兩類閉折線的構圖方法
內容摘要:本文給出了構造自交數為k的平面閉折線Zn的兩種簡潔的變換法,從而徹底解決了如何構造自交數為k的平面閉折線Zn的問題[2].
關鍵詞: 平面閉折線,自交數,構圖法.
楊之先生曾提出問題[2]:是否對任何的k:0＜k＜θ0 (n),都存在自交數為k的n邊閉折線Zn ?
姚勇[4]證明了：若n≥5且為奇數,則必不存在自交數為θ0(n)-1的n邊閉折線Zn, 之後梁卷明[6]先生又給出了這個命題的簡潔證明.2003年6月，梁卷明[7]又證明了: 若n≥5且為奇數時,必存在自交數為k∈（0，θ0 (n)-1）的Zn；若n≥4且為偶數,則必存在自交數為k∈(0, θ0 (n))的Zn.
本文給出構造自交數為k [0＜k＜θ0 (n)]的平面閉折線Zn的兩種簡潔的變換法如下.
一.奇邊閉折線的構圖法
由文[7]知可先令θ0 (m-2)-1≤k≤θ0 (m)-2 ① 並求出奇數m的值：解不等式①即知奇數m（顯然5≤m≤n）為區間[，]中的唯一確定的奇數，又由①知可把k的值寫成k=θ0 (m)-4i-j②的形式（j=0,1,2,3）,且當j=0,1時：1≤i≤(m-3)/2, 當j=2時：0≤i≤(m-3)/2, 當j=3時：0≤i≤(m-5)/2, 又由②可得求i,j的公式：i=Int[(θ0 (m)-k)/4],j=θ0 (m)-k-4i, 再畫一個圓並將之n等分,然後從某一個等分點起，順次將各點分別記為點A1,A3,A5,…,Am-2;An,An-1,…,Am+1,Am;A2,A4,A6,…,Am-1.又順次連接點A1,A2,A3,…,Am,Am+1, …，An-1, An, A1, 即可得自交數為θ0 (m)的Zn=A1A2…An.的構圖(如圖1)（若m=n,則將圖中下標大於n的點去掉即可.），最後再按如下方法對圖1作變換即可得自交數為k的Zn=A1A2…An.
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