知識點口訣
小數除法法則
小數除法高位起，看著除數找規律。
除數是整直接除，除到哪位商哪位。
不夠商一零佔位，商被除數點對齊。
小數除法變整數，被除數點同位移。
右邊數位若不夠，應該用零來補齊。
分數加減法法則
分數加減很簡單，統一單位是關鍵。
同分母分數相加減，分子加減分母不變。
異分母分數相加減，先通分來後計算。
分數乘法法則
分數乘法更簡單，分子、分母分別算。
分子相乘作分子，分母相乘作分母。
分子、分母不互質，先約分來後計算。
分數除法法則
分數除法最簡便，轉換乘法來計算。
除號變成乘號後，再乘倒數商出來。
質數、合數
分清質數與合數，關鍵就是看因數。
1的因數只一個，不是質數也非合數；
如果因數只兩個，肯定無疑是質數；
3個因數或更多，那就一定是合數。
分解質因數
合數分解質因數，最小質數去整除，
得出的商是質數，除數乘商來寫出；
得出的商是合數，照此方法繼續除，
直到得出質數商，再用連乘表示出。
求最大公因數
要求最大公因數，就用公因數去除，
直到商為互質數，除數連乘就得出；
如果兩數相比較，小是大數的因數，
不必再用短除式，小數就是公因數。
求最小公倍數
要求最小公倍數，公有質因數去除，
直到商為互質數，除數乘商就得出；
兩數若是互質數，乘積即為公倍數；
大是小數的倍數，不必去求已清楚。
100以內的質數
二三五七一十一，十三十九和十七，
二三二九三十一，三七四三和四一，
四七五三和五九，六一六七手拉手，
七一七三和七九，還有八三和八九，
左看右看沒對齊，原來還差九十七。
列方程解應用題
列方程解應用題，抓住關鍵去分析。
已知條件換成數，未知條件換字母，
找齊相關代數式，連接起來讀一讀。
百分數和小數互化
小數化成百分數，小數點右移要記住，
移動兩位並做到：在後面添上百分號。
百分數要化小數，小數點左移要記住，
移動兩位並做到：一定要去掉百分號。
百分數和分數互化
分數要化百分數，先把分數化小數；
除不盡時別發愁，三位小數可保留。
化成小數要記住：小數再化百分數。
百分數要化分數，把它改寫成分數，
能約分的要約分，約到最簡即完成。
分數（百分數）乘、除法一般應用題
判斷分數應用題，關鍵確定單位“1”。
只要找出標準量，比較量再去對比。
要求某數幾分幾，乘法計算最實際，
若知某數幾分幾，要求某數除法題。
分數乘除能辨清，百分數是同一理。
周長
正方形周長最易，邊長乘4計算完；
長方形耍手腕兒，長寬之和再乘2；
圓的周長有點怪，量出直徑再乘π。
面積
面積計算很容易，弄清道理是前提：
以長方形為基礎，長寬相乘即面積；
鄰邊相等正方形，邊長相乘就可以；
平行四邊形一樣，高底相乘求面積；
梯形上下底平均，和高相乘同一理；
上底為0三角形，它和梯形是同類；
圓的面積看仔細，半徑平方乘周率。
圓的畫法
確定中心定半徑，圓規尖腳固圓心，
另一隻腳轉一圈，一個圓圈即畫成。
體積
計算體積並不難，弄清道理是關鍵：
以長方體為基礎，長寬高乘即得出；
三者相等正方體，稜長立方為體積；
圓柱底面乘以高，三分之一圓錐體；
容積要從裡面量，計算方法同體積。
百分數應用題
解應用題先別慌，反覆讀題頭一樁。
條件、問題關鍵句，一字不漏正反想。
線段圖，是柺杖。
用方程，切莫忘，化難為易它最強。
分數題，單位“1”，量率對應細分析。
三類九種基本題，你要牢牢記心裡。
工程題、行程題，相互溝通正反比。
假設法、不變量，單位“1”要統一。
算完題，要檢驗，符合題意再答題。
比較應用題
計劃實際比較應用題，細分析不用急。
數量關係很重要，前後聯繫很微妙。
先把關係寫上邊，解題思路它領先。
計劃實際在左面，上下對比一條線。
具體數量要體現，不變數量是關鍵。
按量填數看得準，最後再把問題填。
根據等式列方程，算術方法也簡單。
試商
兩位數除多位數，四捨五入試試商。
四舍試商容易大，逐步減1往小調。
五入試商容易小，逐步加1往大調。
多位數除法別作難，弄清算理最關鍵。
個位數是1，2，3，四舍方法來判斷。
個位數是4，5，6，近五口算最方便。
個位數是7，8，9，五入方法來試驗。
四捨五入試商妙，認真計算不出錯。
比例尺
求比例尺，很容易。
先把單位來統一，寫出圖距與實際距離比。
再根據基本性質去約分，比的前項化為1。
小數簡便計算
小數簡算並不難，認真審題不怕難；
認真分析再計算，運算規律莫記亂；
交換、分配和結合，算完還要再看看；
確保正確不失誤，勝利闖關來計算。
位置
標示位置有絕招，一組數據把位標；
左數為列右為行，列先行後不能調；
分數乘整數
分數乘整數，計算很簡單；
分子乘整數，分母不用變；
計算想簡便，約分要在先；
結果要想準，分數化最簡。
分數四則混合運算
分數四則混合算，運算順序記心間；
乘加乘減沒括號，加減在後乘在先；
一級二級四則算，二級算在一級前；
有了括號序改變，先算裡頭後外邊；
運算定律仍有用，使用恰當變簡單。
圓的認識
圓的認識並不難，心徑特徵要記全；
圓心一點定位置，大小二徑說得算；
直徑半徑都無數，圓心圓上線段連；
二者關係有條件，同圓等圓說在前；
直徑為兄半徑弟，兄長弟短二倍牽；
圓規畫圓挺容易，半徑即在兩腳間；
針尖定在圓心位，筆芯一轉就畫完。
圓的對稱性
圓的認識很簡單，對稱軸多數不完。
同圓直徑分兩半，繞心旋轉形不變。
圖形的變換
圖形變換並不難，平移旋轉對稱看；
方向數量中心點，六個要素記心間。
圖案設計
圖案設計要仔細，旋轉對稱和平移。
旋轉角度細分析，選好對稱是大計。
數好格子再平移，精美圖案沒問題。
比的意義
比的意義很重要，記憶方法有訣竅。
兩數相除即為比，除號變點真奇妙。
計算比值有妙招，兩項相除解決了。
比與分數和除法，三者關聯要記牢。
按比例分配
比的分配很重要，生活應用不可少。
比的意義來解答，對應份數要找好。
分數乘法來幫忙，各量依次求得了。
複式條形統計圖
複式條形統計圖，名稱圖例不能少。
