數學排列組合

2、不相鄰問題“插空法”

不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰, 可以將其他元素排好,然後把不相鄰的元素在已排好的元素之間和兩端的空隙之間插入即可.

例2　在即將舉行的汽車展上,將有5個不同型號的三廂轎車和4個不同型號的二廂轎車在同一展臺的9個車位上展出,要求任何兩個二廂轎車不得相鄰,則有( )種不同的排法.

解析　先將5個不同的三廂轎車排好,其不同的排法有A55 三種,這5種不同的三廂轎車的空隙和兩端共有6個位置,其中再排4個不同的二廂轎車有A46 種排法,由分步計數原理可知共有:A55 ·A46 = 43200 (種).

3、特殊元素“優先安排法”

含有特殊元素的排列組合問題, 一般應優先考慮特殊元素.

例3　要安排7位工作人員在5月1日至5月7日值班,每人值一天,其中甲、乙兩人都不安排在5月1日和5月2日,不同的安排方法共有多少種?

解析　甲、乙兩人先安排在5月3, 4, 5, 6, 7號這5天,有A25 種,餘下的5人全排列有A55 種,由分步計數原理得不同的安排方法有:A25 ·A55 = 2400 (種).

4、定序問題縮倍法

在排列問題中有限制幾個元素必須保持一定順序問題,這類問題用縮小倍數求解比較簡便.

例4　今有2個紅球、3個黃球、4個白球,同色球不加以區分,將這9個球排成一排有( )種不同方法. (用數字作答)

解析　可將9個球進行全排列有A99 種排法,然後再將同色球的順序抵消掉,共有A99 ÷(A22 ·A33 ·A44 ) = 1260 (種)不同的方法.

5、總體“淘汰法

對於含有否定詞語的問題, 可以從總體中把不含有要求的除去,此時應注意既不能多減也不能少減.

例5 從5位男教師和4位女教師中選出3位教師,派到3個班擔任班主任(每班一位班主任) , 要求這三位教師男女教師中都有,則不同的選法共有( ) .

A1210種 B1420種 C1630種 D1840種

解析　此題雖然沒有否定詞語, 然而選出三名教師中男女都要有,就是說不能全是男教師, 也不能全是女教師.因此先選出3人共有C39 種,其中都是男教師有C35 種不合題意,都是女教師有C34 種也不合題意,因此共有(C39 - C35 -C34 ) ·A33 = 420 (種) . 應選B.

6、多元問題分類

元素多,取出的情況也有多種情況,可按結果要求分成互不相容的幾類情況分別計算,最後總計.

例6 (2006年高考題)設集合I = { 1, 2, 3, 4, 5} ,選擇I的兩個非空子集A 和B, 要使B 中最小的元素大於A 中最大的數,則不同選擇方法共有( ) .

A150種 B149種 C148種 D147種

解析　(1)若B = { 5} ,則A 有C14 + C24 + C34 + C44 = 24 -1 = 15 (種)選法.

(2)若B = { 4} , 則A 有C13 + C23 + C33 = 23 - 1 = 7 (種)選法.

(3)若B = { 4, 5} ,則A有C23 +C23 +C33 = 23 - 1 = 7 (種)選法.

(4)若B = { 3}或{ 3, 4}或{ 3, 5}或{ 3, 4, 5} ,則A 均有C12 +C22 = 3 (種)選法,共有3 ×4 = 12 (種) .

(5)若B = { 2}或{ 2, 3}或{ 2, 4}或{ 2, 5}或{ 2, 3, 4}或{ 2, 4, 5}或{ 2, 3, 5}或{ 2, 3, 4, 5}時, A 均有一種選法,共有8種選法.

綜上共有15 + 7 + 7 + 12 + 8 = 49 (種)選法. 應選B.

7、選排問題“選分堆後排列”

對於排列組合混合問題, 一般解法是“先分堆, 後排列”. 須注意的是:分堆時,不講究順序,應除以有相同元素堆的堆數的全排列列數. 給人時,只需在分堆的基礎上乘以人數的全排列即可.

例7 將6本不同的書分給甲、乙、丙三名同學,其中兩人各一本,另一人四本,有多少種不同的分法?

解析　先分堆,有C16 ·C15 ·C44 ÷A22 = 15 (種)分法, 再給人,故共有C16 ·C15 ·C4

4 ÷A22 ×A33 = 90 (種)不同分法.

8、至多(或至少)問題間接法

對於有附加條件(含“至多”、“不超過”)的問題, 先不考慮附加條件,計算出排列或組合數,再減去不符合要求的排列或組合,即為所求.

例8 從6名男生和4名女生中選出三名代表,要求至少包含一名女生,則不同的選法有( )種.

解析　從10人中選三名代表有C310種選法, 全部男生有C36 種選法, 故至少包含一名女生有C310 - C36 = 10 (種)選法.

以上介紹的排列組合應用題的幾種解題技巧不是彼此孤立的,解決某一問題可用上述不同技巧的多種技巧處理,或綜合應用幾種求解技巧. 解決排列組合問題通常是:

( 1)先組合,後排列;

( 2)先分類, 再分步;

(3)先特殊(特殊元素、特殊位置) ,再一般,以簡捷為原則.

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關鍵字: 數學 選法 化學

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