最近初二的小朋友學到了一元二次方程，突然想起了這樣一個數學故事：有兩位數學家甲和乙，現在有一個一元二次方程x²-px+q=0寫在一張紙條上，被小明不小心撕成兩段，然後，含有x²-px的一段給了甲，含有+q=0的一段給了乙（注意：p，q都是已知的正整數，但是兩位數學家不知道它們是幾，只知道自己手中的p和q，數學家也知道這個一元二次方程的根都是大於1的整數，且兩根之和小於40.），好了背景交代完畢：
甲看了一下手中的殘式說：“你一定不知道我手中的p”，
過了一會，乙說：“我知道你手中的p了”，
又過了一會甲說：“我也知道你手中的q了”.
高手對話就是這樣嘛，那麼問題來了，這個方程的根到底是什麼呢？
此題乍一看無從下手，按照慣例，你不給我等式我咋列方程，列不出方程我怎麼求p和q呢？條件太少，開始懷疑題目漏了什麼數據，再仔細想想兩位數學家的話，是不是可以發現什麼蛛絲馬跡呢，解決難題我們要善於“無中生有”，隱藏在題目中的條件一個一個挖出來，要知道甲乙兩人都是數學家，所說的話絕對是對的，下面我們來研究一下他們的所說的話.
甲告訴乙：你一定不知道我手中的p。這句話的言外之意就是p是不能寫成兩個質數之和，且甲也推導出q不能寫成兩個兩個質數之積，這是為什麼呢？
反過來想，如果甲手中的p是可以寫成兩個質數之和的數，如9,那麼9=2+7，萬一乙手中的q是14，而且14只能寫成2×7（根都大於1），這樣乙是有可能推導出甲手中的p=9的。既然甲斷定乙猜不出來p，所以p不能寫成兩個質數之和的形式。
細想，40以內不能寫成兩個質數之和的數寥寥無幾，無外乎：11、17、23、27、29、35、37（3直接捨去，如果p=3，一定有一個根為1），現在乙就知道了：原來甲手中的p只有可能是11、17、23、27、29、35、37這七個數。那好辦了，乙便可以根據自己手中數的特殊性很快推出p了.
下面我們根據甲乙的後面的對話來推導一下p，q分別是幾？或者說p，q分別是幾的時候甲乙所說的話才是千真萬確的？
1）如果p=11，（我們來看一下乙是否能推出甲手中的數，且甲之後也能推導出乙手中的數）
可以分解成指的是m×n之積可以分解成的兩個因數，和是：指的是前面兩個因數的和。
我們來解釋一下這個表格：
乙手上的q如果是18，他知道18分成的因數是3×6,2×9,3+6=9，9不在那7個數中，2+9=11,11在那七個數中，因此乙很容易就猜出甲手中的p=11。但是反過來，甲能推算出乙手上的數據嗎？不能，因為如果乙手上的q=24的話，24可以分解成2×12,3×8,4×6，且2+12=14，4+6=10，14和10都不在那七個數中，3+8=11,11在那七個數中，現在甲開始糾結乙手中的q到底是18還是24，所以甲判斷不出乙手中的數。講到這裡解這個題的基本思路就出來了吧.
2) 如果p=17.
我們解釋一下上面的表格，如果q=30,而30又可以分解成2×15,3×10,5×6，其中2+15,5+6的和都在那七個數中，這樣乙其實是猜不出甲手中的數到底是17還是11的，所以q=30捨去，同理可以把42、60、66、70、72都捨去，不難發現當q=52的時候，由於52只能分解成2×26和4×13，2+26=28,28不在那七個數中,4+13在那七個數中，所以乙可以推出甲是17，這時甲一看自己手中的p，馬上列出上述表格，乙既然能推出p，通過排除，只有一種可能q=52了。
其他p的可能值都可以用上面的討論一一排除，最終可以判斷出p=17，q=52，方程的根是4和13.此題一正一反，從甲的的第一句話，就縮小了p的取值範圍，有了這個範圍，再分類討論，尋找矛盾，逐一篩查，排除不滿足題意的，保留滿足條件的.
由於本人水平有限，不足之處在所難免，敬請指正.
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