今天要写的数学公理方面的故事，又是我们普通人忽略了的数学内容。对于不是数学专业的学生来说，学校基本都没有提到这方面的知识。然而，这方面内容引发的争论，是数学其它内容都不可比拟的，而且这场争论双方只是暂时鸣金收兵，什么时候再爆发更大的论战，伟岗也说不清楚。
文章开始之前，还是感谢朋友同学的鼓励打赏，也希望多些朋友同学关注转发伟岗的文章，谢谢了！
首先要强调地是，数学公理内容实在太多，我们普通人又了解的太少，所以，靠一篇文章说清楚这方面内容，不太现实。伟岗后续会再多做介绍，这一篇只能算是一个引子。
故事从希尔伯特说起。1900年的世界数学大会是数学史上最光辉耀眼的数学盛会。甚至可以说是近代数学达到顶峰的一次集会。看看大会的阵营，你就会知道那次大会的厉害。大会主席是庞加莱（历史上最后一位数学全才），埃尔米特（在超越数上贡献无人可及的数学家）为名誉主席。发言的包括康托尔（集合论的发明者）和希尔伯特。特别是希尔伯特最后总结性发言直指数学发展的根本，这就是所谓的希尔伯特23个问题。
你要稍微看看希尔伯特的23个问题，你就可以感受到当时数学家的雄心（由于篇幅问题，伟岗这里就不列出来这23个问题了）。23个问题中，好几个都向世人发出一个信号，那就是要建立一个完美的数学体系。
其中第一个问题连续统假设，企图把数的本性搞清楚。我们上篇讲过，康托尔证明了无理数比有理数多，在数学上数学家把有理数集合叫可数集（为什么被称为可数，是因为数学家证明了有理数跟整数一样多，也就是说有理数跟整数有一一对应的关系，由于整数1,2,3,4等等是可数的，所以有理数集合也叫做可数集），而无理数集合被成为实数集合。在可数集和实数集之间有没有其它数的集合呢？这就是连续统假设想证明的。貌似这个问题很显然是没有，但要证明它就非常难了，可以说至今都没有完美的答案。这说明数的性质还有很深的逻辑藏在我们没想到的地方。
希尔伯特的第二个问题就直接向世人表示，我们有信心建立一个没有纰漏的数学大厦，那就是证明算术公理的相容性。
那么到底什么是公理，特别是数学公理呢？简单地说，所谓公理就是出发点，也就是事情还没开始，大家都约定肯定成立的前提条件。
我们前面讲过欧几里得的几何原本。这部书就是描述欧氏几何。书的开篇就有几大公理和公设。几何原本有5大公理，这五个公理对我们普通人来说，简直就是不用想也应该是对的。第一就是等于同量的量相等，第二是等量加等量其和仍然相等，第三是等量减等量其差相等。第四是彼此能重合的物体是全等的。第五是整体大于局部。
这五点，按照我们普通人常识思维肯定是成立的。另外还有5大公设，除了第五大公设平行公设后来发现可以有其它路径外，其它四个都是关于点，圆，线的作图，应该也没有问题。简单说，前四大公设为，1.两点可以做一条直线，2.直线可以延长，3.任意点加一个长度可以画个圆，4.所有直角都是相等的。四大公设一看也是显然成立的。
从这十点出发，欧几里得通过几何原本勾画出了整个欧氏几何，也是我们中学学过的几何内容。我们学的时候，看不出任何问题。
现在希尔伯特提出要证明这个公理系统没毛病，即是相容的。这是什么意思呢？意思就是说，我们定下的这些公理条款，通过合逻辑的推导手段，不会推导出矛盾的结论。举个例子说，我们不能用上面的十个公理（包括公设），最后证明两个三角形又全等，又不全等，这样就矛盾了。
还有另外一层意思就是说，有了这些公理，任何几何方面的问题，我们都可以解决。这也叫做公理系统的完备性。不完备的公理系统，在希尔伯特眼里也是不完美的。同样简单地说，一个几何题，我们肯定是做得出来的，如果做不出来，那公理就不完备了。
