Siegel 是一位非常反戰的德國人， 早年曾因拒服兵役而遭到拘壓， 幸虧 Landau 的父親出面幫助才得以重歸自由。 他曾計劃在柏林學習天文學， 因為天文學是看上去最遠離戰爭的學科。 但是入學那年的天文學課程開得較晚， 為了打發時光， 他去旁聽了德國數學家 Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) 的數學課。 這一聽很快改變了他的人生軌跡， 使他最終成為了一名數學家。
（Ferdinand Georg Frobenius。圖片來自網絡）
Siegel 於 1919 年來到 Göttingen， 跟隨 Landau 研究數論。 當時 Hilbert 的二十三個數學問題已非常出名， 而 Landau 本人對 Riemann 猜想——即 Hilbert 第八問題的一部分——也頗有研究。 在這種氛圍的影響下， Siegel 也開始了對 Riemann 猜想的研究。 他對 Riemann 猜想的一些想法得到了 Hilbert 本人的賞識， 在 Hilbert 的支持下， Siegel 於 1922 年獲得了 Frankfurt 大學 (Goethe University Frankfurt) 的教職。
但儘管如此， Siegel 對 Riemann 猜想的研究並沒有取得實質性的進展。 正當他為此而苦惱的時候， 一封來自 Bessel-Hagen 的信件寄到了他的案頭。 這位 Bessel-Hagen 我們在 上節 中曾經提到過， 他就是那位據傳有可能得到過一部分被 Riemann 妻子索回的 Riemann 手稿的數學及數學史學家。
Bessel-Hagen 當時正在研究 Riemann 的手稿， 但和 Siegel 研究 Riemann 猜想一樣苦苦無法取得實質性進展。 由於 Bessel-Hagen 自身的背景側重於數學史， 對於破解像 Riemann 的手稿那樣艱深的東西來說， 這樣的背景顯然是不夠的。 於是他便想到建議數學功底高他幾籌的純數學家來試試， 看他們是否能有所突破。 在 Göttingen 的數學家中對 Riemann 猜想感興趣的當首推 Hilbert 和 Landau， 但這兩位都是大師級的人物， Bessel-Hagen 不敢貿然相擾， 於是他把目光投向了正在研究 Riemann 猜想的只比他大兩歲的年輕人 Siegel， 寫信建議他來研究 Riemann 的手稿。
對 Siegel 來說 Bessel-Hagen 的建議不失為是一個散心的機會。 另一方面， 如我們在 上節 中所說， 當時數學界對 Riemann 及其猜想的懷疑已開始蔓延， 這種懷疑氣氛也影響到了 Göttingen。 Riemann 是不是真的只憑直覺提出他的猜想？ Siegel 對此也不無好奇， 有意一探究竟。 於是他寫信向 Göttingen 圖書館索來了 Riemann 的手稿。
當那位已被歲月部分地塗抹成只憑直覺研究數學的前輩宗師的手稿終於出現在 Siegel 眼前的時候， 他不由地想起了 Gauss 愛說的一句話： 工匠總是會在建築完成後把腳手架拆除的。 現在他所看到的正是一位最偉大工匠的腳手架， 任何人只要看上一眼就絕不會再相信那些有關 Riemann 只憑直覺研究數學的傳言。 只可惜那些臆想並散佈傳言的數學家們——包括與 Riemann 的手稿近在咫尺的睿智的 Göttingen 的數學家們——竟然誰也沒有費心來看一眼這些凝聚著無比智慧的手稿！
在 Riemann 的手稿中， Siegel 發現了 Riemann 在論文中隻字未提的 Riemann ζ 函數的前三個非平凡零點的數值！ 很顯然， 這表明 Riemann 的論文背後是有著計算背景的。 Riemann 的這一計算比我們在第八節中提到的 Gram 的計算早了四十四年。
這倒也罷了， 因為 Gram 對零點的計算雖比 Riemann 的晚， 精度卻比 Riemann 的高得多。 但是 Siegel 對 Riemann 計算零點的方法進行了細緻的整理和研究， 結果吃驚地發現 Riemann 所用的方法不僅遠遠勝過了 Gram 所用的 Euler-Maclaurin 公式， 也遠遠勝過了 Hardy 和 Littlewood 等人對 Euler-Maclaurin 公式的改進。 一句話， Riemann 用來計算零點的方法遠遠勝過了數學界當時已知的任何方法。
（歐拉-麥克勞林公式。圖片來自網絡）
而這個 “當時” 乃是 1932 年， 距離 Riemann 猜想的提出已有七十三個年頭， 距離 Riemann 逝世也已有六十六個年頭， Riemann 又一次跨越時間遠遠地走到了整個數學界的前面。 而且 Riemann 的這一公式是如此的複雜， 有些數學家甚至認為假如不是 Siegel 把它從 Riemann 的手稿中整理出來的話， 也許直到今天， 數學家們都無法獨立地發現它。
Siegel 在整理這一公式上的功績和所付出的辛勞是怎麼評價也不過分的， 如我們在 上節 中所說， Riemann 的手稿乃是諸般論題混雜、 滿篇公式卻幾乎沒有半點文字說明的手稿。 而且 Riemann 一生最後若干年的生活很不寬裕， 用紙十分節約， 每張稿紙的角角落落都寫滿了東西， 使得整個手稿更顯混亂。 再加上 Riemann 所寫的那些東西本身的艱深。 Siegel 能從中整理出如此複雜的公式對數學界實在是功不可沒。
為了表達對 Siegel 這一工作的敬意， 數學家們將他從 Riemann 手稿中整理發現的這一公式稱為 Riemann-Siegel 公式。 Riemann 若泉下有知， 也當樂見他的這位後輩同胞的名字通過這一公式與自己聯繫在一起， 因為在這之後， 再也沒有人會懷疑他論文背後的運算背景了。
發表於 1932 年的 Riemann-Siegel 公式是 Göttingen 數學輝煌的一抹餘輝。 隨著納粹在德國的日益橫行， 大批傑出的科學家被迫或主動離開了德國， 曾經是數學聖地的 Göttingen 一步步地走向了衰落。 1933 年， Landau 因其 “ 猶太式的微積分與雅裡安 (Aryan) 的思維方式背道而馳” 而被剝奪了授課資格， 離開了他一生摯愛的數學講堂。 出於對戰爭的厭惡， Siegel 也於 1940 年離開了德國。
Göttingen 的衰落是德國文化史上最深重的悲劇之一。 在這場悲劇中最痛苦的也許要算是 Hilbert， 他是自 Gauss 和 Riemann 之後 Göttingen 數學傳統的靈魂人物， 從某種意義上講， Göttingen 也是 Hilbert 的靈魂。 他一生為發揚 Göttingen 的數學傳統付出了無數的心力， Göttingen 記錄了他一生的榮耀與自豪， 而今在他年逾古稀的時候卻要殘酷地親眼目睹這一切的輝煌煙消雲散。 1943 年， Hilbert 黯然離開了人世， Göttingen 的一個時代走到了終點。
（摘自《黎曼猜想漫談：一場攀登數學高峰的天才盛宴》，作者：盧昌海）
閱讀更多 原點閱讀 的文章
