慈小姐
這種問題遇到多次，0.99999.......是否等於一？事實上它們完全相等並且能夠嚴格證明。
這個問題看似簡單，事實上想要說清楚是非常困難的。
首先你不能光憑嘴巴說因為前者是無限循環小數，它們的差“應該”是為零的，顯然這樣說沒有任何說服力。
是否能用1/3等於0.33333.......反過來證明0.9999......等於一呢？
答案是前者無法證明後者，因為只有0.9999...等於一的前提下1/3才能等於0.3333......，雖然我們習慣上已經把0.9999......與一相等，所以才能得出1/3等於0.3333.....的結論，你用一個未經證明的前提得到的結論去證明前提是正確的，這樣顯然不行，沒有任何說服力。
說到這裡是不是它們相等只是猜想無法證明呢？當然能夠證明。
具體的證明過程我就不再敘述了，數學上的證明思路是隻要能夠證明1-0.99999...的絕對值等於零就可以了。
這該如何證明呢？顯然直接證是不能證的，因為0.999......本身是個無限循環小數，給人的感覺是“沒完沒了”，既然直接證明不了我們換種思路總可以吧，我們直接用一個與0.9999......有直接關聯的數列｛a1，a2，a3，....an...，｝，且a1=0.9，a2=0.99，即該數列可以寫成｛0.9，0.99，.......｝。
我們雖然不能證明0.999-1絕對值等於零，但我們可以用an去逼近0.99....，只要n趨近無窮，an就等於0.99....。
無窮問題避免不了，我們乾脆直接把an與一的差值的絕對值表示出來，任意找一個數A(A是一個能夠任意小的正數)，只需要當n大於某一個整數時N時，an減1絕對值都能小於A，因為A是任意取的，只想要它有多小它就能夠多小，所以當n趨近無窮時它們差值能夠等於零。
這屬於大學數學，所以很多數學基本功不紮實的人是很難理解該種證明方法。
書蟲數碼評
1和0.9的無限循環哪個大？簡單的數學題曾引發人類數學危機！
最讓人糾結的等式，擁有多彩的論證形式
“0.999…=1嗎?”很多人在小學和中學時都遇到過這個問題，並且現在國內外網站上關於這個問題的討論仍然很多，認為0.999…=1和0.999…<1的兩派都有自己的理由。
認為0.999…=1的人常給出下面三種證明方法：
證法1（最簡單的“證明”）：0.111…=1/9,0.222…=2/9，…,0.999…=9/9=1；或者0.333…=1/3，兩邊同時乘以3，得到0.999…=1。
調查中發現，不少學生看了這個證明之後都會轉而開始懷疑第一個等式的正確性。仔細想想你會發現，“1/3 等於 0.333…” 與 “1 等於 0.999…” 其實別無二致，它們同樣令人難以接受。正如很多人會認為 “0.999… 只能越來越接近 1 而並不能精確地等於 1” 一樣，“0.333… 無限接近但並不等於 1/3” 的爭議依舊存在，問題並沒有解決。
證法2（“充滿爭議的證明”）：設0.999…=x，則10x=9.999…；兩邊同時減去x，得10x-x=9.999…-0.999…；化簡，得9x=9，解得x=1；所以，0.999…=x=1。
有專家在看到這個證明後如此評價：“0.999... 既可以代表把無限個分數加起來的過程，也可以代表這個過程的結果。許多學生僅僅把 0.999... 看作一個過程，但是 1 是一個數，過程怎麼會等於一個數呢？這就是數學中的二義性。他們並沒有發現其實這個無限的過程可以理解成一個數。看了上面這個證明而相信等式成立的學生，可能還沒有真正懂得無限小數的含義，更不用說理解這個等式的意義了。”
證法3：若0.999…不等於1，假設0.999…<1，則0.999…
但認為0.999…<1的人對上述三種證明方法表示懷疑，因為這三種證明方法都是基於數學事實“無限循環小數是分數的另一種表示”，將無限循環小數0.999…看作是分數9/9（=1）的另一種表示，就像0.111…是1/9的另一種表示一樣。對整數1，我們在計算1/1時，首商0，然後添加小數點，後面就只能繼續商9，最後得到1=1/1=0.999…。這只是一種除法運算，並沒有真正證明“0.999…=1”。
也有人用無限等比數列求和的方法證實或證偽0.999…=1:
0.9=9/10，0.99=9/10+1/100,0.999=9/10+9/100+9/1000,…,
