微积分思想的萌芽
微积分作为一般性的方法，诞生于17世纪，完善于19世纪，但早在2500多年前，人类就有了微积分思想的萌芽。
德谟克利特（约公元前460-约公元前370）在思考物质分割时，提出了原子论。应于到数学上，得出圆锥的体积等于同底同高的圆柱的体积的1/3.
中国名家代表人物惠施（约公元前370-公元前310），他的许多记录于《庄子》的言论有微积分思想的萌芽：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”、“至 大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“无厚不可积也，其大千里”。
阿基米德（公元前187-公元前212）运用穷竭法和括约法（同时利用圆的内接和外切正多边形）求圆面积。
刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与周合体，而无所失。”
笛卡尔创立的解析几何，跨出了从常量数学到变量数学的第一步。
微积分理论的孕育和创立
16、17世纪，一些实际问题的提出推动了微积分的发展。
炮弹的的运行轨迹研究，包括了初速度（瞬时速度）、角度和方向（曲线的切线）、最高点（最大值）等问题。
开普勒行星运动第二定律，也称等面积定律，指的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。
牛顿和莱布尼茨关不多同时创立了微积分，上面的四类问题可以用微分、积分的方法统一解决。
微积分诞生之后，数学迎来了一次空前繁荣的时期，对18世纪的数学产生了重要而深远的影响，但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础。
例：S ＝ 5t²，用牛顿的流数术来求时刻t的瞬时速度：
先求平均速度
=10t+5∆t
牛顿大胆把含有∆t的项忽略掉，认为10t就是函数5t²的瞬时速度。
在实践的应用中，这种算法的结果确实是对的。
在上面简单例子的推导中，表达式∆S/∆t中∆t是不能等于零的，但在表达式10t+5∆t中，又把5∆t忽略掉，也就是相当于认为∆t等于零。∆t（无空小）到底是零还是非零？
显然，牛顿把含有∆t的项忽略掉的做法，是不符合逻辑自恰和数学的严谨性的。这也就直接导致了第二次数学危机的产生。
柯西（Cauchy 1789-1857）关于极限的思想
1841年，法国数学家柯西用极限的说法来回避∆t到底是否等于零的问题。
让∆t无限趋于0，但是不等于0；（这里提出了数学上的“无限过程”问题），表达式
要多小有小多。让∆t趋于0，上述表达式取极限。
1861年，德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）用数学的语言（ε-δ语言）描述了柯西极限的思想
任一的ε>0，存在δ>0
一切满足0
都有 ε，瞬时速度10t就是平均速度当∆t趋向于0时的极限。
极限是数学上处理“无限”过程的有力工具
在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy）提出“柯西收敛原理”。
数列的柯西收敛准则：
数列
收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n > N时，有
我们把满足该条件的{xn}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{xn}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。
该准则的几何意义表示，数列{xn}收敛的充分必要条件是：该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近，即足够靠后的任意两项都无限接近。
在数学中，一个柯西数列是指一个这样一个数列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。
柯西数列有极限，至此，具备了数学的严密性（逻辑的严谨性）。
实数的连续性
微积分是建立在极限上的，而极限理论又以实数的完备性为基础。
第二次数学危机和核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限理论的基础上。维尔斯特拉斯的贡献在于逻辑地构造了实数论。为此，建立分析基础的逻辑顺序是：实数系→极限论→微积分。
很多人都知道：在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，我们说实数和数轴上的点—对应。
什么叫一一对应？一条数轴上有无数个点，可以说是“密密麻麻”的，实数有无数个，数都数不清楚。有理数和无理数构成实数，在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴。因此，数轴上的每个点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示。实数可以连续变化，就是说点可以在数轴上连续地运动。
如整数由小到大的变化是跳跃式的，从整数1到整数2,中间没有任何整数；但有理数从1变到2,它们之间是密密麻麻的，跨过了许多分数，看上去找不到一段“空白”,中间似乎没有跳跃。事实上有理数从1变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，如2的算术平方根。
因此，有理数之间的“空白部分”加上无理数构成实数，实数就可以连续变化。这种连续性可以说变量x从1变到2,意味着x要取遍1到2之间的一切实数。
无理数是什么？法国数学家柯西给出了回答：无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，意即预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小。但是，这个预先存在的“数”，又从何而来呢？在柯西看来，有理序列的极限，似乎是先验地存在的。这表明，柯西尽管是那个时代大分析学家，但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响。
变量数学独立建造完备数域的历史任务，直到19世纪后半叶，才由魏尔斯特拉斯（Weierstrass,1815- 1897）、戴德金（R.Dedekind1831- 1916）、康托（G.Cantor,1845- 1918）等人加以完成。
魏尔斯特拉斯首先承认十进制有限小数和无限循环小数是有理数，而十进制无限非循环小数则是无理数。但为什么十进制无限非循环小数是无理数呢？这里不可避免地涉及到极限问题。在有了柯西准则之后，我们可以从数列极限或无穷级数之和来理解十进制无限非循环小数。但在建立实数系之前是不能如此理解的。因此，为了避免逻辑上的循环定义，在将十进制无限非循环小数定义为无理数时，一开始不可能将它看成是一个无穷级数的和，而只是将它看成一个纯粹的记号，一个还不清楚有什么意义的数学对象。然后在所有十进制小数全体组成的集合内引入加法、乘法运算，并规定其中任何两个小数之间的序，并验证它满足域公理、序公理、阿基米德公理和连续性公理这4组公理。当然这里需要经过很多步骤的推论。
从逻辑上，应该是先建立了实数，有了实数的定义之后，再得出实数系的基本定理，从而能够在实数域上建立起严格的极限理论，最后得到严格的微积分理论。但数学历史的发展恰恰相反，最先产生的是微积分理论，而严格的极限理论是在19世纪初才开始建立的，实数系的基本定理已经基本形成了之后，19世纪末实数理论才诞生，这时分析的算数化运动才大致完成。
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