縱橫兩軸先畫好，標好單位莫忘了。
注意條寬與間隔，單位長度要合理。
對照數據畫直條，不同顏色區分好。
複式折線統計圖
複式折線統計圖，名稱圖例不能少。
先畫縱橫兩條軸，標好單位莫忘了。
點點間距要相等，單位長度要找準。
描點連線要順次，不同折線區分好。
觀察物體
觀察物體有方法，不同方向去觀察。
多個角度畫一畫，然後動手搭一搭。
平面圖形告訴你，立體圖形猜一猜。
方塊的數量範圍，還原之後數一數。
觀察範圍
觀察範圍的大小，兩個條件來決定。
站得高，望得遠；角度小，影越短。
點與角度都重要，相互制約好朋友。
生活中的數
數據世界真奇妙，整體部分互轉化。
熟悉事物來描述，收集數據方法多。
詢問他人查資料，課外調查不能少。
分數的大小比較
分數大小的比較，分母相同看分子，
分子大的比較大；分子相同看分母，
分母小的反而大。
假分數化帶分數或整數
假分數化帶分數，分子分母去相除。
商為整數餘分子，分母不變要記住。
如果兩數能整除，所得商就是整數。
帶分數與假分數的互化
帶分數化假分數，原分母仍作分母，
分母整數相乘積，和原分子加一處，
來作分子要記住。
一般應用題解答步驟
應用題解並不難，弄清題意是關鍵。
先從已知條件想，再往所求問題看。
也可逆向去思考，綜合分析作判斷。
畫圖可幫理思路，以此推導不出偏。
先算後算有次序，列出算式細心算。
算出結果要檢驗，最後莫忘寫答案。
小數乘法
小數乘法不算難，關鍵點好小數點。
因數小數位數和，等同積中小數位。
積中位數如不夠，用0補足再點點。
因數如果不為0，還有奧秘在其中。
一個因數小於1，另一因數大於積。
一個因數大於1，另一因數小於積。
典型應用題
具有獨特的結構特徵的和特定的解題規律的複合應用題，通常叫做典型應用題。
（1）平均數問題：平均數是等分除法的發展。
解題關鍵：在於確定總數量和與之相對應的總份數。
算術平均數：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數，求平均每份是多少。數量關係式：數量之和÷數量的個數=算術平均數。
加權平均數：已知兩個以上若干份的平均數，求總平均數是多少。
數量關係式 （部分平均數×權數）的總和÷（權數的和）=加權平均數。
差額平均數：是把各個大於或小於標準數的部分之和被總份數均分，求的是標準數與各數相差之和的平均數。
數量關係式：（大數－小數）÷2=小數應得數
最大數與各數之差的和÷總份數=最大數應給數
最大數與個數之差的和÷總份數=最小數應得數
例1.一輛汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小時 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。
（2） 歸一問題：已知相互關聯的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。
根據求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。
根據球痴單一量之後，解題採用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。
一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一。”
兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一。”
正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之後，再用乘法計算結果的歸一問題。
反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之後，再用除法計算結果的歸一問題。
解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數量（單一量），然後以它為標準，根據題目的要求算出結果。
數量關係式：單一量×份數=總數量（正歸一）
總數量÷單一量=份數（反歸一）
例2. 一個織布工人，在七月份織布 4774 米 ， 照這樣計算，織布 6930 米 ，需要多少天？
分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。
693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）
（3）歸總問題：是已知單位數量和計量單位數量的個數，以及不同的單位數量（或單位數量的個數），通過求總數量求得單位數量的個數（或單位數量）。
特點：兩種相關聯的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規律相反，和反比例算法彼此相通。
數量關係式：單位數量×單位個數÷另一個單位數量 = 另一個單位數量
單位數量×單位個數÷另一個單位數量= 另一個單位數量。
例3. 修一條水渠，原計劃每天修 800 米 ， 6 天修完。實際 4 天修完，每天修了多少米？
分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。800 × 6 ÷4=1200 （米）
（4） 和差問題：已知大小兩個數的和，以及他們的差，求這兩個數各是多少的應用題叫做和差問題。
解題關鍵：是把大小兩個數的和轉化成兩個大數的和（或兩個小數的和），然後再求另一個數。
解題規律：（和＋差）÷2 = 大數 大數－差=小數
（和－差）÷2=小數 和－小數= 大數
例4. 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時從乙班調 46 人到甲班工作，這時乙班比甲班人數少 12 人，求原來甲班和乙班各有多少人？
