目难度大，5次～13次抢答出现的总概率也只有10%左右。也就是说，很难成功完成“选拔5名胜出者”的任务，因为此时的数学期望只有：13×0.2＝2.6（人），极少数人可以胜出。

　　题目适中：

　　胜出概率p＝0.5时，题目难度适中，8次抢答和9次抢答出现的概率最高，达到了约13.7%。此时的数学期望是：13×0.5＝6.5（人），一半的人可以胜出。

　　题目简单：

　　胜出概率p＝0.8时，题目难度小，5次抢答和6次抢答出现的概率最高，达到了约32.8%。此时的数学期望是：13×0.8＝10.4（人），较多的人可以胜出。

五

　　最后，以胜出概率p＝0.6，也即答题者可以取得“60分及格”为难度，举例说明有些令人匪夷所思的“综合概率”。上面“困难、适中、简单”三种示例中也包含“综合概率”。

综合概率

　　可见，此时7次抢答、8次抢答出现概率最高。我没有细心计数《考不好 没关系？》第一期和第二期分别抢答了几次结束，此刻也不想再耽误写作时间，就请求细心的网友帮忙了。我猜测节目中题目难度为0.5、0.6的可能性居多（这个数字与通常的难度系数相反，因为我以胜出概率表达难度系数，数字越大，难度越低）。

　　（重要程度★★★★★）

　　c次抢中概率是随着抢答次数递增的，直到1。但由于c次抢答出现的概率有高有低，且只有“c次抢答事件”出现，“c次抢中概率”才变为现实，因此，后者以前者为条件。根据条件概率的计算公式得到上面的综合概率计算公式，上文已有提及，不再赘述。

　　“综合概率”是我自己给出的命名，是表达的需要。

　　本来递增的“c次抢中概率”，在考察“c次抢答事件”出现概率，并综合计算后，由：

　　5/13＝0.384615385

　　6/13＝0.461538462

　　7/13＝0.538461538

　　8/13＝0.615384615

　　9/13＝0.692307692

　　10/13＝0.769230769

　　11/13＝0.846153846

　　12/13＝0.923076923

　　13/13＝1

　　变为：

　　5次抢答：0.029907692

　　6次抢答：0.071778462

　　7次抢答：0.100489846

　　8次抢答：0.107189169

　　9次抢答：0.096470252

　　10次抢答：0.077176202

　　11次抢答：0.056595881

　　12次抢答：0.038808604

　　13次抢答：0.025225593

　　这样“两头低，中间高”的状态。

　　结论是：8次抢答事件出现时的综合概率最高，是0.107189169。

　　用最简单的事实描述就是：虽然抢答13次时每个孩子都有抢中机会，但是“抢答13次”在通常题目难度下，是一个小概率事件。

六

　　好了，本文就此打住，如果您能细心阅读并同样纸笔演算至此，甚至根据几张Excel截图尝试建立自己的“电子表格计算模型”，您无疑是真正的具备独立思考的人。

　　再会。

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