返樸公眾號前日推送了一篇奇文《夢中能做數學題嗎？》 ，引發諸多讀者的興趣與討論。該文作者鹹道是我敬重的老師，與我所瞭解的其他老師相比，他有一個突出的特點：擅長出題目。我做了其中最簡單的兩道題，並引申出一個相關問題。考慮到也許有讀者感興趣，這裡分享一下（所謂“奇文共欣賞，疑義相與析。”)。建議有興趣的讀者先思考一下鹹道老師的前兩道題 (下述問題1與問題2，程度較好的高中生就可以考慮了，第一題屬於高中代數，考察數學歸納法，第二題考察數列的極限，屬於微積分入門)再看解答。本文提供的解答主要起一個參考作用，讀者可以提出自己的解法。
在鹹道老師這篇文章的諸多留言中，我注意到有一個自稱博士的讀者留言。他說第一個問題都沒做出來，而這問題鹹道老師在文章說是“拿給中學生去做”的！他的留言截圖如下：
對此, 我只想就trivial說一句，這是鹹道老師的口頭禪(他的許多學生也常這麼說)，意思是“平凡的”(華羅庚先生的書中有時用“無聊的”來表達同一個意思)。我想鹹道老師之所以用這個字眼，主要是習慣使然，在外文數學文獻中經常可以讀到trivial，如圖
另一方面，這個英文會有提醒的效果：在鹹道老師看來簡單的問題我們須自己想明白，此外提醒我們少做平凡的工作，多做非平凡的工作。在這方面，我們還可以分享一句名言，它恰好可以回答多年前學生問我的一個問題(可惜當時我不知道這樣一個定義的存在)：什麼樣的人可以稱之為數學家？
鹹道老師的第一題如下：
問題1記為“黃金分割數”。證明，對每個正整數有
其中為斐波那契數列，即滿足，且對有.
對問題1，由於我給出的解法對中學生來說有點複雜，就不介紹了。這裡要介紹的是鹹道老師分享的兩種中學生解法。第一個證明是基於高中生熟悉的數學歸納法，如下。
第一個證明對用數學歸納法。
先考慮的情形，此時我們要證明
證明如下，由於滿足方程，從而有
由立即推出。
接下來假設對成立，即且. 現在考慮的情況。
其中. 這就完成了時的證明。
根據數學歸納法原理，對一切正整數成立。
對於上述解法以及博士留言，鹹道老師有以下評論：
斐波拉契數列和黃金分割數在統編中學數學教科書中都有，連記號也許這裡相同。所以此題是中學生練習數學歸納法的標準習題 ，而上述解法也是一箇中學生不難做出的證明。不知道那位博士怎麼會把它稱為“奧數”的。
我說這題“證明不難”絕不是口氣大，而且我說“沒有trivial的”，這已經表明是是凡夫俗子了（天才對此是不屑一顧的）。
鹹道老師分享的第二種證明是基於斐波拉契數列的通項公式，證明如下:
第二個證明根據斐波拉契數列的通項公式(見於很多書——包括一些教材)，對一切正整數有
於是
問題 2設數列滿足遞推關係
其中是給定的正數。對任意給定的初值，數列總有極限，並且極限是定義在上的函數的唯一不動點。
注：在鹹道老師的原題中，是以的特例開始的，而在我的大一微積分習題課上，曾講過的特殊情況(當時是作為一道選擇題出現，不過我將它延伸為一個解答題了)。鹹道老師認為上述一般問題的討論可以作為一道本科數學競賽題，我是認同的。我們給出以下分析解答。
解.注意，若有極限，則對遞推關係兩邊同時取極限【注意是連續函數】, 就有
即是的不動點。注意到在現在的情形，，從而不動點方程為
從而是二次方程
的唯一正根,即
下面，我們直接證明，總是以為極限。為此，我們要估計，為此，我們利用
如果我們能證明，對一切，總有
（其中是常數）就可以得到估計
進而就有
進而就有趨於，從而趨於. 於是我們的目標就是給出的一個下界估計。顯然，我們有
如果總成立, 那麼它就可以取作估計中的. 事實上，是很容易看出來的，見式。
做完鹹道老師的這個問題，再反思之前的教學，我想也許我當時在習題課時應該將這樣的一般問題作為思考題進一步延伸。
