實用乾貨，公考行測數學運算中“幾何問題”的妙解方法集合，收藏

在公考行測當中，數學運算中的“幾何問題”是很多考生的老大難問題。即使是理工科的考生也是很難在短時間內解答出來的。今天，小編就將這些“幾何問題”的妙解方法結合實例為大家講解一下。

【基本公式集合】：

面積基本公式：（1）三角形的面積S＝1/2ah （2）長方形的面積S＝a×b

（3）正方形的面積S＝a² （4）梯形的面積S＝(a+b)/2×h

（5）圓的面積=πr²＝1/4πd²

（1）等底等高的兩個三角形面積相同；

（2）等底的兩個三角形面積之比等於高之比；

（3）等高的兩個三角形面積之比等於底之比。

解決面積問題的核心是“割、補”思維，即當我們看到一個關於求解面積的問題，不要立刻套用公式去求解，這樣做很可能走入誤區，最後無法求解或不能快速求解。對於此類問題通常的使用的方法就是“輔助線法”即通過引入新的輔助線將圖形分割或者補全為很容易得到的規則圖形，從而快速求得面積。

體積基本公式：(1)長方體的體積V＝abc (2)正方體的體積V＝a3

(3)圓柱的體積V＝Sh ＝ πr2， S為圓柱底面積。

(4)圓錐的體積V＝1/3Sh ＝1/3πr2h ，S為圓錐底面積。

周長基本公式：（1）長方形的周長C＝(a＋b)×2

（2）正方形的周長C＝a×4 （3）圓的周長C＝2πr ＝πd

【實例講解】：

例1、現有邊長1米的一個木質正方體，已知將其放入水裡，將有0.6米浸入水中，如果將其分割成邊長0.25米的小正方體，並將所有的小正方體都放入水中，直接和水接觸的表面積總量為（）。

A3.4平方米B9.6平方米C13.6平方米D16平方米

【解析】邊長1米的一個木質正方體放入水裡，有0.6米浸入水中，說明要考慮水的浮力的作用，並且告訴了浮力的大小。可以得到的小正方體有64個，每一個直接和水接觸的表面積包括一個底面和4個側面的60%。根據題意，直接和水接觸的表面積總量為64×（0.25×0.25+40.6×0.25×0.25）=13.6（平方米）。答案選C。

例2、甲、乙兩個容器均有50釐米深，底面積之比為5∶4，甲容器水深9釐米，乙容器水深5釐米，再往兩個容器各注入同樣多的水，直到水深相等，這時兩容器的水深是（）。

A20釐米B25釐米C30釐米D35釐米

【解析】不妨假設兩個容器的底面積分別為5和4，設注入同樣多的水後相等的水深為x釐米，根據題意，注入水的體積相等，得到方程5（x-9）=4（x-5），解方程得x=25（釐米）。答案選B。

例4、一個邊長為8的正立方體，由若干個邊長為1的正立方體組成，現在要將大立方體表面塗漆，請問一共有多少個小立方體被塗上了顏色?()

A296B324C328D384

【解析】解法一：大立方體的表面積就是被塗了色的小立方體的面數，等於8×8×6=384（面），其中頂點上的8個小立方體每個都有3個面被塗了顏色，12條稜每條稜上有6個小立方體每個都有2個面被塗了顏色。可以想象，被塗色的小立方體的個數與被塗了色的小立方體的面數相比，3個面被塗了顏色的小立方體算了3次，2個面被塗了顏色的小立方體算了2次，因此，被塗色的小立方體的個數=384-2×8-12×6=296（個）。答案選A。

解法二：小立方體共有83=512（個），其中在內部（沒有一個面在外側）的共有63=216（個），則在外部的共有512-216=296（個），因此，被塗色的小立方體有296個。答案選A。

例6、半徑為1釐米的小圓在半徑為5釐米的固定的大圓外滾動一週，小圓滾了幾圈?()

A4B5C6D7

【解析】小圓在大圓外滾動一週的圈數等於大圓周長與小圓周長比較的倍數。圓周等於2，即圓周的倍數等於半徑的倍數，即答案為5。選B。

例9、一個油漆匠漆一間房間的牆壁，需要3天時間。如果用同等速度漆一間長、寬、高都比原來大一倍的房間的牆壁，那麼需要多少天?()

A3B12C24D30

【解析】長、寬、高都比原來大一倍，表面積就是原來的4倍，因此需要3×4=12（天）。答案選B。

例12、一家冷飲店，過去用圓柱形的紙杯子裝汽水，每杯賣2元錢，一天能賣100杯。現在改用同樣底面積和高度的圓錐形紙杯子裝，每杯只賣1元錢。如果該店每天賣汽水的總量不變，那麼現在每天的銷售額是過去的多少?（）

A50％B100％C150％D200％

【解析】過去每天的銷售額是2×100=200（元）。由於等底等高的圓柱體的體積是圓錐體的3倍，那麼如果該店每天賣汽水的總量不變，每天要賣300杯，則現在每天的銷售額是1×300=300（元），是原來的1.5倍。答案選C。

例13、一個長方體形狀的盒子長、寬、高分別為20釐米、8釐米和2釐米，現在要用一張紙將其六個面完全包裹起來，要求從紙上剪下的部分不得用作貼補，請問這張紙的大小可能是下列哪一個?（）

A長25釐米、寬17釐米B長26釐米、寬14釐米

C長24釐米、寬21釐米D長24釐米、寬14釐米

【解析】紙的面積一定大於或等於長方體的表面積，通過運算，符合條件的只有C。答案選C。

最短路線問題：

通常最短路線問題是以“平面內連結兩點的線中，直線段最短”為原則引申出來的．人們在生產、生活實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題．

在本講所舉的例中，如果研究問題的限制條件允許已知的兩點在同一平面內，那麼所求的最短路線是線段；如果它們位於凸多面體的不同平面上，而允許走的路程限於凸多面體表面，那麼所求的最短路線是折線段；如果它們位於圓柱和圓錐面上，那麼所求的最短路線是曲線段；但允許上述哪種情況，它們都有一個共同點：當研究曲面僅限於可展開為平面的曲面時，例如圓柱面、圓錐面和稜柱面等，將它們展開在一個平面上，兩點間的最短路線則是連結兩點的直線段．

這裡還想指出的是，我們常遇到的球面是不能展成一個平面的．例如，在地球（近似看成圓球）上A、B二點之間的最短路線如何求呢？我們用過A、B兩點及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕為圓周（稱大圓），在這個大圓周上A、B兩點之間不超過半個圓周的弧線就是所求的A、B兩點間的最短路線，航海上叫短程線．

在求最短路線時，一般我們先用“對稱”的方法化成兩點之間的最短距離問題，而兩點之間直線段最短，從而找到所需的最短路線．像這樣將一個問題轉變為一個和它等價的問題，再設法解決，是數學中一種常用的重要思想方法．

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