今天給同學們分享的是2020年四川省綿陽市中考數學模擬試卷第24題，這道題目主要考察圓的綜合運用，難度中等，適合初三的學生，對圓這部分的內容掌握比較薄弱或者想要挑戰滿分的同學可以嘗試做做一下。
【例題】
24.如圖，直徑為10的⊙O經過原點O，並且與x軸、y軸分別交於A、B兩點，線段OA、OB（OA＞OB）的長分別是方程x^2+kx+48=0的兩根．
圖1
（1）求線段OA、OB的長；
（2）已知點C在劣弧OA上，連結BC交OA於D，當OC^2=CD•CB時，求C點的座標；
（3）在⊙O上是否存在點P，使S△POD=S△ABD？若存在，求出點P的座標；若不存在，請說明理由．
【解題分析】
（1）根據根與係數的關係（韋達定理）寫出OA+OB和OA•OB的值．連接AB，根據90°的圓周角所對的弦是直徑，然後再結合勾股定理列方程求解就可以解決這個問題。
（2）如果OC^2=CD•CB，則三角形OCB相似於三角形DCO，則∠COD=∠CBO．又∠COD=∠CBA，則∠CBO=∠CBA，所以點C是弧OA的中點．連接O′C，根據垂徑定理的推論，得O′E⊥OA．再進一步根據垂徑定理和勾股定理進行計算就可以了。
（3）首先可以求出直線BC的解析式，求出D的座標，根據面積相等即就可以求出P的縱座標，根據圓的直徑就能得到相應結論。
【本題詳細解題過程】
解：（1）連接AB，
∵∠BOA＝90°，
∴AB為直徑，根與係數關係得OA+OB＝﹣k，OA×OB＝48；
根據勾股定理，得OA^2+OB^2＝100，
即（OA+OB）^2﹣2OA×OB＝100，
解得：k^2＝196，
∴k＝±14（正值捨去）．
則有方程x^2﹣14x+48＝0，
解得：x＝6或8．
又∵OA＞OB，
∴OA＝8，OB＝6；
（2）若OC^2＝CD×CB，則△OCB∽△DCO，
∴∠COD＝∠CBO，
又∵∠COD＝∠CBA，
∴∠CBO＝∠CBA，
所以點C是弧OA的中點．
連接O′C交OA於點D，根據垂徑定理的推論，得O′C⊥OA，
根據垂徑定理，得OD＝4，
根據勾股定理，得O′D＝3，
故CD＝2，即C（4，﹣2）；
（3）設直線BC的解析式是y＝kx+b，把B（0，6），C（4，﹣2）代入得：b=6,4k+b=-2
解得：．K=-2,b=6
則直線BC的解析式是：y＝﹣2x+6，
令y＝0，
解得：x＝3，
則OD＝3，AD＝8﹣3＝5，
故S△ABD＝1/2×5×6＝15．
若S△ABD＝S△OBD，P到x軸的距離是h，
則1/2×3h＝15，解得：h＝10．
而⊙O′的直徑是10，因而P不能在⊙O′上，
所以P不存在．
圖2
【總結】這道題目主要考查了圓的綜合題目，其中涉及了一元二次方程的根與係數的關係，二次函數解析式的確定、圖形的面積求法、圓周角定理、相似三角形的判定和性質等知識，這就要求我們將所學的知識進行融會貫通．
今天的分享就到這裡啦，總體來說，這道題目是很值得做而且能夠考察到同學們對之前學習的知識掌握程度如何，如韋達定理，二次函數解析式等，所以希望同學們做完好好進行總結，有所收穫，加油
圖3
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