丈量新世界
积分
对于经常学习使用微积分的我来说哦，理解微积分就需要理解下面几个点：
1.无穷小：无限趋近于0的变量。将一根木棍均匀分割成无限多的小段，每一小段就是一个无限小的量。
2. 在无限小的世界里，没有曲线。所有无限小的线段都是直线。如下图所示，当需要求曲线下方与X，Y轴之间面积的时候，最容易的想法就是无线分割。如下图这样将X轴分割成7等份，整个面积被分成了7份。但是当无限分割后，阴影面积被分解成无限份，因为无限小的线段都是直线，两个曲线上无限接近的点的连线可以看做即平行于X轴，也平行于Y轴（比较抽象）。
所以阴影面积就是无穷多个矩形面积的和。
这个是积分：无线分割然后求和的过程。
正弦函数曲线面积
微分
微分的几何意义可以看做求曲线上任一点的切线斜率。
微积分的应用
这还是很多例子中的一个，活学活用才能体会到微积分的强大。
逃学博士
小学时候我们就学过圆的面积公式
其中S是圆的面积，π是圆周率，R是圆的半径。大家还记得这个公式是怎么得到的吗？
首先，我们画一个圆，这个圆的半径为R，周长为C。我们知道，圆的周长与直径的比定义为圆周率，因此
这个公式就是圆周率π的定义，是不需要推导的。
然后，我们把圆分割成许多个小扇形，就好像一个比萨饼分割成了很多小块。再然后，我们把这些比萨饼一正一反的拼在一起，这样就形成了一个接近于长方形的图形。
可以想象，如果圆分割的越细，拼好的图形就越接近长方形。如果圆分割成无限多份，那么拼起来就是一个严格的长方形了。而且，这个长方形的面积与圆的面积是相等的。我们要求圆的面积，只需要求出这个长方形的面积就可以了。
这个长方形的宽就是圆的半径R，而长方形的长是圆周长的一半
根据长方形的面积公式“长方形面积=长乘宽”，我们得到圆的面积公式：
其实，这个推导过程很简单，那就是先无限分割，再把这无限多份求和。分割就是微分，求和就是积分，这就是微积分的基本思想。
大家知道微积分是谁发明的方法吗？
其实，从古希腊时代开始，数学家们就已经利用微积分的思想处理问题了，比如阿基米德、刘徽等人，在处理与圆相关问题时都用到了这种思想，但是那时微积分还没有成为一种理论体系。直到十七世纪，由于物理学中求解运动-如天文、航海等问题越来越多，微积分的需求变得越来越迫切。于是，英国著名数学家和物理学家牛顿和德国哲学家和数学家莱布尼茨分别发明了微积分。
1665年，牛顿从剑桥大学毕业了，当时他22岁。他本来应该留校工作，但是英国突然爆发瘟疫，学校关闭了。牛顿只好回到家乡躲避瘟疫。在随后的两年里，牛顿遇到了他的苹果，发明了流数法、发现了色散，并提出了万有引力定律。
牛顿所谓的流数法，就是我们所说的微积分。但是牛顿当时并没有把它看得太重要，而只是把它作为一种很小的数学工具，是自己研究物理问题时的副产品，所以并不急于把这种方法公之于众。
十年之后，莱布尼茨了解到牛顿的数学工作，与牛顿进行了短暂的通信。在1684年，莱布尼茨作为微积分发明第一人，连续发表了两篇论文，正式提出了微积分的思想，这比牛顿提出的流数法几乎晚了20年。但是在论文中，莱布尼茨对他与牛顿之间通信的事只字未提。
牛顿愤怒了。作为欧洲科学界的学术权威，牛顿通过英国皇家科学院公开指责莱布尼茨，并删除了巨著《自然哲学的数学原理》中有关莱布尼茨的部分。莱布尼茨也毫不示弱，对牛顿反唇相讥。两个科学巨匠的争论直到二人去世依然没有结果。所以我们今天谈到微积分公式，都称之为“牛顿-莱布尼茨公式”。
他们在自己的著作中删除对手的名字时，如果知道后人总是把他们的名字放在一块写，又会作何感想呢？历史就是这么有趣。
为了让大家更了解微积分和它的应用，我们再来计算一个面积：有一个三条边为直线，一条边为曲线的木板，并且有两个直角。我们希望求出木板的面积。
为了求出这个面积，我们首先把木板放在一个坐标系内，底边与x轴重合。左右两个边分别对应着x=a和x=b两个位置，而顶边曲线满足函数y=f(x).函数的意思就是一种对应关系：每个x对应的纵坐标高度是f(x)。
