基础链 接：
1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
2.旋转前、后的图形全等；
3.对顶角相等；
4.直角三角形的两个锐角互余；
5.等边三角形的每一个角都等于60°；
6.两条直线相交所成的角中有一个角是90°，这两条直线互相垂直.
题目：
如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD、CD.
(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
(3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变.
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由;
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角的度数；如果不能，请说明理由.
解析：（1）BD⊥AC，BD=AC.
理由如下：如图4，延长BD交AC于点F.
因为AE⊥BC于E，所以∠BED=∠AEC=90°；
在△BED和△AEC中，因为BE=AE,∠BED=∠AEC,DE=CE,
所以△BED≌△AEC（SAS），所以BD=AC,∠EBD=∠EAC.
因为∠BDE=∠ADF,∠EBD+∠BDE=90°，
所以∠EAC+∠ADF=90°，
所以∠AFB=90°，
所以BD⊥AC.
综上：BD⊥AC，BD=AC.
(2)BD与AC的位置和数量关系不发生变化.
理由：
如图5，令BD与AC交于点O，BD与AE交于点F.因为∠BEA=∠DEC=90°，所以∠BEA+∠AED=∠AED+∠DEC，即∠BED=∠AEC.
在△BED和△AEC中，
因为BE=AE,∠BED=∠AEC,DE=CE,所以△BED≌△AEC（SAS），
所以BD=AC,∠EBD=∠AEC.
因为∠EBD+∠BEA+∠BFE=∠EAC+∠AOF+∠AFD，
所以∠BEA=∠AOB,因为∠BEA=90°，
所以∠AOB=90°,所以BD⊥AC.
综上：BD⊥AC，BD=AC.
（3）①BD=AC.
理由：
如图6，因为∠BEA=∠DEC=60°，
所以∠BEA+∠AED=∠AED+∠DEC，即∠BED=∠AEC；
在△BED和△AEC中，因为BE=AE,∠BED=∠AEC,DE=CE,
所以△BED≌△AEC（SAS），
所以BD=AC.
②能.60°或120°.
理由：
如图6，令BD与AC相交于点G.
由①中△BED≌△AEC知，∠EBD=∠EAC；
因为∠EBA+∠BAE=120°，
所以（∠EBA-∠EBD）+（∠BFE+∠EAC）=120°，
即∠GBA+∠BAG=120°，所以∠AGB=180°-120°=60°，
∠BGC=120°.
即BD与AC的夹角为60°或120°.
点拨：
熟悉用“SAS”判定三角形全等，熟知直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形的性质；会运用垂直的定义等，是猜想、证明和计算的基础.
閱讀更多 張老師初中數學教與學 的文章
