今天要寫的數學公理方面的故事，又是我們普通人忽略了的數學內容。對於不是數學專業的學生來說，學校基本都沒有提到這方面的知識。然而，這方面內容引發的爭論，是數學其它內容都不可比擬的，而且這場爭論雙方只是暫時鳴金收兵，什麼時候再爆發更大的論戰，偉崗也說不清楚。
文章開始之前，還是感謝朋友同學的鼓勵打賞，也希望多些朋友同學關注轉發偉崗的文章，謝謝了！
首先要強調地是，數學公理內容實在太多，我們普通人又瞭解的太少，所以，靠一篇文章說清楚這方面內容，不太現實。偉崗後續會再多做介紹，這一篇只能算是一個引子。
故事從希爾伯特說起。1900年的世界數學大會是數學史上最光輝耀眼的數學盛會。甚至可以說是近代數學達到頂峰的一次集會。看看大會的陣營，你就會知道那次大會的厲害。大會主席是龐加萊（歷史上最後一位數學全才），埃爾米特（在超越數上貢獻無人可及的數學家）為名譽主席。發言的包括康托爾（集合論的發明者）和希爾伯特。特別是希爾伯特最後總結性發言直指數學發展的根本，這就是所謂的希爾伯特23個問題。
你要稍微看看希爾伯特的23個問題，你就可以感受到當時數學家的雄心（由於篇幅問題，偉崗這裡就不列出來這23個問題了）。23個問題中，好幾個都向世人發出一個信號，那就是要建立一個完美的數學體系。
其中第一個問題連續統假設，企圖把數的本性搞清楚。我們上篇講過，康托爾證明了無理數比有理數多，在數學上數學家把有理數集合叫可數集（為什麼被稱為可數，是因為數學家證明了有理數跟整數一樣多，也就是說有理數跟整數有一一對應的關係，由於整數1,2,3,4等等是可數的，所以有理數集合也叫做可數集），而無理數集合被成為實數集合。在可數集和實數集之間有沒有其它數的集合呢？這就是連續統假設想證明的。貌似這個問題很顯然是沒有，但要證明它就非常難了，可以說至今都沒有完美的答案。這說明數的性質還有很深的邏輯藏在我們沒想到的地方。
希爾伯特的第二個問題就直接向世人表示，我們有信心建立一個沒有紕漏的數學大廈，那就是證明算術公理的相容性。
那麼到底什麼是公理，特別是數學公理呢？簡單地說，所謂公理就是出發點，也就是事情還沒開始，大家都約定肯定成立的前提條件。
我們前面講過歐幾里得的幾何原本。這部書就是描述歐氏幾何。書的開篇就有幾大公理和公設。幾何原本有5大公理，這五個公理對我們普通人來說，簡直就是不用想也應該是對的。第一就是等於同量的量相等，第二是等量加等量其和仍然相等，第三是等量減等量其差相等。第四是彼此能重合的物體是全等的。第五是整體大於局部。
這五點，按照我們普通人常識思維肯定是成立的。另外還有5大公設，除了第五大公設平行公設後來發現可以有其它路徑外，其它四個都是關於點，圓，線的作圖，應該也沒有問題。簡單說，前四大公設為，1.兩點可以做一條直線，2.直線可以延長，3.任意點加一個長度可以畫個圓，4.所有直角都是相等的。四大公設一看也是顯然成立的。
從這十點出發，歐幾里得通過幾何原本勾畫出了整個歐氏幾何，也是我們中學學過的幾何內容。我們學的時候，看不出任何問題。
現在希爾伯特提出要證明這個公理系統沒毛病，即是相容的。這是什麼意思呢？意思就是說，我們定下的這些公理條款，通過合邏輯的推導手段，不會推導出矛盾的結論。舉個例子說，我們不能用上面的十個公理（包括公設），最後證明兩個三角形又全等，又不全等，這樣就矛盾了。
還有另外一層意思就是說，有了這些公理，任何幾何方面的問題，我們都可以解決。這也叫做公理系統的完備性。不完備的公理系統，在希爾伯特眼裡也是不完美的。同樣簡單地說，一個幾何題，我們肯定是做得出來的，如果做不出來，那公理就不完備了。