分析：從乙班調 46 人到甲班，對於總數沒有變化，現在把乙數轉化成 2 個乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到現在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在調出 46 人之前應該為 41+46=87 （人），甲班為 9 4 － 87=7 （人）
（5）和倍問題：已知兩個數的和及它們之間的倍數 關係，求兩個數各是多少的應用題，叫做和倍問題。
解題關鍵：找準標準數（即1倍數）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標準數。求出倍數和之後，再求出標準的數量是多少。根據另一個數（也可能是幾個數）與標準數的倍數關係，再去求另一個數（或幾個數）的數量。
解題規律：和÷倍數和=標準數 標準數×倍數=另一個數
例5.汽車運輸場有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？
分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數 115 輛內，為了使總數與（ 5+1 ）倍對應，總車輛數應（ 115-7 ）輛 。
列式為（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （輛），
18 × 5+7=97 （輛）
（6）差倍問題：已知兩個數的差，及兩個數的倍數關係，求兩個數各是多少的應用題。
解題規律：兩個數的差÷（倍數－1 ）= 標準數 標準數×倍數=另一個數。
例6. 甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米 ，乙繩長 29 米 ，兩根繩剪去同樣的長度，結果甲所剩的長度是乙繩 長的 3 倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？各減去多少米？
分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3 倍，實比乙繩多（ 3-1 ）倍，以乙繩的長度為標準數。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙繩剩下的長度， 17 × 3=51 （米）…甲繩剩下的長度， 29-17=12 （米）…剪去的長度。
（7）行程問題：關於走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，瞭解他們之間的關係，再根據這類問題的規律解答。
解題關鍵及規律：
同時同地相背而行：路程=速度和×時間。
同時相向而行：相遇時間=速度和×時間
同時同向而行（速度慢的在前，快的在後）：追及時間=路程速度差。
同時同地同向而行（速度慢的在後，快的在前）：路程=速度差×時間。
例7. 甲在乙的後面 28 千米 ，兩人同時同向而行，甲每小時行 16 千米 ，乙每小時行 9 千米 ，甲幾小時追上乙？
分析：甲每小時比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時可以追近乙（ 16-9 ）千米，這是速度差。
已知甲在乙的後面 28 千米 （追擊路程）， 28 千米 裡包含著幾個（ 16-9 ）千米，也就是追擊所需要的時間。
列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小時）
（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。
船速：船在靜水中航行的速度。
水速：水流動的速度。
順水速度：船順流航行的速度。
逆水速度：船逆流航行的速度。
順速=船速＋水速
逆速=船速－水速
解題關鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差問題解答。解題時要以水流為線索。
解題規律：船行速度=（順水速度+ 逆流速度）÷2
流水速度=（順流速度逆流速度）÷2
路程=順流速度× 順流航行所需時間
路程=逆流速度×逆流航行所需時間
例8. 一隻輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行 28 千米 ，到乙地後，又逆水 航行，回到甲地。逆水比順水多行 2 小時，已知水速每小時 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米？
分析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流 速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水比逆水少用 2 小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。
列式為 284 × 2=20 （千米）
2 0 × 2 =40 （千米）
40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小時）
28 × 5=140 （千米）
（9） 還原問題：已知某未知數，經過一定的四則運算後所得的結果，求這個未知數的應用題，我們叫做還原問題。
解題關鍵：要弄清每一步變化與未知數的關係。
解題規律：從最後結果 出發，採用與原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導出原數。
