一、地圖投影的概念
地球到底是什麼樣的？公元前6世紀，古希臘數學家畢達哥拉斯率先提出了“地圓說”。他在觀察月食時，發現大地在月球上的投影是圓的，所以認為大地是完整的圓球體。他首次提出了“地球”這一概念。然而當時的人只能依靠推理和想象，沒有機會見到地球的真面目。現在大家想要親眼見一見地球，除了把玩地球儀，也可以攤開世界地圖，遍覽七洲四洋。不過世界地圖真的只有平常見到的那一種模樣麼？“遠看成嶺側成峰”，通過不同的角度去觀察地球，她的風景自然也是不同的。如圖1-1所示，這兩幅地圖與我們平日裡所見的世界地圖非常不同。
圖1-1 左為亞爾勃斯投影的世界地圖 右為彭納投影的世界地圖
為什麼同一個地球卻能有這麼多不同的地圖表達呢？眾所周知，地球是一個三維的橢球體，並且地球表面是不可展開面，而地圖是一個二維平面。將三維的地球表面映射到二維平面的過程就是地圖的投影。在投影過程中我們希望地圖可以保持形狀，距離和麵積關係與地球表面完全相同。不幸的是，可以證明沒有並且永遠不會有這樣一個完美的投影：由於空間維度的降低，每一種投影都必然會扭曲至少部分映射區域，如圖1-2所示。因此，為不同的地圖應用來設計和選擇最合適的地圖投影是一門權衡的藝術和科學。
圖1-2果皮提供了地圖中扭曲的經典演示：
除非壓縮，拉伸或撕裂，否則它不能完全展平。
二、地理座標系與投影座標系
由於地圖投影是按照一定的數學法則將三維地球表面投影轉換到二維平面地圖上去。因此我們需要在三維地球和二維地圖上各自建立座標系去定量描述每一個點的座標，即建立起地面某點的地理座標
與投影后的笛卡爾平面直角座標
的函數關係，如圖2-1所示。投影的一般公式為：
從公式中可以看出，計算平面直角座標需要明確兩個方面：地理座標
和投影函數F。地理座標
由大地測量座標系決定，對於同一地理位置，在不同的地理座標系中它的經緯度座標也是不同的，而函數關係由地圖投影方式決定，一般是選擇最貼合某一區域、扭曲變形最小的地圖投影。
圖2-1 三維地球表面投影到二維地圖
1、地理座標系的定義
地理座標系 (Geographic coordinate system, GCS) 使用三維球面來定義地球上的位置。地理座標系常常被誤稱為基準面，而基準面僅是地理座標系的一部分。地理座標系包括角度測量單位、本初子午線和基準面（基於旋轉橢球體）。
（1）角度測量單位
角度測量單位通常使用度或者百分度，如圖2-2左圖所示，每一個點的座標值由其經度和緯度值確定。圖2-2右圖將地球顯示為具有經度和緯度值的地球，紅色的水平線（或東西線）是等緯度線或緯線，藍色的垂直線（或南北線）是等經度線或經線。這些線包絡著地球，構成了一個稱為經緯網的格網化網絡。
圖2-2 地理座標系與經緯網
（2）本初子午線
本初子午線又稱為零經度線，對於絕大多數地理座標系，本初子午線是指通過英國格林尼治的經線，如圖2-3所示。其他國家/地區使用通過伯爾尼、波哥大和巴黎的經線作為本初子午線。位於兩極點中間的緯線稱為赤道。經緯網的原點 (0,0) 定義在赤道和本初子午線的交點處。這樣，地球就被分為了四個地理象限，它們均基於與原點所成的羅盤方位角。赤道的下方和上方分別為南半球和北半球，而本初子午線的左側和右側分別為西半球和東半球。
通常，經度和緯度值以十進制度為單位或以度、分和秒 (DMS) 為單位進行測量。緯度值相對於赤道進行測量，其範圍是 -90°（南極點）到 +90°（北極點）。經度值相對於本初子午線進行測量。其範圍是 -180°（向西行進時）到 180°（向東行進時）。如果本初子午線是格林尼治子午線，則對於位於赤道北部和格林尼治東部的中國，其經度和緯度都為正值。
圖2-3 格林尼治本初子午線
（3）大地水準面、參考橢球體、大地基準面的三級逼近
