基礎鏈 接：
1.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.
2.旋轉前、後的圖形全等；
3.對頂角相等；
4.直角三角形的兩個銳角互餘；
5.等邊三角形的每一個角都等於60°；
6.兩條直線相交所成的角中有一個角是90°，這兩條直線互相垂直.
題目：
如圖1，在△ABC中，AE⊥BC於E，AE=BE，D是AE上的一點，且DE=CE，連接BD、CD.
(1)試判斷BD與AC的位置關係和數量關係，並說明理由；
(2)如圖2，若將△DCE繞點E旋轉一定的角度後，試判斷BD與AC的位置關係和數量關係是否發生變化，並說明理由；
(3)如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變.
①試猜想BD與AC的數量關係，並說明理由;
②你能求出BD與AC的夾角度數嗎？如果能，請直接寫出夾角的度數；如果不能，請說明理由.
解析：（1）BD⊥AC，BD=AC.
理由如下：如圖4，延長BD交AC於點F.
因為AE⊥BC於E，所以∠BED=∠AEC=90°；
在△BED和△AEC中，因為BE=AE,∠BED=∠AEC,DE=CE,
所以△BED≌△AEC（SAS），所以BD=AC,∠EBD=∠EAC.
因為∠BDE=∠ADF,∠EBD+∠BDE=90°，
所以∠EAC+∠ADF=90°，
所以∠AFB=90°，
所以BD⊥AC.
綜上：BD⊥AC，BD=AC.
(2)BD與AC的位置和數量關係不發生變化.
理由：
如圖5，令BD與AC交於點O，BD與AE交於點F.因為∠BEA=∠DEC=90°，所以∠BEA+∠AED=∠AED+∠DEC，即∠BED=∠AEC.
在△BED和△AEC中，
因為BE=AE,∠BED=∠AEC,DE=CE,所以△BED≌△AEC（SAS），
所以BD=AC,∠EBD=∠AEC.
因為∠EBD+∠BEA+∠BFE=∠EAC+∠AOF+∠AFD，
所以∠BEA=∠AOB,因為∠BEA=90°，
所以∠AOB=90°,所以BD⊥AC.
綜上：BD⊥AC，BD=AC.
（3）①BD=AC.
理由：
如圖6，因為∠BEA=∠DEC=60°，
所以∠BEA+∠AED=∠AED+∠DEC，即∠BED=∠AEC；
在△BED和△AEC中，因為BE=AE,∠BED=∠AEC,DE=CE,
所以△BED≌△AEC（SAS），
所以BD=AC.
②能.60°或120°.
理由：
如圖6，令BD與AC相交於點G.
由①中△BED≌△AEC知，∠EBD=∠EAC；
因為∠EBA+∠BAE=120°，
所以（∠EBA-∠EBD）+（∠BFE+∠EAC）=120°，
即∠GBA+∠BAG=120°，所以∠AGB=180°-120°=60°，
∠BGC=120°.
即BD與AC的夾角為60°或120°.
點撥：
熟悉用“SAS”判定三角形全等，熟知直角三角形、等腰直角三角形、等邊三角形的性質；會運用垂直的定義等，是猜想、證明和計算的基礎.
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