彭林靈
答：歐拉公式e^ix=cosx＋isinx，最初是瑞士大數學家歐拉，在解一個微分方程時意外發現的。
利用現在的數學知識，歐拉公式可以由很多方法推導出來；但是在18世紀之前，虛數“i”都還未被數學家承認，歐拉究竟是如何發現這個公式的呢?
讓我們回到1740年，這年的10月8日，瑞士大數學家歐拉，寫了一封信給他的老師——約翰·伯努利，信中歐拉提到一個讓人驚訝的發現，微分方程：
的解，居然可以有兩種表達方式，即是：
只要把兩個解帶入微分方程，就可以得到驗證。
要知道，當時的數學家，還未弄明白虛數的概念，複平面要等50年後的1799年，才被維塞爾提出。
也就是說，這時候的歐拉，連複平面的概念都沒有，他居然看出來，第二個帶有虛數的函數，就是微分方程的解，這絕對需要非凡的數學靈感，甚至一點不比牛頓悟出萬有引力簡單。
剛開始，這個問題的確讓歐拉感到困惑，不過以他的數學天分，很快他就意識到，這兩個看上去截然不同的表達式，很可能是相等的，然後歐拉發明了“i”來表示虛數單位，根據以上微分方程給出的兩個解，歐拉猜測：
在另外一封信中，表明了歐拉還知道：
後來，歐拉利用自然對數冪級數展開式，再次得到了以上結果，從而增加了他這個猜測的信心。
於是，1748年，他在《無窮分析引論》中，正式提出了歐拉公式。
歐拉公式的美妙，在眾多數學公式中，絕對是無與倫比的，當x取π時，就得到了e^iπ+1=0，數學中最基本的五個常數，就這樣聯繫到了一起，讓人無不感到數學的神奇。
在複分析中，我們或許簡單地利用泰勒級數，就能推導出來，但是歐拉公式的發現過程，並沒有大家想象那麼簡單，尤其是少不了歐拉那樣的非凡天才。
艾伯史密斯
歐拉公式指的是近代數學的偉大先驅之一萊昂哈德·歐拉（1707-1783）所發明的一系列公式。這些公式分佈在數學這顆大樹的眾多分支領域中，比如複變函數中的歐拉幅角公式、初等數論中的歐拉函數公式、拓撲學中的歐拉多面體公式、分式公式等等。
我們在學習中，最先接觸到的歐拉公式就是著名的歐拉多面體公式：
V-E+F=2。
下面簡單介紹下這個公式的發現過程。
早在1639年，法國著名數學家笛卡爾（解析幾何學的創始人）就發現了一個規律：不管由多邊形圍成的凸多面體的外形如何變化，其頂點數（V），稜數（E）和麵數（F）都滿足一個簡單的公式——V-E+F=2。但在當時這個規律並未廣泛流傳。
過了一百多年後，歐拉在1750年又重新獨立地發現了這個規律，於是這個廣為流傳的公式被命名為歐拉多面體公式。
歐拉的思路大致是這樣的：任意三角形的內角和一定是180°，用弧度表示就是π，這個角度是和三角形的形狀和大小無關的。進而就能發現，任何一個凸n邊形的內角和為（n-2）π，這說明凸多邊形的內角和是由邊數的多少決定的，也和形狀、大小等因素無關。把這個理論推廣到空間中若干個多邊形圍成的凸多面體，又有怎樣的性質呢？
歐拉首先選擇了幾個形狀簡單的多面體進行推理，並將觀察所得進行了歸納總結，他發現這些多面體的面角和是由多面體的頂點數決定的。歐拉又把這個猜想進一步推廣，就得到了V-E+F=2的最終結論。
事實上，歐拉多面體公式的證明方法有很多種，比如數學歸納法，球面幾何法等。
歐拉是一位不折不扣的數學天才。但是他的非凡成就也和他對數學的熱愛有關。在歐拉人生的最後7年，他雙目完全失明，但是仍然留下了大量數學遺產。這或許更能說明，為什麼數學史上能留下那麼多經典的歐拉公式吧。
侏羅紀瓦力
e^iθ = cosθ + isinθ
這個公式有個眾所周知的特殊形式：e^iπ+1=0，把五個最常見的數學常數0,1,i,π,e組成了一個等式。
歐拉最初究竟是怎麼想到這個公式的可能已很難確知，一般說法是在解一個特殊微分方程時發現了下列等式左右均為該方程的解：
2cosθ = e^iθ + e^i-θ
2sinθ = e^iθ - e^i-θ
具體歐拉是如何敏銳的發現等式右邊是解，就不得而知了。
需要指出，歐拉時代的數學界對複數已經有一定認知，但還沒建立完整的理論，這要到半個世紀後的高斯時代才完善。
對於√-1，古代波斯數學家花剌子米在解一元二次方程時就有發現負數開根號的問題，人們長期以來對比極為費解，稱其為“詭辯量”，但又離不開它，比如文藝復興時期的意大利數學家卡丹（三次方程求根公式的第二發明人）就表示“既不能理解負數開平方根，又能心安理得的使用它”。
笛卡爾正式將負數開平方命名為：虛數（imaginay number），意思是“想象中的數”，歐拉用首字母i來表示虛數單位元√-1，在那個時代，使用虛數/複數進行簡單運算已經很普遍，但運用在指數上則是歐拉的首創。
對於當時的人來說，虛數本身就夠抽象的了，放在指數上更加難以理解，實際上你已根本不可能通過直觀的方式去“理解”，唯有徹底和“直觀”說byebye，純粹的通過數學推理去掌握才是最簡單的方式。
據說當時另一個大數學家好像是拉格朗日表示不能理解，歐拉回了一封信，拉格朗日看後立刻就恍然大悟。歐拉給出了一個非常非常簡明的證明，任何一個掌握微積分入門的極限知識的高三或大一學生能應該可以理解。
需要指出歐拉的證明確實是對的，但不夠嚴謹，因為嚴謹的微積分語言要等到一百年後的柯西和魏爾斯特拉斯。
歐拉給出的證明如下：
令α=θ/n，根據德莫夫定理，有：
cosθ+isinθ =（cosα+isinα）ⁿ
令n趨於∞，則α趨於0，此時cosα趨於1，sinα趨於α，於是：
cosθ+isinθ =（cosα+isinα）ⁿ
=（1+iα）ⁿ =（1+iθ/n）ⁿ
令δ=1/n，由於δ趨於0，根據二項式定理知道（1+δ）^k 趨於 1+kδ，令k=iθ，則有：
cosθ+isinθ
=（cosα+isinα）ⁿ
=（1+iα）ⁿ
=（1+iθ/n）ⁿ
=（（1+δ）^iθ）ⁿ
= （（1+1/n）ⁿ）^iθ
= e^iθ
證畢。
帖木兒
首先極限理論上是不前面約，矛盾百出，:歐拉公式正瑞無疑。但注意。歐拉在推導公式時，用到了極限理論。左邊與右邊是極限值。最終趨向於變成了等於，但現代還是沒說清楚有極限時，實際也就到達了極限點。否則歐拉公式矛盾