到目前為止，我們認為地球是一個完美的球體，但事實並非如此。地球不僅在兩極處變得扁平，而且其表面也是不規則的，因此我們採用大地水準面（Geoid）來描述地球真實輪廓，它是一個假想的由地球自由靜止的海水平面擴展延伸而形成的閉合曲面，也是海拔高程系統的起算面。
大地水準面是真實地球表面的第一級逼近，這種方法的優點是非常接近自然地球的形狀和大小，並且位置比較穩定。然而同樣，大地水準面很難通過數學公式進行表達，為了計算與研究的方便，我們採用一個規則的參考橢球體來實現對大地水準面的數學逼近，如圖2-4所示。
圖2-4 參考橢球體與大地水準面
橢圓形狀由兩個半徑定義。較長的半徑稱為長半軸，而較短的半徑稱為短半軸。將橢圓繞短半軸旋轉即生成參考橢球體。圖2-5顯示了旋轉橢球體的長半軸和短半軸。
圖2-5 橢圓與參考橢球體
其中扁率
。當短半軸b減小時，扁率
增大，參考橢球體越扁，特殊情況
時變為二維平面，
時變為球體。
參考橢球體是真實地球表面的第二級逼近，為了以儘可能小的失真來表示大地水準面，我們嘗試將其投影到參考橢球體上，包括適合世界特定地區的參考橢球體以及最適合全球大地水準面的參考橢球體。對於較小區域的高精度地圖，其橢球體形狀不容忽視。對於每個映射區域，可以仔細選擇不同的參考橢球，以便最佳匹配大地水準面，從而匹配地形特徵。圖2-6表現出參考橢球在某些區域擬合大地水準面的效果最好，而在另外某些區域擬合效果最差。
圖2-6 旋轉橢球面在不同區域擬合大地水準面
大地基準面是真實地球表面的第三級逼近，其通過控制參考橢球和地球的相對位置，從而儘可能與某一區域的大地水準面密合的一個橢球曲面。大地基準面是人為確定的，如圖2-7所示。橢球面和水準面肯定不是完全貼合的，採用同一個橢球體，可以通過平移、旋轉、縮放等操作去最大限度擬合不同的區域，因此同樣的橢球體能定義不同的基準面，如前蘇聯的Pulkovo 1942、非洲索馬里的Afgooye基準面都採用了Krassovsky橢球體，但它們的大地基準面顯然是不同的。
圖2-7 大地基準面
總而言之，大地水準面是由假想的靜止海水平面延伸而形成的連續、閉合曲面，唯一且不規則。規則的參考橢球體表面可以擬合大地水準面，與大地水準面是多對一的關係。而當採用同一個參考橢球體時，也可以通過選擇不同的大地基準面來滿足不同區域的實際需要。因此，大地水準面與參考橢球體是一對多的關係，參考橢球體與大地基準面也是一對多的關係，最終我們可以在大地基準面上建立地理座標系來定量描述地球表面上每一個點的座標。這也是進行地圖投影的首要工作。
（4）中國採用的地理座標系
通常所說的北京54座標系、西安80座標系是我國的兩個大地基準面。我國參照前蘇聯從1953年起採用克拉索夫斯基（Krassovsky）橢球體建立了北京54座標系，1978年採用國際大地測量協會推薦的1975地球橢球體（IAG75）建立了我國新的地理座標系--西安80座標系。北京54與西安80兩者控制點座標只能通過一定的數學模型，在一定精度範圍內進行轉換。北京54與西安80座標之間的轉換也可查閱國家測繪局公佈的對照表。
WGS1984基準面採用WGS84橢球體，是以地心作為橢球體中心，是為GPS全球定位系統使用而建立的座標系統。通過遍佈世界的衛星觀測站觀測到的座標建立 CGC2000國家大地座標系是全球地心座標系統在我國的具體體現, 採用的參考橢球非常接近WGS84，現今已將CGS2000座標系作為測繪成果輸出標準。圖2-8介紹了中國各地理座標系的優缺點與意義。
圖2-8 中國採用的各大地座標系對比
2、投影座標系的定義
投影座標系在二維平面中進行定義，通過格網上的x,y座標來標識位置，其原點位於格網中心。每個位置均具有兩個值，這兩個值是相對於該中心位置的座標。一個指定其水平位置，另一個指定其垂直位置。這兩個值稱為x座標和y座標。採用此標記法，原點座標是x= 0和y = 0。