做完這兩個題目，我想起在課堂上給學生講過的另一個有趣的問題。這裡我留給有興趣的讀者考慮。
問題 3設數列滿足遞推關係
對任意的成立，是任意給定的正數。求證，總有極限，而且極限不依賴於初值的選擇。
注：在初值的特殊情況，問題3告訴我們，斐波拉契數列的前後兩項之比有極限。當然，一個熟知的事實是，這個極限就是黃金分割數. 這一事實可以根據 斐波拉契數列的通項公式直接驗證(留給有興趣的讀者)。
就其本質來說，問題3的一個可能推廣如下：
問題 4 設數列滿足遞推關係
其中是給定的正數。對任意給定的初值，討論數列的極限。
對問題4，如果仿照問題2的解法，似乎只得到部分結果，即：當時，由定義的數列總收斂到的不動點
推理如下：
注意，所以如果我們有，則它就可以取作類似前面中的，從而得到所求的估計。而
是的單調遞增函數，且可以驗證，因此當時，由(10)定義的數列收斂到 極限。
於是遺留的問題是：當 時，結果又如何？
實際上，問題4可以有一個完整解答[以下的解法其實可以追溯到英國數學A. Cayley(1821--1895)，有興趣的讀者可以參見李忠老師的小書《迭代·渾沌·分形》]。為此，我們還需用到的另一個不動點
利用之前的推理，我們同樣可以得到
將(14)與(12)式兩邊作比，就有
這意味著，
是以
為公比的等比數列。熟知的一個事實是，當時，以為公比的等比數列收斂到, 且此時對應的的極限可以從
(它可從式得到)算得。容易看出，當時，就有.
現在我們來考察. 容易看出 於是由前面的分析，當 時總有 收斂到 .
注：問題4中令，就得到解決問題3所需的結果。蒙好友張博群博士告知，這個特例曾作為今年浙江省(可能是紹興市的一份卷子？)高三數學測試的一個選擇題出現，題目如圖。
他指明，題目中這個看似複雜的遞推關係其實可進一步化簡。
兩邊取指數就有
進一步變形就有
這本質上是遞推關係(10)在時的特例。
對諸如問題2--4以及以斐波拉契數列為代表的數列問題感興趣的中學生讀者，建議大家讀一讀李克大、李尹裕合著的《 有趣的差分方程》。鹹道老師曾對我上面這部分內容做下述評論：
關於後面的內容：《有趣的差分方程》中都有詳細和全面的介紹，此書不久前剛出第二版第二次印刷，其中有幾個難題（當然只是中學水平的而且並不需要更多的知識）故意沒寫解答，那些是可以整中學生的（看看學霸和金牌得獎者們敢不敢接受挑戰）。
由問題2與問題4，還可以引申出下述更一般的問題：還有哪些簡單的函數具有類似問題2中以及問題4中那樣的簡單性質，即不論初值在哪個恰當範圍取值，由給出的迭代數列其極限總存在且等於的不動點？在這方面，我們可以與讀者分享一下徐利治(1920--2019)在1964年得到的一個結果：
定理 平方根迭代法設為只有實零點的實係數多項式。簡記
與
從任意一個滿足的實數開始, 按照上述迭代公式生成的數列分別記為與。則（當這兩個數列定義良好時）我們有以下結論：
若收斂，則必將單調地收斂到的在左側的全部零點中距離最近的那個。若發散, 則 在的左側無零點。
若收斂，則必將單調地收斂到的在右側的全部零點中距離最近的那個。若發散, 則 在的右側無零點。
由於文革耽誤，徐利治先生的結果推遲了九年才發表。非常巧的是，同年(1973年)，烏克蘭著名數 學家
Alexander Markowich Ostrowski(1893--1986)在其專著 Solutions of Equations and Systems of Equations 第三版中用新 增的第15章、第16章專門討論了同樣的平方根迭代法。(注意到Ostrowski寫出這一成果時已到80歲高齡)。徐利治其實證明了更一般的結果，而且比Ostrowski的方法簡單。細節留給有興趣的讀者自行了解，這是徐老“最得意的三項數學工作”之一（見袁向東、郭金海《徐利治訪談錄》第7章）。
