溫永徵
展現數學之美的病態函數
試想一個場景：
有一根細線，
它是無限長的，或者說要多長有多長，
這根線，自始至終都是連續的，從左到右不曾間斷。
比如這根弧線：
弧線底部的水平直線，就是弧線的切線。
所謂切線，就是恰好與弧線在切點附近，有且僅有切點這一個交點。
有切線的地方，說明弧線在這附近是光滑的，是沒有尖刺的。
如果弧線每一點都有切線（可導），說明弧線處處都光滑。
如上圖，如果“弧線”變成尖銳的“折線”，那麼，“折點”處就有很多根直線與其只有一個交點，從數學上來說，折點的切線的斜率左右極限是不同的，因此這一點也沒有“切線”。
即，折點不是光滑的，它是“尖銳的”，曲線在這一點是不可導的。
當然，如果麵條在某處斷了，在斷點處，也是沒有切線的，也是“尖銳粗糙的”。
那麼，有沒有一種既連續、不曾間斷，卻每一點都尖銳的線呢？
用數學語言描述即：
是否存在處處連續，卻處處不可導的函數？
直覺上來說，一根連續曲線的尖銳點至多是可數的，有限的。
因為一根連續的線，再怎麼折，尖銳的部分也應該是有限的，而光滑的、平直的部分是佔大多數的。
在尖刺的旁邊，我們總是應該可以找到哪怕一小段平滑的部分。
在數學發展史上，數學家們也一直猜測：連續的函數必然是近乎可導的（即：起碼有一些光滑的部分），所謂不可導的點也必然只佔整體的一小部分。連續函數在其定義域中，應該是除去有限個點外都是可導的。
一根線不可能處處都尖銳吧？
1872年，德國數學家魏爾斯特拉斯（集合論大師康托爾的導師）利用函數項級數構造出了一個病態函數，為上述猜測做了一個終結，函數數學描述如下：
這個函數逆天在於，
它處處連續，卻又處處不可導
簡而言之，它的尖刺折點是如此之多，以至於無論你放多大，在多細微的尺度觀察任何一段，函數圖像都不會顯得更加光滑，它處處都是尖銳的。
這怎麼可能？
它的證明首次出現在魏爾斯特拉斯於1872在普魯士科學院出版的一篇論文中，我們現在稱它為魏爾斯特拉斯函數。
說它病態，是因為它是一種不可測函數。
你無法用筆畫出任何一部分圖像的函數，因為每一點的導數都不存在，畫的人將無法知道每一點該朝哪個方向畫。
通過計算機逐點描繪，函數圖像是這樣的：
該反例構造出來後，在數學界引起極大的震動。
因為對於此類病態函數，傳統的數學方法已無能為力。這個發現以及後來許多病態函數的例子，充分說明了直觀及幾何的思考不可靠，而必須訴諸嚴格的概念及推理 。
隨後，這個例子促成了一門新的學科“分形幾何”的產生。所謂“分形”，就是指某圖案的局部與整體具有相似性。這種性質又稱為“自相似”。
反常的病態函數是極少數特例嗎？
分析學的成果表明，儘管它們“反常”，但病態函數事實上不在“少數”，甚至比那些“健康”的函數“多得多”。
例如：
狄利克雷函數——定義在整個連續實數域(-∞, +∞)，卻處處不連續；
爆米花函數（Thomae's function）——處處極限為0，但在任意小區間中，都包含著無數個值不為0的點。
必須要指出，類似魏爾斯特拉斯函數的例子歷史上並不是老魏第一個提出的。
在他之前，數學分析嚴謹化的另一位推動者——捷克數學家波爾查諾，在他1834年撰寫但未完成的著作《函數論》中，首次給出了一個處處連續但處處不可導函數的例子，但他並未給出函數的解析表達式，且遺憾的是，他的貢獻多半被他的同時代的人所忽視，許多成果若干年後才被發現，但功勞已被搶佔或只能與別人分享了。
諾諾心裡苦啊！
直覺不一定科學
你看，經過幾千年的進化，人類自身還是傾向於相信直覺，“所見即所得”在大多數情況下依然相當有說服力。比如下面這些看起來都像是天然正確、不容置疑的：
光線永遠是沿直線傳播的；
任何地方的時間是同步的；
只要不斷加速，物體的速度是沒有限制的。
幸好，我們還有數學。
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王珂
數學難,這是大多數人心中對數學的想法.數學還有美?其實是有的,數學作為所有理工科的基礎學科有其內在的美,今天我們就具體分析一下數學美在哪裡?
