一、什麼是將軍飲馬？
【問題引入】
“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》裡的一句詩。而由此卻引申出一系列非常有趣的數學問題，通常稱為“將軍飲馬”。
【問題描述】
如圖，將軍在圖中點A處，現在他要帶馬去河邊喝水，之後返回軍營，問：將軍怎麼走能使得路程最短？
【問題簡化】
數學拔尖特訓營製作
如圖，在直線上找一點P使得PA+PB最小？
【問題分析】
這個問題的難點在於PA+PB是一段折線段，通過觀察圖形很難得出結果，關於最小值，我們知道“兩點之間，線段最短”、“點到直線的連線中，垂線段最短”等，所以此處，需轉化問題，將折線段變為直線段．
【問題解決】
作點A關於直線的對稱點A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
當A’、P、B三點共線的時候，PA’+PB=A’B，此時為最小值（兩點之間線段最短）
【思路概述】
作端點（點A或點B）關於折點（上圖P點）所在直線的對稱，化折線段為直線段．
二、將軍飲馬模型系列
【一定兩動之點點】
在OA、OB上分別取點M、N，使得△PMN周長最小．
此處M、N均為折點，分別作點P關於OA（折點M所在直線）、OB（折點N所在直線）的對稱點，化折線段PM+MN+NP為P’M+MN+NP’’，當P’、M、N、P’’共線時，△PMN周長最小．
【例題】如圖，點P是∠AOB內任意一點，∠AOB=30°，OP=8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，則△PMN周長的最小值為___________．
【分析】△PMN周長即PM+PN+MN的最小值，此處M、N均為折點，分別作點P關於OB、OA對稱點P’、P’’，化PM+PN+MN為P’N+MN+P’’M．
當P’、N、M、P’’共線時，得△PMN周長的最小值，即線段P’P’’長，連接OP’、OP’’，可得△OP’P’’為等邊三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．
pap
【兩定兩動之點點】
在OA、OB上分別取點M、N使得四邊形PMNQ的周長最小。
考慮PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點P、Q關於OA、OB對稱，化折線段PM+MN+NQ為P’M+MN+NQ’，當P’、M、N、Q’共線時，四邊形PMNQ的周長最小。
【一定兩動之點線】
在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。
此處M點為折點，作點P關於OA對稱的點P’，將折線段PM+MN轉化為P’M+MN，即過點P’作OB垂線分別交OA、OB於點M、N，得PM+MN最小值（點到直線的連線中，垂線段最短）
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