如圖2-9所示，在等間隔水平線和垂直線的格網化網絡中，中央水平線稱為x軸，表示經度值，而中央垂直線稱為y軸，表示緯度值。在x和y的整個範圍內，單位保持不變且間隔相等。原點上方的水平線和原點右側的垂直線具有正值；下方或左側的線具有負值。四個象限分別表示正負x座標和y座標的四種可能組合。
圖2-9 投影座標系
三、地圖投影方式
地球橢球表面是一種不可能展開的曲面，要把這樣一個曲面表現到平面上，就會發生裂隙或褶皺。在投影面上，可運用經緯線的“拉伸”或“壓縮”（通過數學手段）來加以避免，以便形成一幅完整的地圖，如圖3-1所示。
圖3-1 幾種地圖投影方式
1、地圖投影變形及參數
地圖投影方式的選擇即要求滿足特定區域內的變形程度最小，因此本文先介紹地圖投影中存在哪些變形。地圖投影的變形通常有三種：長度變形、面積變形和角度變形。
長度變形：可以使用長度比μ來表示。長度比是指地面上的微分線段經過投影后的長度與原有長度的比值。值得注意的是，這與比例尺並非一個概念。長度比是一個變量，它隨著在地圖上位置的變化而變化。
面積變形：可以使用面積比Ρ來表示。面積比是指地面上的微分面積經過投影后的大小與原有大小的比值。面積比也是一個變量，如圖3-2所示。
圖3-2 地圖投影中的面積變形
角度變形：是指地面上的任意兩條線的夾角α與經過投影后的角α′的差，如圖3-3所示。由於地面上的一點可以引出無窮條方向線，因此角度變形一般指最大角度變形。
圖3-3 地圖投影中的角度變形
其中，各種變形相互聯繫相互影響：等積與等角互斥，等積投影角度變形大，等角投影面積變形大。實現等角、等面積、等距離同時做到的投影是不存在的。如圖3-4所示，右上角為地球表面無變形的兩幅人臉，圖3-4左上部分的投影展開為扇形或矩形的地圖無角度變形，其經緯線保持垂直關係，然而可以很明顯的看出面積變形相當嚴重，人臉的面積放大了數倍；與此相對應的是圖3-4的右下部分投影，人臉面積變化不大，然而經緯線的角度關係是不正確的，這也意味著圖上任意兩點的連線方向與真實情況存在很大的誤差。
圖3-4 各種投影方式的變形程度
通常在應用中我們需要輸入投影參數即標準線和中心線，用於確定投影的應用範圍。如圖3-5所示，標準線是投影面與參考橢球的切線或割線，分為標準緯線與標準經線，特點是沒有變形，也稱主比例尺；中心線是指中央經線（原點經線）與中央緯線（原點緯線），用來定義圖投影的中心或者原點，特點是一般會有變形。
圖3-5 標準線與中心線
2、投影方式分類及特點
投影方式按變形分類可以分為等角投影，等積投影和任意投影。等角投影的角度變形為零（Mercator投影）。等積投影的面積變形為零（Albers投影）。任意投影的長度、角度和麵積都存在變形。等角投影便於量測方向，故可應用於編制航海圖、洋流圖、風向圖。等距投影，可用於對投影變形要求適中或區域較大的地圖，如教學地圖、科學參考圖、世界地圖。等積投影無面積變形，可在地圖上進行面積對比與量測，故可應用於編制對面積精度要求較高的自然地圖和社會經濟地圖，如地質圖、土壤圖、行政區劃圖。
投影方式也可以按照投影面類型、投影面與地軸關係、投影面與地球表面關係分類。投影面有三種類型：圓柱、圓錐、平面（方位）。
投影面與地軸關係有三種類型：正軸、斜軸和橫軸。正軸投影是投影面中心軸與地軸相互重合；斜軸投影是投影面中心軸與地軸斜向相交；橫軸投影是投影面中心軸與地軸相互垂直。
投影面與橢球表面關係有兩種類型：相切和相交。相切投影是投影面與橢球體相切；相割投影是投影面與橢球體相割。
如圖3-6左圖顯示了考慮投影面類型和投影面與地軸關係的九種投影方式，右圖顯示了部分相切投影和相割投影。
圖3-6 投影方式分類
在實際應用中投影方式經常採用發明者的名字而非投影分類的類型命名，因此我們需要了解某些特殊命名投影方式的投影性質，如圖3-7所示。
