Riemann-Siegel 公式的發表大大促進了人們對 Riemann ζ 函數非平凡零點的計算。 如我們在第 十一、十二 兩節的介紹及實際運用中看到的， Riemann-Siegel 公式中的求和的項數是由 n
21/2)。 而在這之前人們所用的 Euler-Maclaurin 公式計算同一零點所需的計算量約為 O(t)， 兩者在計算量上的差別——也就是 Riemann-Siegel 公式相對於 Euler-Maclaurin 公式的優越幅度——隨著 t 的增大而變得越來越明顯。
因此 Riemann-Siegel 公式對於 Riemann ζ 函數非平凡零點的大規模計算來說， 要比 Euler-Maclaurin 公式有效得多。
Riemann-Siegel 公式發表之後大約過了四年， Hardy 的學生、 英國數學家 Edward Titchmarsh (1899-1963) 就成功地計算出了 Riemann ζ 函數的前 1,041 個零點——如所預料的， 它們全都位於臨界線上。 這是十一年來數學家們首次突破我們在第八節提到過的 138 個零點的記錄。
Titchmarsh 的工作在 Riemann ζ 函數非平凡零點計算史上的地位是雙重的： 從計算方法上講， 它是數學家們首次運用 Riemann-Siegel 公式取代 Euler-Maclaurin 公式進行的大規模零點計算； 從計算手段上講， Titchmarsh 的計算使用了英國海軍部用來計算天體運動與潮汐的一臺打孔式計算機 (punched-card machine)， 這是數學家們在零點計算上首次使用機器計算取代傳統的紙筆計算。 這兩個轉折是數學與技術相輔相成的結果， 它奠定了直到今天為止人們對 Riemann ζ 函數非平凡零點進行計算的基本模式。
Titchmarsh 之後零點的計算因第二次世界大戰的爆發而中斷了十幾年。 戰後最先將計算推進下去的是著名的英國數學家 Alan Turing (1912-1954)。 Turing 其實早在戰前就對 Riemann 猜想產生了興趣。 與當時的許多其他年輕數學家一樣， Turing 對 Hilbert 演講中提到的數學問題很感興趣， 這其中又尤其以第十問題與包含了 Riemann 猜想的第八問題最讓他著迷。 他後來的主要研究大都是以這兩個問題為主軸展開的。
1936 年 Turing 到 Princeton 大學讀研究生， 在那裡見到了來訪的 Hardy——他原本希望能見到著名邏輯學家 Kurt Gödel (1906-1978)， 可惜後者當時已去了歐洲。 那時 Hardy 對 Riemann 猜想的態度已經相當悲觀。 這種悲觀情緒對 Turing 產生了影響， 他覺得這麼多年來所有證明 Riemann 猜想的努力都歸於失敗也許不是偶然的， 而意味著應該換個角度思考問題了。 人們一直無法證明 Riemann 猜想， 也許並非因為它太難， 而是因為它根本就不成立！
（Kurt Gödel。圖片來自網絡）
一個數學命題， 它的成立固然需要證明， 它的不成立同樣也需要證明。 那麼， 假如 Riemann 猜想真的不成立， 我們怎樣才能證明這一點呢？ 我們當然可以試圖從數學上直接證明其不成立 (或證明其否命題成立)， 這是一種方法。 但還有一種辦法， 那就是找到一個反例——即找到一個不在臨界線上的零點。 這種方法的好處就是不在乎數量多少， 只要一個反例就足夠了， 正所謂 “一粒老鼠屎就能壞掉一鍋粥”。
被後世譽為 “計算機與人工智能之父” 的 Turing 顯然對後一種方法情有獨鍾。 當時 Turing 已經提出了後來以他名字命名的 Turing 機的概念。 很自然的， 他希望建造一臺機器來計算零點。 但是這一工作起步不久， 英國就捲入了二戰， Turing 開始參與英國情報部門破譯德軍密碼的工作， 建造機器的計劃被擱置了下來。 直到戰爭結束後， Turing 才漸漸恢復了建造機器及計算零點的計劃。
Turing 雖然是以其對計算機及人工智能領域的卓越貢獻著稱的， 但他在傳統數學領域內也有相當深厚的功力， 早在讀本科的時候， 就曾獨立證明了概率論中著名的中心極限定理 (central limit theorem)， 只可惜比芬蘭數學家 Jarl Waldemar Lindeberg (1876-1932) 晚了十餘年。 在建造機器的同時， Turing 對計算零點的數學方法也進行了研究， 並做了一些改進。
（Jarl Waldemar Lindeberg 。圖片來自網絡）
經過幾年的努力， 到了二十世紀五十年代初， Turing 終於完成了自己的機器， 並且比在二戰前創造過記錄的 Titchmarsh 略進一步， 於 1953 年計算出了前 1,104 個零點。 不過他試圖尋找 Riemann 猜想反例的努力並不成功， 因為他所計算出的所有零點全都位於臨界線上， Riemann 猜想在他計算所及的範圍內巋然不動。 在那之後， Turing 的機器壞掉了。 幾乎與此同時， 他的個人生活也遭遇了極大的挫折。 他於 1952 年被控犯有當時屬於違法的同性戀行為， 受到強制藥物治療及緩刑的處罰。 兩年後他被發現因氰化物中毒死於寓所。 多數人相信他是自殺。
在 Turing 之後， 隨著計算機技術的加速發展， 數學家們對零點的計算也推進得越來越快， 幾乎呈現出你追我趕之勢： 1956 年， D. H. Lehmer 計算出了前 25,000 個零點； 兩年後 N. A. Meller 把這一記錄推進到了前 35,337 個零點； 1966 年， R. S. Lehman 再次刷新記錄， 他計算了前 250,000 (二十五萬) 個零點； 三年後這一記錄又被 J. B. Rosser 改寫為了前 3,500,000 (三百五十萬) 個零點。
Riemann ζ 函數的零點計算步入了快車道！
（摘自《黎曼猜想漫談：一場攀登數學高峰的天才盛宴》，作者：盧昌海）
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