本文給出一個新發現的關於孿生素數數目的下限公式。
標記函數 T(x) 為足夠大的自然數x範圍內的孿生素數的對數，則有：
T(x)～x/2·∏(1－2/p_i) （i從2至n）
其中p_i為第i個素數，並且p_n為不大於√x的最大素數。
例：估算1500以內的孿生素數對數。
不大於√1500的最大素數是p_12＝37；
因此：
T(1500)～1500/2·∏(1－2/p_i) （i從2至12）
＝1500/2·(1/3·3/5·5/7·9/11·11/13·15/17·
17/19·21/23·27/29·29/31·35/37)
＝750·382725/6516107
≈44
實際情況是1～1500中有46對孿生素數。由此可見這個公式給出的估值近似程度極高。
當然，這個公式在x值為大數時，計算量上龐大的缺陷也顯而易見。
但是，由這個公式，我們也會發現，當x→∞，函數T(x)→∞也是顯而易見的，因為事實上，必有：
x/2·∏(1－2/p_i)
＞x/2·1/3·3/5·5/7·9/11·…·(p_n﹣2)/p_n
＞x/2·1/p_n
＞√x/2
當x足夠大時，我們也不難發現其實x/2·∏(1－2/p_i)＞√x也是會成立的。因此我們不必通過複雜的計算，就可以輕鬆斷言1000以內至少有31對以上的孿生素數，10000以內肯定有遠多於100對以上的孿生素數。
也就是說公式T(x)～x/2·∏(1－2/p_i) 的成立能夠直接推出孿生素數猜想的成立。
因此，證明孿生素數猜想的關鍵就在於證明這個孿生素數分佈公式：
如何證明呢？
嚴格證明是相當繁瑣的，本文不擬在這裡詳述，僅簡單舉例說明證明思路。
我們不妨思考如下問題：
如何計算100以內的孿生素數的數目？
我們知道，如果自然數p－2及p是100以內的孿生素數，那麼p必然具有如下性質：
- p＜100；
- p是奇數；
- p不能為3整除，並且餘數不為2否則p-2將為3整除，p＝5除外；
- p不能為5整除，並且餘數不為2否則p－2將為5整除，p＝7除外；
- p不能為7整除，並且餘數不為2否則p－2將為7整除；
滿足上述5個條件的自然數p及p－2，必然是100以內的孿生素數對。我們不用考慮p為11以上的素數所除時的餘數情況，因為√100＜11。
然後可列出下述算式來進行近似計算：
100/2－(50·2/3＋50·2/5＋50·2/7)
＋(50·4/15＋50·4/21＋50·4/35)
－50·8/105
（式子 ⑴）
（注意：15＝3×5，21＝3×7，35＝5×7，105＝3×5×7）
上述算式的結果是約等於7，實際100以內有孿生素數對8對。
思路是這樣的：
① 先扣除偶數的數目，然後扣除為3除餘數為0、2的奇數，再扣除被5除餘數為0、2的奇數，再扣除為7除餘數0、2的奇數；
② 由於①中存在重複扣除的情況，於是我們得再加回一次：被15除餘數為0、2、5、12四種情況的奇數，被21除餘數為0、2、9、14四種情況的奇數，被35除餘數為0，2，7，30四種情況的奇數；
③ 由於②中還可能存在重複加回的情況，於是我們得再扣除一次：為105除餘數為0，2，30，35，42，65，72，84這8種情況的奇數；
根據上述① ② ③ 的思路，我們就列出了前述式子⑴。
然後，我們立刻有如下令人驚歎的美妙結論：
式子(1)＝100/2·(1－2/3)(1－2/5)(1－2/7)≈7
把上述連乘式展開來，我們會看到這個結論是顯然的。
上述例子其實已經能充分說明T(x)～x/2·∏(1－2/p_i) 的正確性，當然嚴格證明會比較複雜。
我們不難注意到這個式子在結構上與歐拉函數的相似性。本質上，這個公式是數論中的歐拉函數思想的一種推廣。
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