①墨卡託投影，正軸等角圓柱投影，經線和緯線是兩組相互垂直的平行直線，經線間隔相等，緯線間隔由赤道向兩級逐漸擴大。無角度變形，面積變形較大。該投影的等角航線為直線，這一特性對航海有重要意義，可用於編制航海地圖，赤道附近國家及一些區域的地圖。
②蘭伯特投影，橫軸等積方位投影，赤道和中央經線為相互正交的直線，緯線為凸向並對稱於赤道的曲線，經線為凹向並對稱於中央經線的曲線。可用於編制東、西半球地圖。右圖為球面投影，橫軸等角方位投影，視點在球面，切點在赤道的完全透視的方位投影。
③博斯特爾投影，正軸等距方位投影，緯線為同心圓，經線為交於圓心的放射狀直線，其夾角等於相應的經差。特點：經線方向上沒有長度變形，因此緯線間距與實地相等；切點在極點，為無變形點；有角度變形和麵積變形，等變形線均以極點為中心，呈同心圓分佈，離無變形點愈遠，變形愈大。可用於編制南、北半球地圖和北極、南極區域地圖。聯合國即採用這種地圖圖案製作聯合國會徽。
④亞爾勃斯投影，正軸等積圓錐投影。可用於編制全國性自然地圖中的各類分佈圖、類型圖、區劃圖以及全國性社會經濟地圖中的行政區劃圖、人口密度圖、土地利用圖。
⑤高斯-克呂格投影，橫軸等角切橢圓柱投影，中央經線與赤道垂直，經線為凹向並對稱於中央經線的曲線，緯線為凸向並對稱於赤道的曲線，經緯線成直角相交，分為6度和3度帶分帶投影。大於1:1萬的地形圖採用3度帶投影，1:2.5萬至1:50萬的地形圖採用6度帶投影。
（1）墨卡託投影
（2）蘭伯特投影
（3）博斯特爾投影
(4)聯合國會徽
（5）亞爾勃斯投影
（6）高斯-克呂格投影
圖3-7 某些投影方式及其特點
3、投影選擇實例
投影方式有多種多樣，一個國家或地區依據自己所處在的經緯度、幅員大小以及圖件用途選擇投影方式。在大於1:10萬的大比例尺圖件中，各種投影帶來的變形可以忽略。選擇地圖投影時，主要考慮製圖區域的範圍、形狀和地理位置（主要因素）、地圖的用途、出版方式及其他特殊要求。
（1）世界範圍內投影方式
世界地圖，主要採用正圓柱、偽圓柱和多圓錐投影。在編繪世界航線圖、世界交通圖與世界時區圖時也採用墨卡託投影。中國出版的世界地圖多采用等差分緯線多圓錐投影。
對於半球地圖，東、西半球圖常選用橫軸方位投影；南、北半球圖常選用正軸方位投影；水、陸半球圖一般選用斜軸方位投影。在東西延伸的中緯度地區，一般採用正軸圓錐投影，如中國與美國。在南北方向延伸的地區，一般採用橫軸圓柱投影或多圓錐投影，如智利與阿根廷。
（2）中國範圍內投影方式
①我國基本比例尺地形圖（1:100萬、1:50萬、1:25萬、1:10萬、1:5萬、1:2.5萬、1:1萬、1:5000）除1:100萬以外均採用高斯-克呂格Gauss-Kruger投影（橫軸等角切圓柱投影，又叫橫軸墨卡託Transverse Mercator投影）為地理基礎。
此種投影方式的特點是離中央子午線越遠，變形越大。投影后赤道是一條直線，赤道與中央子午線保持正交。離開赤道的緯線是弧線，凸向赤道；沒有角度變形，長度和麵積變形很小。北京54和西安80投影座標系即採用了這種投影方式。
因為在緯線方向上長度變形過快，高斯克呂格投影採用分帶的方式控制投影變形。即每隔一定的經度重新確立一條新的中央經線，保證在這個經度範圍內的長度變形保持可接受的精度，共有6°分帶和3°分帶兩種方式。如圖3-8所示。
6°分帶 用於1:2.5萬 -1:50萬比例尺地圖起始於本初子午線（格林威治），按經差6度為一個投影帶自西向東劃分，全球共分60個投影帶。我國範圍可分成11個6度帶（第13號帶到第23號帶）。
3°分帶用於大於1:1萬比例尺地圖始於東經1°30′，按經差3度為一個投影帶自西向東劃分，全球共分120個投影帶。我國範圍可分成22個三度帶（第24號帶到45號帶）。座標系原點為每個投影帶的中央經線與赤道交點。
