初一剛剛接觸角的運算，餘角補角以及角平分線的知識，同學們感到不好理解，特別是有些題型的規律還沒有很好的掌握，下面通過舉例一一分類說明.
一.角的單位進制在計算中的應用
1.計算下列各題.
(1)153°19'42"+26°40'28"
(2)33°15'16"×5
(3)175°16'30"一47°30‘÷6+4°12'50"×3
【分析】角度相加，把度、分、秒分別相加，滿60要進位;角度的相減，把度、分、秒分別相減，不夠減時，借1作60，併入原數相減;乘法運算時，先把度、分、秒乘以倍數，將結果滿60"進1'，滿60'進1°;除法運算，從度開始除，將餘數化成分，和原有的分相加後再除，將餘數化成秒，和原有的秒相加再除，若除不盡則四捨五入，精確到分時，則將不足30"捨去，30"及超過30"的進為1'，精確到度時，不足30'捨去，30‘及超過30'的進1°.
解:(1)原式=(153+26)°(19+40)'(42+28)"=179°59'70"=180°10"
(2)原式=(33×5)°(15×5)'(16×5)"=165°75'80"=166°16'20"
(3)原式=175°16'30"一(47÷6)°(30÷6)'+(4×3)°(12×3)'(50×3)"=175°16'30"一7°(330÷6)'+12°36'150"=175°16'30"一7°55'+12°38'30"=(174一7+12)°(76一55+38)'(30+30)"=179°59'60"=180°.
二.利用角的倍數關係求角
2.如圖，已知∠AOE=130°，∠AOB:∠BOC=2:1，且3∠COE=2∠AOB，求∠AOB的度數.
【分析】從條件看，∠BOC=1/2∠AOB，∠COE=2/3∠AOB，而∠BOC十∠COE十∠AOB=∠AOE=130°，則可列方程求解.
解:設∠AOB=x，∵∠AOB:∠BOC=2:1，則∠BOC=x/2，又3∠COE=2∠AOB，則，∠COE=2x/3，而∠COE+∠BOC+∠AOB=∠AOE=130°，則x+x/2+2x/3=130°，解得x=60°，所以∠AOB的度數為60°.
3.如圖，∠AOB，∠BOC，∠COD的度數之比為2:1:3，且∠AOC+∠DOB=140°，求∠AOD的度數.
【分析】條件有三個角的度數比，一般可設未知數列方程求解.
解:設，∠BOC=x，則∠AOB=2x，∠COD=3x，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=3x，∠DOB=∠BOC+∠COD=x+3x=4x，因為∠AOC十∠DOB=140°，所以可得，3x+4x=140°，解得x=20°，∠AOB=2x=40°，∠COD=3x=60°，則∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=40°+20°+60°=120°.所以∠AOD的度數為120°.
三.利用餘角、補角的定義判斷角的關係
4.如圖，點A、O、E在同一條直線上，OB，OC，OD都是射線，∠1=∠2，∠1和∠4互為餘角.
(1)∠2和∠3的大小有何關係？
(2)∠3與∠4的大小有何關係？
(3)說明∠AOD是∠3的補角.
【分析】判斷角的大小關係，一般是倍比關係，互餘關係，互補關係，從條件出發進行推導，往往能找見某種關係.
解:(1)因為∠1+∠4=90°，而∠AOE=180°，所以∠BOD=180°一(∠1+∠4)=180°一90°=90°，即∠2+∠3=90°，所以∠2與∠3互餘.
(2)因為∠2+∠3=90°，∠1=∠2，所以∠1+∠3=90°，又因為∠1十∠4=90°，所以∠3=∠4.
(3)因為∠4+∠AOD=180°，而∠3=∠4，所以∠3十∠AOD=180°，所以∠3與∠AOD互補，也即∠AOD是∠3的補角.
5.設∠A，∠B的度數分別為2n一1°和68°一n，且∠A，∠B都是∠C的補角.
(1)求n的值
(2)∠A和∠B是互餘，為什麼？
解:因為∠A，∠B都是∠C的補角，所以∠A=∠B，所以2n一1°=68°一n，解n=23°
(2)∠A和∠B互餘，理由如下:
由(1)知n=23°，所以∠A=2n一1°=2×23°一1=45°，∠B=68°一n=68°一23°=45°，∠A+∠B=90°，所以∠A與∠B互餘.