0.999…=9/10+9/100+9/1000+…+9/10ⁿ=[9/10*(1-1/10ⁿ)]/(1-1/10)=1-1/10ⁿ。
到這裡，有人利用無限等比數列求和的方法證實0.999…=1,有人證偽0.999…=1。證實0.999…=1的人認為當n趨於無窮大時，1/10ⁿ趨於0，1-1/10ⁿ趨於1，所以0.999…=1；而證偽0.999…=1的人認為，當n趨於無窮大時，1/10ⁿ趨於0，但永遠不等於0，1-1/10ⁿ趨於1，但永遠小於1，所以0.999…<1。
下面看一下圖像證明法：
在這張圖中，我們可以很清晰地看到邊長為1的正方形被不斷地對半切割開來，而它的面積為1。但是依然有人質疑這種方法，因為這種方法看起來並不完美。實際上大正方形的右上角是永遠無法被填滿的。
這個問題的背後，是不同數學體系的碰撞
上述兩種說法都看似有道理，但0.999…要麼等於1，要麼不等於1，不可能同時出現兩種結果。
這裡出現分歧的原因是對無窮小的認識不同，這也是第二次數學危機中爭論的焦點：無窮小究竟是否等於0？無窮小量是一個變量，而在用無窮等比數列求和的證明方法中，左邊0.999…是一個常量，右邊無限數列求和得到的表達式是一個變量，所以上述證明過程是無效的。
那麼如何證明“0.999…=1”呢？這就需要用到戴德金切割定理，也稱實數完備性定理：對兩個實數集A，B， A中的任意元素a小於B中的任意元素b，則A和B構成實數集R的一個切割，則或者實數集A有最大數，或者實數集B有最小數。
戴德金切割定理同樣適用於有理數。根據戴德金切割定理，可證明有理數集Q的一種分割確定唯一一個有理數，且相同的分割確定的有理數相同。可以證明0.999…和1確定的有理數集的分割相同，從而0.999…=1。
戴德金分割證明如下：
我們可以嘗試在1和0.9循環分別進行分割，分割成集合A集合B，和集合C集合D。
A等於C或B等於D，那麼別可以證明1和0.9循環相等。
在證明A是C的子集時，我們可以先討論有理數。然後再利用無理數分割後上無最小有理數。知道一定有有理數大於討論的無理數但小於0.9循環。
至此便證明了，0.9循環等於1。
物理角度的再認識
1.、無限的意義是什麼？
0.9的無限循環真的可以嗎？如果讓一個數學家去回答這個問題，答案當然就是肯定的，這沒毛病。然後把這個問題拋給一個物理學家去回答的話，物理學家會陷入沉思，並且告訴你，這需要通過實驗去驗證。
物理學家得到的結論是，在目前的理論框架下，0.9不能無限循環，因為時空是有最小單位的，那就是普朗克時間和普朗克長度。我們這裡不去討論普朗克時間和普朗克長度的來源，因為這涉及到了引力量子化和大統一理論，目前也只是一個半經典的方程。
在物理學中，由於0.9不能無限循環，因此0.9的循環和1擁有完全不同的物理意義，它們是不相等的，0.9的循環小於1。
2、有質量的物質的運動速度不能達到光速
高中物理課上，我們都接觸過狹義相對論中的洛倫茲協變公式。在質速方程式中我們可以看到，任何一個有質量的物體，如果速度被加速到接近光速，那麼它的質量將變得無窮大。我們當然是沒有那麼多的能量能辦到這種事。如果把光速看做是1的話，即使是一個電子我們也只能是把它加速到0.9的無限循環，但永遠都不可能等於1,。因為，這要消耗掉整個宇宙的能量。所以1和0.9的循環有著本質的區別。
3、0.9無限循環不能等於1關乎著宇宙是開放還是閉合
如果我們把0.9的無限循環看做是我們現在這個宇宙的曲率，那麼即使它是無限接近於1的，也意味著，我們的這個宇宙是個封閉的宇宙。當宇宙的曲率等於一時，我們就是一個平坦的開放的宇宙。這是完全不同的兩種情況。數學家不應該讓0.9的無限循環等於1。
4、概率統計中的問題
關於無限小是不是有意義的問題也引起了一大批統計學家的關注，今年年初三位統計學家聯名發在《自然》雜誌上發表了一封公開信，質疑了統計學課本中寫到的：“沒有統計顯著性則不能‘證明’零假設（關於兩組之間無差或者兩個實驗組和對照組的假設）。同時，統計顯著性也不能‘證明’其他假設。”。他們表示，這種誤解用誇大的觀點扭曲了文獻，而且導致了一些研究之間的衝突。這一質疑迅速得到了，超過800名科學家的支持。
《自然》雜誌連續刊發了超過40篇論文都是關於：“21世紀統計推斷：P＜0.05以外的世界”的學術論文。這三位科學家指出，他們並不是要禁止P值的使用，而是提議在常規的二分法的情況下不使用P值來決定一個結果是否反駁一個科學假設。其實如果讓0.9的無限循環等於1，相當於在數學上正是否定了0.1的無限次方這個無窮小量的真正意義。
