歐幾里得幾何學
兩千三百年前，古希臘數學家歐幾里得著成了《幾何原本》，構建了被後世稱為“歐幾里得幾何學”的研究圖形的方法。歐幾里得創立了當時頗為獨特的公理系統，即首先提出一些顯然的、不言自明的公理。
比如，他提出了“三角形的內角和一定等於一百八十度”的定理，他的許多幾何計算也是基於此，並且看起來頗為正確。但是後來的數學家對此產生了質疑，認為這個定理是緣於經驗而並非真理。那麼，把不遵從歐幾里德公里系統的幾何學，也取了個相對應的名字，叫“非歐幾里德幾何學”（non-Euclidean Geometry）。
歐幾里德幾何對空間物體的刻畫，是基於某個維度上的內積(Inner Product)。對於空間中的一些點或線，我們感興趣的是它們的距離、角度等等屬性，這可以通過求其內積獲得。例如，在二維空間裡兩個向量X=(x1, x2)和Y=(y1, y2)的距離為x1*y1+x2*y2。也就是等於內積
然而，就如同三角形的內角和問題一樣，在使用中也發現了歐幾里德空間的侷限性。這就必須先從拓撲學談起。
拓撲學（Topology）
“拓撲學家就是不會區分甜甜圈和咖啡杯的人。” -John L. Kelley
“拓撲”這個詞在希臘語中的意思是地貌。拓撲學是研究幾何體連續形變中保持不變的性質。比如下面鏈接裡介紹的“虧格”。無論怎麼變形，虧格不同的對象都無法變成同一個模樣。虧格就是一個拓撲不變量。
而連續的變換最後都能變成一樣的兩個物體，稱為同胚（Homeomorphism）。從這個角度上說，甜甜圈與有一隻把手的杯子等價（都只有一個洞）。但是事實上，杯子無法捏成甜甜圈的模樣，因為杯子都是瓷或塑料做的，它們都太硬。相對的，在拓撲學中研究的對象，都必須是“柔軟”的，從某種意義上說就像可以流動的液體一樣。然而，在傳統的、基於內基的歐幾里德空間（比如笛卡爾座標系）中，得出甜甜圈等於杯子的結論是不可想象的。相應的，把基於歐幾里德空間的幾何學稱為是“堅硬”的。
所以，在拓撲學中必須定義一個特殊的柔軟的概念。
流形（Manifold）
流形這個名字來源於十九世紀德國數學家黎曼（Riemann ）。流形的德語原名是Mannigfaltigkeit，意思是“多樣性”。
下面一個問題是，該如何精確地描述這種柔軟多變的流形呢？
這種靈感來源於地圖集(Atlas)。假設你要做一份詳細的中國地圖, 有兩個難點。第一是不可能把所有的地圖細節包含在一張紙內，所以不同的城市要畫在不同的頁（Chart）上。然後，給出比例尺，再告訴讀者從天津往西北方向的地圖是北京等等。
第二個問題更加棘手，它源自於地圖本身的侷限性。我們很容易知道從上海往西走可以到烏魯木齊。但是，假設從上海坐船往東，穿過北美、歐洲大陸，同樣可以到達烏魯木齊。用此邏輯，從任何一個地點出發，往任何方向前進，都可以回到原點，這是地圖無法表達的。
把地圖和拓撲的問題比較，某一張地圖就好像一個笛卡爾座標系，在局部的討論中是成立的。就好比拿著北京地圖從西直門走到西單，無論如何也是沒有歧義的。但是擴大到整個地球（流形）就不成立了。
於是以地圖集的概念描述一個流體：把流體的任何一個微小的局部看作是歐幾里德空間，稱為一個chart。無限多這樣的chart拼接起來，就成了地圖集atlas。
同時可以看出這樣定義的流形，要求在某個任何小的空間裡，它必須是"簡單"的。試想可以把一個柿子看作一個流形，但某天它發黴了，長了一根毛（看作一條線），就不能看作流形了。因為考慮這個柿子長毛的那個微小區域，無法用一個chart描述。
事實上，地球的經緯度就可以看作一個座標系。可以看出，在緯度最高的地方（南北極），方向是無法定義的。這也是歐幾里德空間對於流體的侷限性。
另外必須指出，對於同一個流體，可以通過選取不同的圖（或者說是投影）來定義不同的地圖集。
同在歐幾里德空間裡一樣，流形也是有維度的，這個維度在局部裡定義。如果流形的圖是n維的，那麼這個圖被稱為n維流形。比如球面的任意一個細小的局部是一個2維平面，那麼球面就是一個2維流形。
從以上例子也可以看出，流形的維度同它在歐幾里德空間的個體（3維）比較是下降了。直觀來看，因為在曲面上的運動本來就也只有兩個自由度。通常對於笛卡兒座標系的曲面，可以找到對應的低維度流形座標，這個過程叫做參數化（Parameterization）。
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