隨著菲爾茲和阿貝爾獎雙料得主邁克爾·阿蒂亞爵士宣稱自己證明了黎曼猜想，黎曼的名字和他的世紀猜想再次回到公眾的討論之中。然而，黎曼，除了他的猜想，還有一些故事也是非常值得我們去了解的。
黎曼，拍攝於1863年。圖片來源：sil.si
對於一個非數學專業的人而言，要問他所聽說過的偉大的數學家有哪些？我想很少會有人提到黎曼的名字。但是，如果換一種方式問他，是否聽過發明微積分的牛頓和創立相對論的愛因斯坦，我想大多數人應該都會有所耳聞。
殊不知，當今在物理、化學、經濟學都密切相關的微積分計算和高大上的相對論，都離不開這個不怎麼為人所知的偉大數學家——黎曼。
黎曼幾何
廣義相對論的數學基礎
如果說愛因斯坦的成功也是站在了巨人的肩膀之上，那麼這個巨人可能就包括黎曼。
在一個世紀前，愛因斯坦在計算廣義相對論時，有些數學方面的難題難以解決。愛因斯坦在數學家朋友的幫助下，發現黎曼幾何的理論體系完美符合他的廣義相對論的問題情境，從而利用黎曼幾何學構建了廣義相對論方程。
那麼何為黎曼幾何呢？
我們最為熟悉的幾何當然就是從中小學就開始接觸的歐式幾何，整個歐式幾何從我們人類的經驗和直覺出發，建立在五大幾何公理體系之上（比如過兩點有且只有一條直線，線段可以無限延長等等）。而第五條公理，也就是平行公理，引起了眾多數學家的關注。
第五公理。圖片來源：Wikimedia Commons
高斯、羅巴切夫斯基等都認為平行公理同其他四條公理相較而言，顯得有些奇怪，無法用其他的公理來證明對或錯。隨後，羅巴切夫斯基重新定義了一種新的平行公理代替了歐幾里得平行公理，建立了羅氏幾何（也叫雙曲幾何）。
羅氏幾何。圖片來源：Wikimedia Commons
繼羅氏幾何後，德國數學家黎曼在1854年又提出了既不是歐氏幾何也不是羅氏幾何的新的非歐幾何——黎曼幾何（也稱橢圓幾何）[1-3]。黎曼幾何中規定，在同一平面內任何兩條直線都有交點，所以在黎曼幾何學中不存在我們所熟知的平行線。並且黎曼幾何還約定直線有界但能無限延長。
看到這裡，是不是發現黎曼幾何的一些特徵已經與廣義相對論的模型相似？[7,8]沒錯，它就是廣義相對論的數學基礎！！大名鼎鼎的愛因斯坦的大名鼎鼎的廣義相對論就好像是黎曼幾何的一道應用題。
廣義相對論。圖片來源：Wikimedia Commons
黎曼積分
微積分首次具有了嚴謹精確的定義
我們都熟知微積分是牛頓和萊布尼茨發明的，我們今天利用微積分計算一塊區域的面積、計算發動機的功率、計算空氣動力、計算磁場強度等等，無時無處不滲透著微積分。然而，我們所學到的微積分與牛頓和萊布尼茨在發明微積分的時期是完全不同的。
牛頓採用了流數法，萊布尼茨採用了數列階差，而且微積分的記號形式也更為簡潔，這兩種方法都可以得到正確的積分結果，但是都缺少嚴謹的數學邏輯基礎[4,5,10]。正是黎曼在柯西等一些分析學數學大師的研究基礎上，建立嚴謹的微積分理論基礎。
時至今日，黎曼積分仍然是科學研究中用到的最廣的一套微積分理論。直到數學家發現一些奇異的函數難以用黎曼積分來求解，才相繼出現了黎曼－斯蒂爾傑斯積分和勒貝格積分[6,10]。
曲線圍繞圖形的面積。圖片來源：Wikimedia Commons
哥廷根大學
黎曼的母校，近代歐洲數學的搖籃
哥廷根是一個只有十幾萬人口的德國小鎮。而哥廷根大學，一個小眾的學校名字，相較於牛津、劍橋、哈佛、耶魯來說，可能幾乎沒有什麼人聽說過，就像沒有多少人聽說過黎曼的名字一樣。但是，歷史無法掩蓋它昔日耀眼奪目的光芒。那是一個風雲際會、百花齊放的哥廷根時代。[9]
它的輝煌始於數學奇才高斯，在此之後，黎曼、狄利克雷、雅可比和菲利克斯·克萊因相繼湧現，眾星雲集，在數學的眾多領域，包括代數、幾何和分析領域做出了巨大的貢獻。一直到大衛·希爾伯特，德國哥廷根數學學派進入了全盛時期。
除此之外，哥廷根大學在物理學領域也毫不遜色，著名的物理學家包括普朗克、赫茲、海德堡、費米、泡利和奧本海默等等。據統計，前後共有46名諾貝爾獎得主，或在此讀書或教學。恐怕世界上很難再找到一個城市，能有如此偉大的學術榮耀。
數學猜想
那些被證實和沒有被證實的
數學猜想
數學家常常以猜想的形式提出問題，這些猜想可能對人類科技的發展沒有直接的影響，但是在證實猜想的過程中，所迸發出的新方法和新思路卻給數學的科學帶了重要的作用。也許，這也算是數學猜想神秘而迷人的一個方面吧。
最有名的數學猜想恐怕非哥巴赫猜想莫屬了，除此之外還有四色猜想和費馬猜想。其中費馬猜想於1994年由英國數學家安德魯懷爾斯完成證明，因此不再稱為猜想，而稱為費馬大定理。四色猜想由美國數學家阿佩爾和哈肯藉助計算機完成，從而被稱為四色定理。哥德巴赫猜想至今還沒有完成證明，目前最好的結果還是我國數學家陳景潤取得的。
除了這三個之外，最著名的要數德國數學家大衛·希爾伯特的世紀之問了。他在19世紀和20世紀之交的1900年世界數學家大會上提出了23個數學問題，這被譽為當時數學的頂峰。黎曼猜想便是其中之一，時至今日，絕大多數已經經過無數數學家前赴後繼的研究得以證實。
每個攻克這些數學難題的人都被看作是學術造詣的巔峰，載入史冊。那些沒有被證明的猜想，依然像珠穆朗瑪峰一樣矗立在遠方，激勵著無數的勇敢者去攀登去征服。
也許，數學家確實不像其他領域的大師和那樣能夠吸引更多的眼球和聚光燈，但是不可否認，數學家依然是人類智慧星空上閃亮的星，他們發出的光芒雖然從來不是最耀眼的，但是往往每次都指引著人類科學前進的方向。
作者名片
排版：小爽
參考文獻：
[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral
[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_geometry
[4] 《Calculus》,Gilbert Strang
[5] 《微積分概念發展史》, Carl B.Boyer
[6] 《實變函數論》, 周民強
[7] 《微分幾何入門與廣義相對論》, 梁燦彬、周彬
[8]https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry
[9]https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6ttingen
[10] 《微積分的歷程》, 鄧納姆
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