昨天遇到一個等邊三角形三等分點的題，在別人的提示下才弄明白。又研究了一翻，得出一些等邊三角形三等分點的一些有趣結論，想和大家分享一下。
如圖所示，等邊△ABC，AE=BF=CD=1/3AB，圖中可得出的結論有：
1、△EDF是等邊三角形。
2、△IGH是等邊三角形。
3、AI=IG，且AI:IG:GF=3:3:1。
4、CG⊥AF，∠ICG=30°。
結論1：△EDF是等邊三角形。
這個結論容易證明，方法也很多。
取BE的中點M，連接MF。
設AB=3，易知BM=EM=BF=1。
∠B=60°，△BMF是等邊三角形，∠BMF=∠BFM=60°，∠MEF=∠MFE=30°。
∠BFE=90°，求得EF=√3。
同理可得ED=FD=√3。
所以，△EDF是等邊三角形。
結論2：△IGH是等邊三角形。
該結論也容易證明，主要通過三角形全等來證明。
通過全等，易證AF=BE=CE，AI=BG=CH，IE=FG=DH。
所以IG=IH=GH。
所以，△IGH是等邊三角形。
結論3：AI=IG，且AI:IG:GF=3:3:1。
該證明過程則略顯複雜，需要通過較多的計算。
作圖：過E點作EK//BC，交AF於K；過E點作EL垂直於AF，交AF於L；過F點作FM垂直於AB，交AB於M。
我們可以設AE=1。
通過計算可求得，FM=√3/2，AF=√7。
根據三角形面積相等，AE×MF=AF×EL，可求得EL=√3/(2√7)。
在直角△ELI中，∠EIL=60°，用三角函數，可求得EI=√7/7。
GF=EI=√7/7，GF：AF=1:7。
因為EK:BF=1：3，EK：FC=1:6，KI：IF=1：6。
又因為AK：AF=1:3，所以，AK：KI：IF=7：2：12，AI：IF=3：4。
AI=(3/7)AF，IF=（4/7）AF，GF=（1/7）AF，所以GI=(3/7)AF。
所以AI=IG，且AI:IG:GF=3:3:1。
結論4：CG⊥AF，∠ICG=30°。
這個結論我們可以用反證法來證明。
假設G點不是AF的高，過C點作CG'垂直於AF，交AF於G'。作AM垂直於BC，交BC於M。
同樣，設AE=1,可計算出AM=（3√3）/2。
根據面積相等，CF×AM=AF×CG'，可以計算出CG'=(3√3)/√7。
再在直角△CFG‘中，用勾股定理求出FG'=√7/7。
FG=FG'，所以G與G'重合，CG⊥AF。
在直角△CGI中，∠GIC=60°，所以∠ICG=30°。
好了，今天的分享就到這裡，大家如果有什麼有趣的結論，歡迎分享討論。