根據原題的運算順序列出數量關係，然後採用逆運算的方法計算推導出原數。
解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，後算乘除法時別忘記寫括號。
例9. 某小學三年級四個班共有學生 168 人，如果四班調 3 人到三班，三班調 6 人到二班，二班調 6 人到一班，一班調 2 人到四班，則四個班的人數相等，四個班原有學生多少人？
分析：當四個班人數相等時，應為 168 ÷ 4 ，以四班為例，它調給三班 3 人，又從一班調入 2 人，所以四班原有的人數減去 3 再加上 2 等於平均數。四班原有人數列式為 168 ÷ 4-2+3=43 （人）
一班原有人數列式為 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；
二班原有人數列式為 168 ÷ 4-6+6=42 （人）
三班原有人數列式為 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。
（10）植樹問題：這類應用題是以“植樹”為內容。凡是研究總路程、株距、段數、棵樹四種數量關係的應用題，叫做植樹問題。
解題關鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然後按基本公式進行計算。
解題規律：沿線段植樹
棵樹=段數+1 棵樹=總路程÷株距+1
株距=總路程÷（棵樹-1） 總路程=株距×（棵樹-1）
沿周長植樹
棵樹=總路程÷株距
株距=總路程÷棵樹
總路程=株距×棵樹
例10. 沿公路一旁埋電線杆 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米 。後來全部改裝，只埋了201 根。求改裝後每相鄰兩根的間距。
分析：本題是沿線段埋電線杆，要把電線杆的根數減掉一。
列式為 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米）
（11 ）盈虧問題：是在等分除法的基礎上發展起來的。他的特點是把一定數量的物品，平均分配給一定數量的人，在兩次分配中，一次有餘，一次不足（或兩次都有餘），或兩次都不足），已知所餘和不足的數量，求物品適量和參加分配人數的問題，叫做盈虧問題。
解題關鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除後一個差，就得到分配者的數，進而再求得物品數。
解題規律：總差額÷每人差額=人數
總差額的求法可以分為以下四種情況：
第一次多餘，第二次不足，總差額=多餘+ 不足
第一次正好，第二次多餘或不足 ，總差額=多餘或不足
第一次多餘，第二次也多餘，總差額=大多餘-小多餘
第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足
例11. 參加美術小組的同學，每個人分的相同的支數的色筆，如果小組 10 人，則多 25 支，如果小組有 12 人，色筆多餘 5 支。求每人 分得幾支？共有多少支色鉛筆？
分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有 12 人，比 10 人多 2 人，而色筆多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 個人多出 20 支，一個人分得 10 支。
列式為（25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支）
10 × 12+5=125 （支）。
（12）年齡問題：將差為一定值的兩個數作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“年齡問題”。
解題關鍵：年齡問題與和差、和倍、 差倍問題類似，主要特點是隨著時間的變化，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善於利用差不變的特點。
例12. 父親 48 歲，兒子 21 歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？
分析：父子的年齡差為 48-21=27 （歲）。由於幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的倍數差是（ 4-1 ）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。
列式為：21− 48−21 ）÷（ 4−1 ） =12 （年）
（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數和總腿數。求“雞”和“兔”各多少隻的一類應用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題
解題關鍵：解答雞兔問題一般採用假設法，假設全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”，然後根據出現的腿數差，可推算出某一種的頭數。
解題規律：（總腿數－雞腿數×總頭數）÷一隻雞兔腿數的差=兔子只數
兔子只數=（總腿數-2×總頭數）÷2
如果假設全是兔子，可以有下面的式子：
雞的只數=（4×總頭數-總腿數）÷2
兔的頭數=總頭數-雞的只數
例: 雞兔同籠共 50 個頭， 170 條腿。問雞兔各有多少隻？
兔子只數 （ 17 0—2 × 50 ）÷ 2 =3 5（只）
雞的只數 50—3 5=15 （只）
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