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8年考題精選
參考答案
精典題目解析
一、選擇題
2. C.解析 當2不為腰時，a=b,由一元二次方程根與係數的關係可得a+b=6，所以a=b=3,ab=9=n-1,解得n=10,當2為腰時，a=2（或b=2）,此時2+b=6（或a+2=6），解得b=4(a=4),所以ab=2×4=8=n-1，解得n=9,所以n為9或10.
3. 分析由根與係數的關係可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，結合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根據方程的係數結合根的判別式△≥0可得出關於k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值範圍，進而可確定k的值，此題得解．點評本題考查了根的判別式以及根與係數的關係，利用根與係數的關係結合（x1﹣x 2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，求出k的值是解題的關鍵．
4. 分析利用一元二次方程根與係數的關係得到α+β＝2，αβ＝m，再化簡+＝，代入即可求解；解答解：α，β是關於x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的兩實根，∴α+β＝2，αβ＝m，故選：B．點評本題考查一元二次方程；熟練掌握一元二次方程根與係數的關係是解題的關鍵．
5. 分析先利用一元二次方程的解的定義得到，則，接著利用根與係數的關係得到，，然後利用整體代入的方法計算．點評本題考查了根與係數的關係．
6. 分析設x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的兩個實數根，由根與係數的關係得x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，再由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2代入即可；解答解：設x1，x2是x 2+2mx+m2+m＝0的兩個實數根，∴△＝﹣4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12，∴m＝3或
m＝﹣2；∴m＝﹣2；故選：A．點評本題考查一元二次方程根與係數的關係；牢記韋達定理，靈活運用完全平方公式是解題的關鍵．
7. 分析利用完全平方公式計算出，然後根據根與係數的關係寫出以，為根的一元二次方程．點評本題考查了根與係數的關係．
8. 解答解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個實數根，∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b 2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故選：A．
9. 分析根據根與係數的關係得到，，然後利用整體代入的方法計算的值．點評本題考查了根與係數的關係．
二、填空題
11. 分析：由於m，n是兩個不相等的實數，且滿足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的兩個不相等的實數根．則根據根與係數的關係可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它們可以化簡2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然後就可以求出所求的代數式的值．點評：本題考查一元二次方程根與係數的關係，解題關鍵是把所求代數式化成兩根之和、兩根之積的係數，然後利用根與係數的關係式求值．
12. 分析設x1、x2為方程x2+2x﹣2m+1=0的兩個實數根．由方程有實數根以及兩根之積為負可得出關於m的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結論．解答解：設x1、x2為方程x2+2x﹣2m+1=0的兩個實數根，點評本題考查了根與係數的關係、根的判別式以及解一元一次不等式，解題的關鍵是得出關於m的一元一次不等式組．本題屬於基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據根的情況結合根的判別式以及根與係數的關係得出關於m的一元一次不等式組是關鍵．
13. 分析若一元二次方程有實根，則根的判別式△=b2﹣4ac≥0，建立關於m的不等式，求出m的取值範圍．還要注意二次項係數不為0．解答解：∵關於x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有實根，∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0，解得m≤5.5，且m≠5，則m的最大整數解是m=4．故答案為：m=4．
14. 分析由拋物線與x軸只有一個交點，即可得出關於m的一元一次方程，解之即可得出m的值．解答解：∵函數y=x2+2x﹣m的圖象與x軸有且只有一個交點，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，解得：m=﹣1．故答案為：﹣1．
15. 分析根據根與係數的關係結合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出關於k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根據方程的係數結合根的判別式△＞0，可得出關於k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值範圍，進而即可確定
k值，此題得解。點評本題考查了根與係數的關係以及根的判別式，利用根與係數的關係結合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解題的關鍵．
16. 分析設方程的另一個根為，再根據根與係數的關係即可得出結論．點評本題考查的是根與係數的關係，熟記一元二次方程根與係數的關係是解答此題的關鍵．
17. 分析根據根與係數的關係可得出a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，將其代入（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1中即可得出結論．解答解：∵a 、b是方程x2+x﹣2019＝0的兩個實數根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2019，∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2019+1+1＝﹣2017．故答案為：﹣2017．點評本題考查了根與係數的關係，牢記“兩根之和等於﹣，兩根之積等於”是解題的關鍵．
18. 分析根據根與係數的關係變形後求解．點評本題考查了一元二次方程的根與係數的關係。
三、計算題
19. 分析（1）根據一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有兩個不相等的實數根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值範圍即可；（2）根據根與係數的關係得出方程解答即可．解答（1）解：∵原方程有實數根，∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0∴k≤1（2）∵x1，x2是方程的兩根，根據一元二次方程根與係數的關係， x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2
k﹣1.又∵+＝x1•x2，∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2 ∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2解之得。點評本題主要考查了根的判別式以及根與係數關係的知識，解答本題的關鍵是根據根的判別式的意義求出k的取值範圍，此題難度不大．
20. 分析（1）根據方程的係數結合根的判別式△≥0，即可得出關於m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值範圍；（2）由根與係數的關係可得出x1+x2＝6，x 1x2＝4m+1，結合|x1﹣x2|＝4可得出關於m的一元一次方程，解之即可得出m的值．解答解：（1）∵關於x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有實數根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的兩個實數根為x1、x2，∴x1+x2＝6，x1x2＝4
m+1，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，解得：m＝1．點評本題考查了根與係數的關係以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）牢記“當△≥0時，方程有實數根”；（2）利用根與係數的關係結合|x1﹣x2|＝4，找出關於m的一元一次方程．
21. 分析（1）根據根的判別式，可得到關於a的不等式，則可求得a的取值範圍；（2）由根與係數的關係，用a表示出兩根積、兩根和，由已知條件可得到關於a的不等式，則可求得
a的取值範圍，再求其值即可．點評本題主要考查根與係數的關係及根的判別式，利用根的判別式求得k的取值範圍是解題的關鍵，注意方程根的定義的運用．
22. 分析①根據“關於x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有兩不相等的實數根”，結合判別式公式，得到關於m的不等式，解之即可，②根據“x1，x2是方程的兩根且x12+x22+x1x2﹣17＝0”，結合根與係數的關係，列出關於m的一元二次方程，解之，結合（1）的結果，即可得到答案．點評本題考查了根與係數的關係，根的判別式，解題的關鍵：①正確掌握判別式公式，②正確掌握根與係數的關係．
四、應用題
26. 考點根的判別式．分析（1）化成一般形式，求根的判別式，當△＞0時，方程總有兩個不相等的實數根；（2）根據根與系的關係求出兩根和與兩根積，再把變形，化成和與乘積的形式，代入計算，得到一個關於p的一元二次方程，解方程．
點評本題考查了根的判別式和根與係數的關係，注意熟記以下知識點：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關係：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實數根分別為x1，x2。
五、複合題
27. 考點AB：根與係數的關係；AA：根的判別式．分析（1）根據方程的係數結合根的判別式，可得出△=（t﹣3）2≥0，由此可證出：對於任意實數t，方程都有實數根；（2）設方程的兩根分別為m、n，由方程的兩根為相反數結合根與係數的關係，即可得出m+n=t﹣1=0，解之即可得出結論。
28. 試題分析：（1）利用兩個不相等的實數根得△>0，求出k＞ （2）先判斷x1、x2都是正數，再利用根與係數關係列方程求k試題解析：（1）∵方程有兩個不相等的實數根.∵△>0所以存在且k=4.考點：1、一元二次方程，2、根的判別式，3、根與係數關係。