四.角平分線間的夾角問題
6.如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線.
(1)若∠AOB=150°，則∠COE是多少度？
(2)在(1)的條件下，若∠COD=30°，則∠BOE是多少度？
【分析】這類題一般都是利用角平分線的定義，結合條件進行角的推導.
解:(1)因為OC是∠AOD的平分線，所以∠EOD=1/2∠DOB，又因為OE是∠BOD的平分線，所以∠COD=1/2∠AOD，所以∠COE=∠EOD十∠COD=1/2∠DOB+1/2∠AOD=1/2(∠DOB十∠AOD)=1/2∠AOB=1/2×150°=75°.
(2)因為∠COE=75°，∠COD=30°，所以∠DOE=∠COE一∠COD=75°一30°=45°，因為OE平分∠DOB，所以∠BOE=∠DOE=45°.
7.如圖，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC.
(1)求∠MON的度數;
(2)若∠AOB=α，其他條件不變，求∠MON的度數;
(3)若∠AOC=β(β為銳角)，其他條件不變，求∠MON的度數;
(4)從上面的結果中可以看出什麼規律？
【分析】由於∠AOB，∠AOC的角度已知，則∠BOC的角度可出，而OM平分∠BOC，所以∠MOC的角度可出，又ON平分∠AOC，所以∠NOC的角度可出，則∠MON=∠MOC一∠NOC，可求得結果.
解:(1)因為∠AOB=90°，∠AOC=30°，所以∠BOC=120°，因為OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，所以∠MOC=60°，∠NOC=15°，所以∠MON=∠MOC一∠NOC=45°.
(2)因為∠AOB=α，∠AOC=30°，所以∠BOC=α+30°，因為OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，所以∠MOC=α/2+15°，∠NOC=15°，所以∠MON=∠MOC一∠NOC=α/2.
(3)因為∠AOB=90°，∠AOC=β，所以∠BOC=90°+β，因為OM平分∠BOC，ON平分∠AOC。所以∠MOC=45°+β/2，∠NOC=β/2，所以∠MON=∠MOC一∠NOC=45°.
(4)從上面的結果中，發現∠MON的大小隻與∠AOB的大小有關，與∠AOC的大小無關.
五.與角平分線有關的分類討論問題
8.已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度數.
【分析】給出兩個角，它們的OB邊重合，但OC邊在什麼位置？不明確，所以分OC落在∠AOB內，外兩種情況解答.
解:①當OC落在∠AOB內部時，如圖，
∵OM平分∠AOB，∴∠BOM=1/2∠AOB=100°×1/2=50°，∵ON平分∠BOC，∴∠BON=1/2∠BOC=60°×1/2=30°，∴∠MON=∠BOM一∠BON=50°一30°=20°.
②當OC落在∠AOB的外部時，如圖，
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠BOM=1/2∠AOB=100°×1/2=50°，∠BON=1/2∠BOC=60°×1/2=30°，∴∠MON=∠BOM+∠BON=50°+30°=80°.綜上所述，∠MON的度數為20°或80°.
9.已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE=30°，∠BOD=20°，求∠COF的度數.
【分析】條件給出∠BOC在∠AOB的外部，但兩個角的大小又不確定，可能導致不同的結果，所以分∠BOC大於∠AOB，與∠BOC小於∠AOB兩種情況討論.
解:①當∠BOC小於∠AOB時，如圖
由題意知∠BOE=∠AOE=30°，∠BOD=20°，∴∠DOE=10°，∴∠AOD=40°，又∠COD=∠AOD=40°，∠BOD=20°，∴∠BOC=20°，∴∠COF=1/2∠BOC=20°×1/2=10°.
②當∠BOC大於∠AOB時，如圖，
由題意知∠BOE=∠AOE=30°，∠BOD=20°，所以∠AOD=80°，又∠COD=∠AOD=80°，∠BOD=20°，所以∠BOC=100°，∴∠COF=1/2∠BOC=100°×1/2=50°.
綜上所述，∠COF=10°或50°.
【總結】有關角的運算的題目一般不太難，但同學們要認真寫好每題的步驟，為以後幾何的學習打下紮實的基礎.
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