1對稱美
這是一個非常簡單的算式,它的結果具體對稱性,左右兩邊相同.
2簡潔美
歐拉公式集齊了數學界裡最具代表性的數字,最小的自然數0,最小的正整數1,無理數與超越數,還有最簡單的虛數.這個等式把這些元素組合在一起,非常簡潔卻蘊含深厚的數學原理,充分體現了數學的簡潔美.
抽象美
它是由斐波那契數列組成的螺旋線,這麼數字的比會接近黃金分割比.
邏輯美
為什麼上面這個等式會成立,相信很多人回答不了.就是這樣的,這樣回答能有說服力嗎?不能,數學上就可以富含邏輯的解釋它.這就是數學的邏輯美吧.
情調美
心形線,聽說數學系流行用這個來表白哦,是不是覺得特別有意思.
學霸數學
我覺得物理和數學都是很有意思的學科。也是讓很多高中生非常頭疼的二門學科。如果要我說物理和數學有什麼美的話，我想應該是很多數學或者物理上的問題我們如果僅僅憑藉直觀想象感覺是對的或者說是可行的，但是經過數學或者物理的嚴格推導發現又是錯的。用我們物理老師的話說就是“這是一門去偽存真的學科”。
另一方面，不知道大家有沒有碰到這樣的情況“總是可以用錯誤的方法得到正確的答案（尤其在高等數學種經常碰到）”。我想這些是其他學科所不具有的特點。讓人覺得很有意思。
舉一個例子“過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行”。這是我們初中就知道的幾何公理，但是俄國的數學家羅伯切夫斯基和德國數學家黎曼就不這樣認為。一個認為過直線外一點有無數條直線與已知直線平行一個認為過直線外一點沒有直線與已知直線平行。這樣就建立了新的幾何體系《非歐幾何》，非歐幾何在愛因斯坦的廣義相對論中也發揮了它的作用。從這一個角度來說，數學又呈現了它的兼容幷包的特點，一些結論看來是錯的但是又不是錯的。只是看你從什麼角度來看待它。
腦子被驢踢了233
準確的說是數字的。“3”有多美？幾千年來沒有沒有那個科學家看上他，可他確實、決定了人類的一切。3肺(中醫)形容人體內的真氣象肺呼吸一樣。地球12時辰=3是365天中一粒子，死了的，活著的科學家們，你們忽視3。就是白玩
手機用戶59457869118
數學的美，是一種睿智的美，喜歡數學的人，思考問題縝密,嚴謹，對待生活一絲不苟，踏踏實實；喜歡數學的人，看世界的眼光是全方位的，看人的眼睛是穿透心靈的，因為數學來不得半點虛假和偽裝，所以造就了學習數學之人的性格也是澄澈透明；數學的美，是經過百轉千回，演算論證之後終於眾裡尋他找到答案後欣喜雀躍的成就之美，所以喜歡數學的人，總是胸有成竹，昂首挺胸的，因為自信所以也自豪；我就是一名數學老師，在學生問到我一些課內或者課外的話題時，我能用辯證的思維去回答，能借用學習數學的精神去鼓舞孩子們學習的勁頭，每每幫孩子們解答出他們苦思冥想不知所以的題目後，我的內心是非常充實的，夜深人靜無人打擾時，鋪開紙筆做幾道有難度的數學題目，即使在睡夢中都是美滋滋的！所以，朋友們，學習數學吧，你會愛上它，更會發現無窮的美！