這一爭議引發類似的數學界的爭議，引發第二次數學危機
經典的芝諾悖論，這也算是物理學界的一個爭議，阿基里斯與烏龜芝諾賽跑，烏龜在阿里斯基前面先跑100米，然後阿基里斯才開始跑。
當阿基里斯跑了100米的時候，烏龜多跑出去一米，阿基里斯跑了一米的時候，烏龜又多跑了一釐米，以此推論下來，阿基里斯永遠都跑不過烏龜。雖然現實中是很快就跑過去的，但是在數學裡，似乎永遠都是追不上的。《莊子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”
其實這一爭議的實質就是數學上所謂的第二次數學危機的問題。早在公元前450年，芝諾就注意到由於對無限性的理解問題而產生的矛盾，提出了關於時空的有限與無限的四個悖論。到了17世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科。當時一些數學家和其他學者，也批判過微積分的一些問題，指出其缺乏必要的邏輯基礎。
直到19世紀20年代，威爾斯特拉斯在前人工作的基礎上，消除了其中不確切的地方，給出現在通用的極限的定義，連續的定義，並把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上。19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康託等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上。然而關於無窮小量的爭議並沒有因此就結束，關於第二次數學危機，自其爆發開始直到二十一世紀，始終都存在著不同意見。
結語
正如高斯所說數只是我們心靈的產物 。但是我覺得也許這一切會因為數學的發展而改變，就像無理數實數的出現一樣。也許有一天，我們能夠公理化的形容無窮小。在那一天，我們就能更好的對待0.9循環和1的區別了。
其實本文並不是一個簡單的0.9的無限循環是否等於1這個問題的爭論，我想說明的問題是：如果我們不能給數學賦予一定的意義，那麼數學存在的意義是什麼？科學向來講究的是求真、求實，向客觀存在探討真理是科學的本質。希望有一天科學家能夠找到最終答案，在0.9的無限循環這個問題面前不再彷徨。
中學數學深度研究
這個問題有點無聊。
連極限的概念都沒弄懂，也敢吹什麼數學證明？
0.9後面再加多少個9，也不是1。只是與1的差距越來越小。當小數點後面9的個數有無窮個的時候，認為無限趨近於1，或者說差趨近於零。只是在這個意義上，兩者相等。注意是定義為相等，不證自明。
用小學生能聽懂的話來說，那就是：0.9999999999……是個小數，1是整數。
1是自然數。0.99999999……不是，只是一個無限循環小數。
自然數是從屈指可數開始的，1就是第一個能數出來的。小數是算出來的，直接或間接；分數是分割出來的。
零不是數出來的，零是減出來的。桌子上有蘋果，數了個數，拿了同等個數，生活經驗說桌子上沒有蘋果了，算術說有零個。如果想拿的超過桌上蘋果數量，就產生了負數。唐代引進阿拉伯數字的同時引進了零的概念。引進零概念才是真正的數學體系開端，同阿拉伯數字一樣，不是華夏自古以來天然就有的。
如果在特定的數學領域，涉及到具體概念，一般來說，1與0.99999999……是否相等，也並不是證明的問題，而是這門數學如何定義。比如近似計算只要求最終結果保留幾位有效數字，又允許四捨五入，那麼只要有限個，例如4個9就可以認為等於1。注意這只是表明，實際問題中人們不可能真正得到無限精確的1，只能說這個1的精度是多少。
生活中，人們常見的溫度計可以看做一根豎直放置的數軸。確定一個零點，高於的是零上，正值，反之負值。但冰凍的過程其實是漸變的，你真的不知道冬天室外的一盆水究竟什麼時刻達到零度的，只有大概時間段，因為這不是瞬間完成的。從零開始增長，到達1的過程也是這樣。不會是突變，那個臨界點就是困擾物理學家的趨近界。
大家知道，二進制中，只有1和0，0.99999……就沒法湊熱鬧了。
布爾代數中，1的定義是正極向，或者高電位，當然也可以是負邏輯，也沒0.99999……什麼事。
所以，0.9999……是否等於1，只是某個數學或工程技術領域的規定。從此出發建立一套體系。它本身不可證明，除非你一定要陷入死循環。
Jack595769000539
證明滿足0.999...