圖3-8 高斯克呂格投影及分帶
②1:100萬地形圖採用蘭伯特Lambert投影（正軸等角割圓錐投影），其分幅原則與國際地理學會規定的全球統一使用的國際百萬分之一地圖投影保持一致。
③海上小於50萬的地形圖多用墨卡託Mercator投影，即正軸等角圓柱投影。
④我國大部份省區圖以及大多數這一比例尺的地圖也多采用蘭伯特投影和屬於同一投影系統的Albers投影（正軸等積割圓錐投影）。
中國常用地圖投影如圖3-9所示。
圖3-9 中國常用的地圖投影
四、地圖投影的有趣應用
1、兩點之間的最短路徑是什麼？
假設我們需要計劃兩個遙遠點之間的旅程行程，如坎皮納斯（巴西東南部）和東京（日本）。假設我們可以乘飛機旅行，並簡化忽略應當避免的事情，例如惡劣的天氣和受限制的空域。顯然，我們希望通過選擇最短的路線來減少時間和成本，這種路線在平坦的表面上始終是一條簡單的直線。那麼，我們如何確定自己的道路呢？只需拿起一把尺子和一張地圖，然後繪製一條線來加入我們旅程的終點？它不是那麼簡單，如果我們想要有意義的結果，選擇正確的投影是必不可少的。
圖4-1 綠色箭頭指向日本東京;藍色箭頭指向巴西坎皮納斯
給定A和B兩個點，如東京和坎皮納斯，加上地球的中心，一個獨特的（除非地心過AB組成的直線）平面被定義。這個平面與地球表面的交點是大圓，因為在包含A和B的圓中它是最大的，其半徑和周長與地球相同;此時我們定義由包含地心的平面產生的任何表面圓都是一個大圓，任何不包含地心的表面圓都是一個小圓。因此，每條經線都是一個大圓，而除了赤道以外的所有緯線都是小圓。如圖4-2所示，PX可以看做是P和X兩點的大圓弧，而PV和VX不在兩點間的大圓弧上，由三角形的定理可知，兩邊之和大於第三邊，即PV+VX>PX，因此大圓才是球面上兩點的最短路徑，而不是兩點的直線。
圖 4-2 球面三角
因此，從巴西到日本的最短路徑如圖4-3紅線所示，從上方兩圖可以看到從球面路線來看，經由美國東海岸與阿拉斯加到達東京才是最短路徑，但在地圖投影中則是一條相當彎曲的弧線。簡單地將巴西和日本投影在等距圓柱形地圖上的直線相連（綠線）可能會得出天真的結論，即夏威夷比阿拉斯加更適合轉機。
圖4-3 大圓路徑（紅色）與地圖路徑（綠色）
2、動物學分類的世界地圖
由於氣候是動物群特徵的重要決定因素，因此動物活動的大多數區域邊界都遵循緯度，因此使用極座標系星型投影是一種非常直觀的方式。如圖4-4所示。
圖4-4 左為Maurer星型投影右為William-Olsson投影
在地球的北半球，大陸地區聚集在極地周圍，而赤道以南的廣闊海域將稀疏的大陸分開; 此外，非洲和美洲向南縮小。地球上奇特的大陸分佈是我們採用以北極為中心的中斷星形地圖投影的基礎，以一個圓形核心（通常是一個半球）被裂片包圍的形式表現，其中不太重要的南極洲在星型的末端分開成為幾個不相連的部分。也有與此對應的反轉模式，以南極地區為中心的星型地圖研究海洋特徵。Oliver L. Austin和Arthur Singer在1968年的世界鳥類研究中即採取了基於Maurer的星形投影地圖（不包含南極洲），如圖4-5所示。
圖4-5 世界鳥類分佈地圖
五、總結與展望
地圖製圖的優劣表達了我們是否能準確認識我們所居住的這個星球。從古代的天圓地方到如今纖毫可見的衛星地圖，這正是我們對世界的認識不斷加深的過程。而地圖投影的選擇是否恰當，直接影響地圖的精度和實用價值。因此在製圖以前，要根據各種投影的性質、經緯網的形狀特點，然後結合製圖區域的形狀和地理位置、製圖區域的範圍、地圖的內容和用途以及出版方式，科學的選擇地圖投影，避免犯“南轅北轍”的錯誤。
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