如果我们把这个图形使用与y轴平行的线进行无线分割，那么每一个竖条都非常接近于一个长方形，而且长方形的宽是一小段横坐标Δx，高接近于f(x)，所以这一小条的面积就是f(x)Δx。
现在我们把无限多的小竖条求和，就是板子的面积，写作
其中a叫做下限，b叫做上限，f(x)叫做被积函数，这个表达式就是积分，表示f(x)、x=a、x=b和x轴四条线围成的图形面积。
怎么样？虽然微积分的计算比较复杂，但是明白原理还是十分简单的，对不对？
李永乐老师
今年我家孩子上大学。暑假里我给他讲了一下微积分的本质。我给自己设定的要求是没有一个公式，而且中学生都能听得懂，我是这样讲的：
求一个直角三角形的高，可以通过底长和夹角来推算，但如果三角形是一个曲边的呢？再用加角和底边儿推算就会产生很大的误差。
那该怎么办呢？不妨曲边三角形分成三段，形成三个蓝色直角三角形的，再通过它们夹角和底长推算数三个小高度，这三个小高度就叫做“微分”。
然后，将这三个微分累积起来，就叫做“积分”，这个积分就是我们所求的曲边三角形的高度。
问题来了，这三个蓝色直角三角形的高度，其实是低于实际高度的，会有一个红色的小误差。
如何将这个误差消除呢？如果分成更多段，形成更多的蓝色直角三角形，那么这个红色的误差就会快速缩小。
如果分成无穷多段，形成无穷多个蓝色直角三角形，那这个红色的小误差就会消失。
所以说微积分的本质就是：通过无穷小来求总和。
这算不算史上最容易理解的微积分科普？
先不忙夸我，这个例子及其说法是我从中国科学院林群院士那里偷学来的。
这个问答可是有院士背书啊😄请大力点赞评论和转发！
奥卡姆剃刀
很高兴回答你的问题。
说到微积分，我觉得这是我们接近世界本质，所迈出的第一步。
为什么这么说呢？因为，如果数学还停留在算个横平竖直、矩形三角的面积的话，那么离应用真的是差太远了。
数学是什么？
一个工具，如果说物理是在探究这个世界的一些规律和原理的话，那么数学就是物理的语言。
如果没有微积分，这个语言就几乎失去了价值。这个世界其实没有那么多棱角，连随便一块石头，都有风、水和岁月的侵蚀，来把棱角打磨。那么微积分就是打开了通向这个“圆滑”的世界的大门；除此之外，这个世界还是多变的，虽然说“你不可能踏入同一条河流两次”这样的观点太唯心，但是正是这样的思想告诉了我们一个道理：
这个世界变化太快。
而微积分给了我们去跟上变化的资本。
万变不离其宗，你怎么变，我都可以去积分积出来。
用哲学的角度看：
积分是看到了量变产生的质变。
微分是放大丝毫的变化，让你不被任何一个“平滑掉”的数据，蒙蔽双眼。
微积分，让我们有可能看清世界。
如果觉得有用，您就给点个赞、粉个好友呗。
大约花费0.3KB的流量，哈哈哈哈哈。
毕竟，我辣么萌~
不哈韩的小韩
微积分的本质可以从物理上求速度和位移来说明！
首先，说微分。没有这个概念以前，高中物理最多敢讲授匀变速运动。唯一涉及到变加速运动还是在功里面，通过汽车加速过程中，通过不断增加档位，减小牵引力，提高速度，最终达到匀速。大学里面解决这一问题就简单了，我们可以假设如上图的，如果
t2—t1无限趋紧于0，则这时：
v＝ds／dt，即由上图的平均速度变成了瞬时速度，这就是求位移对时间的导数。可见，小伙伴再也不是只能计算匀速、匀变速运动了，任何运动都可以用导数来计算。总结来说，就是微分就是如果我们将复杂的变加速运动速度，分割成很多的极短时间的匀速运动，就可以计算出物体各个时刻的速度了。
其次说积分。没有积分以前，我们也只能通过运动学公式计算匀速或者匀变速物体的位移。而有了积分我们面对变速运动也可以通过计算每一段不同速度的位移再加起来就可以了。
总之，微积分的出现使人类认识世界和改造世界的能力大大提高！
地震博士
说「本质」都是很难的事情。但我们可以从一些简单的定义出发，来理解一下什么是微积分。
我们看看最简单的一个积分：
它对应的图像就是这样的：
