坐标系概念是由法国数学家、哲学家雷内·笛卡尔(ReneDeartes,1596—1650)正式提出的.笛卡尔提出了一种代数和几何相结合的数学方法,在该方法中方程可代表曲线,根据方程可以在坐标纸上一点一点地画出曲线来。
例如,从直线开始,在直线某处取一点作为原点记作“0”离开原点单位距离另外选点,记作“1”.建立了这个基础,任何的正数和负数—“坐标”都可与直线上的点一一对应非常相像地,一个数字地址表示了在直街跑的马的位置,任何一个数表示了给定直线上的某一个点,假定直线可以延伸至无穷。
在一个平坦的几何曲面,即平面上,我们可以用欧几里德角尺画两条成直角的直线,两直线的交点作为坐标系的原点,在两条直线上各取一个单位长度就像可以用两条直街相交处城镇的位置,我们可以用一个有序的数对来确定无限平面上的一的位置.因此两个数表示一个二维的点,x和y的坐标可以用于在纸上确定点的位置。
为了把坐标系扩展到三维空间,我们可以在平面上画三条两两相成直角的直线.在此情形下,取含有3个数的有序数组作为3个坐标,去确定空间点的位置.画一个立方体,我们要给定8个点的坐标。以此类推可构造高维坐标系,按照逻辑顺序,4个数组成的数组将表示四维空间中的点。
显然,对于四维超立方体我们可以很快写出它16个顶点中每一个顶点的坐标,所以用代数语言为计算机提供超立方体的完全精确的描述并不困难,计算机可以操作或画出4个坐标(数和指出四维图形中每个坐标点的位置,问题的困难在于要在一个二维画板不论它是一张纸、一块油画布,或是计算机屏幕上可视化地表示出来.事实上,观察者能够看到仅仅是二维的投影或物体的截面投影和截面是揭示几何体不同形状信息的两个集合.“我们学习去观察几何体不同的图形信息,在脑子某种联结网络里把它们联系起来,形成一定的形状”班切夫说,“依靠这样的探索过程,你可以了解四维图形.”
考察三维空间中一张椅子的投影,虽然其投影已经改变了长度,角也变了形,有些面藏在边里面,但它仍保持着椅子脚、椅子靠背和坐垫之间的位置关系.同样地,纯真的数学投影(运算),也是类似于上面的投影,虽然破坏了原来的形状,但保持了图形的连续性。
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