其實，當時絕大多數人包括很多數學家，都認為證明公理系統相容完備性沒有意義，特別是歐氏幾何，都經過幾千年的考驗了，發生過證明出相矛盾的命題嗎？顯然沒有。有沒有不能證明的幾何命題？當時群論都發展起來，連最難的三等分角等的三個尺規作圖問題都解決了，似乎沒有任何幾何題，數學家沒有答案的。為什麼非要去證明所謂公理系統的相容和完備性呢？
我們還真不能怪希爾伯特鑽牛角尖。因為當時除了歐幾里得的幾何公理，還有其它一些數學的公理體系。最叫人擔心的就是數的公理，也就是希爾伯特在他的第二個問題中提到的算術公理。這套公理定義了數和數的運算規則，它又叫做皮亞諾公理，是意大利數學家皮亞諾提出的，公理總共有九條，粗看看也都是顯然的。不過由於希爾伯特時代，數論還是有很多懸而未決的問題，也許希爾伯特直覺感到皮亞諾公理體系有缺陷，所以提出要數學家來證明這個皮亞諾公理體系是相容完備的。
在探索皮亞諾公理系統相容性的過程中，另外一個超級天才又進入了數學家的視野，那就是英國數學家羅素。
羅素的天才在於他能把人的邏輯思維非常簡明的描繪出來，所以後人也把羅素稱為邏輯大師。同時羅素又被人贊為哲學家，這在數學家中並不多見（可能只有笛卡爾有哲學家的稱號）。哲學家的厲害之處，在於用簡明的語言點出了深奧的人生道理，讓你不得不佩服。羅素把數理邏輯發展成了一門哲學學科，足見他功底之深。
當然，羅素在數學上最叫人記住的，不是他的深奧理論，而是他發現了集合論的矛盾，現在也叫做羅素悖論。這個悖論甚至引發了第三次數學危機，可見其影響程度之深。
關於羅素悖論，羅素在1919年用一個大眾化的語言來說明（別忘了羅素還是哲學家，所以用大眾化語言是他的強項），這就是著名的理髮師刮臉問題。羅素說，在一個村，如果只有一個理髮師，而這個理髮師又宣稱，他只給所有不給自己刮臉的人刮臉。這時候矛盾就來了，理髮師給不給自己刮臉呢？如果他給自己刮臉，顯然他違背了不給自己刮臉這一條，在往下推論，他給違背不給自己刮臉的人刮臉（這個人就是他自己），這個跟他宣稱的矛盾。反過來說，他不給自己刮臉，也還是不對，他應該給所有不給自己刮臉的人刮臉，現在他不給自己刮臉了，他滿足了不給自己刮臉這一條，這樣的話，他就應該給自己刮臉（記住一開始是假設他不給自己刮臉的），這又是個矛盾。所以理髮師不可避免的陷入矛盾的境界，也就是說產生了悖論。
有的同學，這時可能有些疑問了。這個理髮師的悖論又跟集合論有什麼關係呢？其實羅素是把集合跟集合中元素的關係用理髮師的故事表達出來了。
說地直白一點，如果用集合論語言，我們就簡單定義這樣一個集合，這個集合由不滿足集合性質的元素組成（這個性質可以有很多定義，在理髮師的故事中就是理髮師刮臉的條件），這樣也會產生悖論。因為如果某個元素是集合中的元素，那麼它必然滿足集合的性質，這於不滿足集合的性質矛盾。同樣反過來說，如果某個元素不是集合中的元素，那它就應該不滿足集合的性質，按照上面的定義條件（指集合由不滿足集合性質的元素組成這個定義條件），這個元素又是集合中的元素，同樣矛盾。所以也產生悖論。
羅素悖論激發了羅素想建立有確定性數學體系的決心。因為有問題有困難才體現天才的價值，所以他提出了一系列公理，試圖化解這個集合悖論，並寫出了鉅著《數學原理》，企圖建立一個完美的數學體系，這個數學體系沒有悖論，一切由公理出發，所有問題都可以解決。
正是這部《數學原理》引起了另一個數學天才的注意，並從而推倒了所有數學公理體系成立的可能，這個天才就是哥德爾！
今天的篇幅也太長，所以哥德爾的故事留在下一篇再描述了。請關注偉崗，更多精彩文章會不斷出現。
閱讀更多 偉崗飛鏢 的文章