斜的直线就是它。但如果我们要计算它的面积，该怎么算呢？可以拆分成小的长方形。有的人可能会问，不还有三角形的差别吗？对，但如果长方形够细，这些差别就会足够小。当细到零的极限的时候，就是它的面积了。
也就是：
在取 delta x -> 0 的时候，就逼近了右边的积分式了。
实际上，积分的符号就是拉长的S，也就是Sigma符号的S。这也表明了他们之间的内在关联。
为什么我不说「积分就是算面积」呢？因为这个说法不严谨，除了我们常见的积分（黎曼积分）之外，还有Lebesgue积分，如果直接说积分就是算面积，其实是很不严谨的。
而且在做路径积分的时候，「求和」这个直觉模型，是比「面积」要更为直观的。如果死守住面积的说法，是不利于后面的学习的。
章彦博
十年前，翻箱倒柜找东西的时候，不小心翻出来大学时候的课本《高等数学》，心血来潮就重读起来，第一章是极限，第二章开始讲微分，读了两章，顿时觉得自己大学一年级时是多么的愚笨——这么简单的高等数学才考了七八十分。
十年后的某一日，把已经垫在书柜脚上的高等数学课本抽出来，擦去灰尘，翻开，腻麻，完全看逑不懂了！
如今，数学功底剩得只会如下运算：
单价╳面积=总价
工程结算价—已支付进度款=年底准备带工人去堵门或者用跳楼秀方式讨要的工程尾款
亹齍
通俗地说，“微积分”三个字，顾名思义，就是无限分割之后再无限累加，很好理解，是大学里所有自然科学专业的必修基础课，在数学系叫做“数学分析”，在其他系叫做“高等数学”，是理科生考研的重头戏，看似深奥，其实并不难，小学、中学的数学、物理都用到了微积分的思想。
小学算术，圆形面积计算，就是从圆心到圆周做许多辅助线，把圆形平均分割成许多圆心角很小的扇形，再把这些扇形相互交错地拼接成近似的矩形，分割得越细，拼接出的图形就越接近于矩形，当无限分割时，拼接出的图形就是矩形，这其实就是所谓的微积分，矩形的长等于圆形周长的一半πr，矩形的宽等于圆形的半径r，因此矩形的面积为πr²，也就是圆形的面积。
高中立体几何，球体体积计算，我上学时用的教科书，是将球体平行分割成许多圆台，两个最边上的看做近似的圆锥体，不过我觉得这种方法不好，推导过程太麻烦，不如从球心到球体表面做许多辅助线，把球体分割成许多顶角很小的近似的锥体，所有锥体的底面积之和等于球体的表面积4πr²，锥体的高近似等于半径r，和前面的圆形面积同理，分割得越细，锥体的高就越接近于半径，当无限分割时，锥体的高就等于半径，因此球体的体积为4πr³／3，我觉得这样推导体积公式简单得多，用微积分的专业术语来说，球面积分比直角坐标积分简单，不过上中学时不敢违抗课本和老师，呵呵。 高中物理，力学里的加速度，就是速度的导数，只不过高中没有正式学过微积分，只能用初等数学的方法，所以说，大学里的普通物理，其实比中学物理容易，大学的高等数学，也比高中数学容易，就像用初中代数做《九章算术》里的“鸡兔同笼”一类的题，比用小学算术去做要简单一样。
锌栯皊琋
微积分的本质是什么？能否用通俗易懂的语言表达？
微分和积分的本质必须合起来讲，才有可能通俗易懂；要是分开来讲，反而变抽象了。
我们不妨以事物在时间中产生变化为例。积分相当于是指事物经历时间后产生的总变化量，微分则相当于指事物在每一个刹那的微小变化量。因此，积分显然是由微分累积而成的。所以这个道理其实只是一个非常简单的常识，可以归纳为一句话：
一段时间的总变化量，是由这段时间中的每个刹那的变化量累积而成的！这是不是简单到跟废话没有差别？的确就是这么简单。
我们将总变化量切分成一份一份（由时间来衡量的话，就是一刹那一刹那）的变化量的过程叫做微分；而将一份一份的变化量累积出总变化量的过程叫做积分。
我们要特别注意到，这里有一个难点：
- 每个刹那的变化量，或者说每一份微分其实基本都是不同的，因为每个刹那的变化率在绝大多数情况下都不是均匀的（否则我们就不需要微积分了）。
- 就像我们开车时，由于每个刹那的实际速率其实都是不同的，导致每个刹那的位移量也有大小不同。
因此，我们就必须能找到办法来计算每一份微分，然后能通过微分来计算积分。这就是微积分所要完成的总任务。
