即便關在果殼之中，仍是無限空間之王。——莎士比亞

波函數的概率詮釋認為物質波散佈於全空間，粒子在任意位置被找到的概率相同，這在一定程度上為不確定性原理、量子隧穿以及量子糾纏埋下了伏筆。

量子隧穿與經典碰撞

量子隧穿是指微觀粒子可以穿越大於自身總能量的勢壘的量子行為，而這在經典力學中是不允許的，因為在沒有外力的作用下，一個小球不可能跳出盒子。

為什麼微觀世界的“小球”不能放在盒子裡？可以這樣理解：粒子波函數分佈在整個空間，意味著粒子同時存在於多個盒子之中，假如要將波函數限制在一個盒子（勢壘）裡，就相當於把波函數

太陽核聚變：原子核之間的勢壘能量大約是原子核熱動能的1000倍，量子隧穿使得原子核穿越勢壘，促成核聚變

盒子外的波函數

波函數的運動變化由薛定諤方程描述，所以量子隧穿其實是求解薛定諤方程（上一篇內容）的數學結果。

文章導圖

宏觀世界的盒子相當於量子世界的勢壘，當波函數處於盒子邊界時，可得不含時薛定諤方程：

-(ℏ²/2m) ∂²ψ/∂x²+Vψ=Eψ

移項化簡得：

(ℏ²/2m) ∂²ψ/∂x²=(V-E)ψ

已知盒子邊界的勢能V，則方程的通解為：

ψ(x)=Ae^kx + Be^-kx，其中A、B是任意常數，k=√(2m/ℏ²)(V-E)。

利用量子隧穿效應測定的硅表面結構

波函數的解包含了兩項，Ae^kx 是指數遞增，Be^-kx是指數遞減，實際意義中粒子在盒子外的概率不可能大於在盒子裡的概率，所以函數的解不可能向無限大變化，故捨去Ae^kx 項。最後方程的解為：

ψ(x)= Be^-kx

邊界解基本上意味著粒子不會逃出盒子，但概率不為0，而是指數遞減的。當勢壘V=∞時，遞減極快，但當V等於有限值時，遞減程度可以比較緩慢，則粒子穿過邊界的可能性較大。因此量子理論中的粒子可以允許走進被

粒子波函數在穿越勢壘前後能量保持不變，概率幅則降低

盒子裡的波函數

當波函數在盒子裡時，勢能V=0，此時方程的解為：

ψ(x)= Bsin(nπx/L)

這是熟悉的

束縛於勢壘中的八個不同能級的能量本徵波函數(n=0~7)

綜上所述，量子隧穿效應雖然不符合人們的日常經驗，但是完全符合量子力學的理論框架，它給予粒子無限可能，同時也帶給人類某種希望。

上一篇三分鐘讀懂量子力學：認識薛定諤方程，下一篇三分鐘讀懂量子力學：什麼是線性算符。

閱讀更多 物理哲學 的文章

關鍵字: 數學 量子 概率