說到這位高壽的數學家Ostrowski, 還可以提及一個以他命名的Ostrowski Prize，以獎勵全球範圍內純數學或數值計算之理論基礎方面的傑出貢獻。該獎自1989年設立以來，每兩年頒發一次，歷年的得主有：Louis de Branges,Jean Bourgain,Marina Ratner, Miklos Laczkovich,Andrew Wiles,Yuri Nesterenko, Gilles Pisier,Alexander Beilinson, Helmut Hofer,Henryk Iwaniec, Peter Sarnak, Richard Taylor,Paul Seymour,Ben Green, 陶哲軒(Terence Tao),Oded Schramm,Sorin Popa,Ib Madsen, David Preiss, Kannan Soundararajan,張益唐(Yitang Zhang)，Peter Scholze，Akshay Venkatesh，Assaf Naor Mehr.
我曾聽朋友說， 徐利治先生一生的理想，就是要設立一個“徐利治數學獎學基金”以推動中國數學和數學教育的發展，可惜宏願未了。
今年恰逢徐利治先生百年誕辰，本號擬推送關於他的多篇文章，以紀念這位天真可愛而有見識有情懷的數學家與數學教育家。請大家關注分享，歡迎賜稿。
致謝
感謝徐達林老師為我提供徐利治先生的照片。感謝鹹道老師與我分享了他對本文初稿的評論與反饋並慨允我分享給讀者，感謝杜瑞芝老師、沙國祥老師、潘穎女士、張寶群博士、張漢雄博士、王濤博士、王兢博士、林明華博士對初稿提出寶貴意見。
溫馨提示
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[1] 從《射鵰英雄傳》到《九章算術注》, 好玩的數學 2019-10-24(河南大學“高頓杯”數學文化節特邀報告)
[2] 從《射鵰英雄傳》到《四元玉鑑》 好玩的數學 2019-11-22 (吉林師範大學第二屆“萬物皆數•數語近人”數學文化節特邀報告)
[3] 在教學與服務中傳播數學文化, 好玩的數學 2019-12-11 (“區域高校數學課程慕課建設與推廣”研討會特邀報告)
[4] 求解常係數線性微分方程和差分方程的代數方法（與王兢合作）, 好玩的數學 2019-12-20
[5] 我與數學史的點點滴滴, 好玩的數學 2019-12-27
[6] 我與《數學傳播》的十年：2009–2019, 好玩的數學 2020年1月1日
[7] 那些讓學術名流刻骨銘心的數學題, 返樸 2020年1月6日
[8] 數學問題的有償徵解, 許康華競賽優學 2020年1月13日 (經南京大學孫智偉教授推薦刊登於《中國數學會通訊》)
[9] 數學天地裡的三山五嶽, 好玩的數學 2020年1月24日(經湯濤院士推薦將投稿到《數學文化》)
[10] 論 Heaviside 算子法的合理性（與王兢合作）, 和樂數學 2020年2月14日(經主編推薦發表於《數學研究及評論》)
[11] 學好線性代數，我推薦這本書, 和樂數學 2020年2月26日
[12] 戴森傳奇, 好玩的數學 2020年2月29日
[13] 哈爾莫斯, 我的懷念，數學與人文 2020年3月6日
[14] 駁“小魚老師”的“八大數學思維”, 好玩的數學 2020年3月7日
[15] 讀《數學的天空》有感, 和樂數學 2020年3月11日
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