其实，当时绝大多数人包括很多数学家，都认为证明公理系统相容完备性没有意义，特别是欧氏几何，都经过几千年的考验了，发生过证明出相矛盾的命题吗？显然没有。有没有不能证明的几何命题？当时群论都发展起来，连最难的三等分角等的三个尺规作图问题都解决了，似乎没有任何几何题，数学家没有答案的。为什么非要去证明所谓公理系统的相容和完备性呢？
我们还真不能怪希尔伯特钻牛角尖。因为当时除了欧几里得的几何公理，还有其它一些数学的公理体系。最叫人担心的就是数的公理，也就是希尔伯特在他的第二个问题中提到的算术公理。这套公理定义了数和数的运算规则，它又叫做皮亚诺公理，是意大利数学家皮亚诺提出的，公理总共有九条，粗看看也都是显然的。不过由于希尔伯特时代，数论还是有很多悬而未决的问题，也许希尔伯特直觉感到皮亚诺公理体系有缺陷，所以提出要数学家来证明这个皮亚诺公理体系是相容完备的。
在探索皮亚诺公理系统相容性的过程中，另外一个超级天才又进入了数学家的视野，那就是英国数学家罗素。
罗素的天才在于他能把人的逻辑思维非常简明的描绘出来，所以后人也把罗素称为逻辑大师。同时罗素又被人赞为哲学家，这在数学家中并不多见（可能只有笛卡尔有哲学家的称号）。哲学家的厉害之处，在于用简明的语言点出了深奥的人生道理，让你不得不佩服。罗素把数理逻辑发展成了一门哲学学科，足见他功底之深。
当然，罗素在数学上最叫人记住的，不是他的深奥理论，而是他发现了集合论的矛盾，现在也叫做罗素悖论。这个悖论甚至引发了第三次数学危机，可见其影响程度之深。
关于罗素悖论，罗素在1919年用一个大众化的语言来说明（别忘了罗素还是哲学家，所以用大众化语言是他的强项），这就是著名的理发师刮脸问题。罗素说，在一个村，如果只有一个理发师，而这个理发师又宣称，他只给所有不给自己刮脸的人刮脸。这时候矛盾就来了，理发师给不给自己刮脸呢？如果他给自己刮脸，显然他违背了不给自己刮脸这一条，在往下推论，他给违背不给自己刮脸的人刮脸（这个人就是他自己），这个跟他宣称的矛盾。反过来说，他不给自己刮脸，也还是不对，他应该给所有不给自己刮脸的人刮脸，现在他不给自己刮脸了，他满足了不给自己刮脸这一条，这样的话，他就应该给自己刮脸（记住一开始是假设他不给自己刮脸的），这又是个矛盾。所以理发师不可避免的陷入矛盾的境界，也就是说产生了悖论。
有的同学，这时可能有些疑问了。这个理发师的悖论又跟集合论有什么关系呢？其实罗素是把集合跟集合中元素的关系用理发师的故事表达出来了。
说地直白一点，如果用集合论语言，我们就简单定义这样一个集合，这个集合由不满足集合性质的元素组成（这个性质可以有很多定义，在理发师的故事中就是理发师刮脸的条件），这样也会产生悖论。因为如果某个元素是集合中的元素，那么它必然满足集合的性质，这于不满足集合的性质矛盾。同样反过来说，如果某个元素不是集合中的元素，那它就应该不满足集合的性质，按照上面的定义条件（指集合由不满足集合性质的元素组成这个定义条件），这个元素又是集合中的元素，同样矛盾。所以也产生悖论。
罗素悖论激发了罗素想建立有确定性数学体系的决心。因为有问题有困难才体现天才的价值，所以他提出了一系列公理，试图化解这个集合悖论，并写出了巨著《数学原理》，企图建立一个完美的数学体系，这个数学体系没有悖论，一切由公理出发，所有问题都可以解决。
正是这部《数学原理》引起了另一个数学天才的注意，并从而推倒了所有数学公理体系成立的可能，这个天才就是哥德尔！
今天的篇幅也太长，所以哥德尔的故事留在下一篇再描述了。请关注伟岗，更多精彩文章会不断出现。
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