微积分的本质，事实上彻底体现在一个数学公式，被称为“微积分基本定理”，又称为“牛顿-莱布尼兹公式”：
这个公式如果能够理解的话，其实就等于彻底理解了微积分思想的全部。剩下的就只是对微分与积分规则的技术性掌握了。既然是谈本质，我们这里就不谈技术性问题了。
这个公式涉及到两个函数，一个是f(x)，一个是F(x)。至于什么是函数，不懂的话得自己去自学，毕竟这属于初高中的知识，否则得通俗到从小学讲起了。
在这个公式中，F(x)可称为f(x)的
一个原函数或者不定积分。F(x)在x点上的变化量，也即在x点时的微分，我们标记为dF(x)；它是在x点的变化率也即f(x)与该点发生的微小变化量dx的乘积，也即dF(x)＝f(x)dx。所以f(x)＝dF(x)/dx，因此f(x)又称为F(x)的导数函数。假设有一个事物在运动，我们不妨将函数f(x)理解为记录该事物的速度关于时间的函数，而将F(x)理解为该事物的位移关于时间的函数。于是dF(x)＝f(x)dx的意思其实是指x刹那时的微小位移量，等于x刹那时的速率与该刹那时间的乘积。
如果初始时刻是a，而末了时刻是b，则时间的自变量x就从a变化到了b。于是F(b)－F(a)显然就是指从时刻a到时刻b，事物的位移量，也即f(x)在这个时间段的定积分。它是怎么计算出来的呢？它是从时刻a到时刻b的每一份微小位移（微分）累积而成的总位移量(积分)。
明白了上述道理后，我们会发现，如果我们掌握了计算微分以及积分的基本规则，我们也就有办法计算变化率不均匀事物在运动变化中的瞬间变化率(导数)，瞬间变化量(微分）以及积累的总变化量(积分）的根本办法。这显然就更加对应现实世界了。
思想真正掌握了，再具体去熟悉计算规则，微积分也就不见得有多少难度了。
建章看世界
微积分的酝酿是在17世纪上半叶到17世纪末这半个世纪。
1608年伽利略第一架望远镜的制成，不仅引起了人们对天文学研究的高潮，而且还推动了光学的研究。
开普勒通过观测归纳出三条行星运动定律：
（1）行星运动的轨道是椭圆的，太阳位于该椭圆的一个焦点上。
（2）由太阳到行星的焦半径在相等的时间内扫过的面积相等。
（3）行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。
最后一条定律是在1619年公布的，而从数学上的推证开普勒的经验定律，成为当时自然科学的中心课题之一。1638年伽利略《关于两门新科学的对话》出版，为动力学奠定了基础，促进人们开始对动力学概念与定理作出精确的数学描述。望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线和求曲线的切线，而炮弹的最大射程和求行星的轨道的近日点、远日点等涉及函数最大值、最小值等问题；而求曲线所围成的面积、曲线长、重心和引力计算也激发了人们的兴趣。
在17世纪中叶，几乎所有的科学大师都致力于未解决这些难题而寻求一种新的数学工具。正是为解决这些疑难问题，一门新的学科——微积分应运而生。
微积分的创立，归纳为处理以下几类问题：
（1）已知物体运动的路程和时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度；反之，已知加速度与速度，求任意时刻速度和路程。
（2）求曲线的切线，这是纯几何问题，但对科学应用具有重大意义，如透镜的设计、运动物体在运动轨迹上任一点的运动方向（即该点切线方向）等。
（3）求函数最大值、最小值，前面提到弹道射程问题、近日点、远日点等问题都属于这一类问题。
（4）求积问题，包括求曲线长、曲线所围面积、曲面所围体积等。
而这些问题的解决，原有的已经无能为力了，只有当变量引进数学，能描述运动过程的数学新工具——微积分的创立后，这些难题才得以解决。其中最重要的是速度和距离以及曲线的切线和曲线下的面积这两类问题。正是为了解决这两类问题，才有了牛顿和莱布尼茨各自独自创立了微积分。
