03.03 既然1+1＝2不能被證明，那為什麼我們可以使用它？

幻紫狐狸

這個提問莫名其妙嘛。感覺是高中生突然知道了哥德巴赫猜想，覺得是世界難題，想出來秀一把，卻連常識都搞錯了。

首先要說，自然數的1+1=2是可以被證明的。起源是當愛因斯坦提出相對論時，對物理學的基礎造成了很大影響。在數學上大家也想搞出堅固的基礎。於是提出了皮亞諾公理。這個公理可以解釋為啥1+1=2而不是1+1=3。

至於哥德巴赫猜想，目前最接近的答案是陳景潤老師做出的1+2。這裡可沒有=3。數學描述是任何一個大於6的偶數都可以寫作一個質數加兩個質數的乘機。即a=b+c*d。其中a是偶數，b，c，d都是質數。目前最接近證明完全的是使用哥德爾不完備定律，也就是提出皮亞諾公理那位的學生。但是由於不能證明質數符合其雞翅條件，所以不能用來解決這個猜想。

目前來說，我們使用超算，已經可以把128位以內的質數找出來了，而在這個範圍內，還沒有發現不符合哥德巴赫猜想的例子。我們一般使用的數，沒有超過這個範疇的，也就是說我們在這個範圍內當做這個猜想是真的。

無所事事161773009

【修改版 1.1】

我想提問者肯定是被簡化的科普給搞糊塗了。在大眾科普傳媒中，所提到的1+1問題的，涉及到素數（又稱質數，指對大於1的自然數，除了1和它本身以外不再有其他因數，這樣的數稱為質數，2是唯一的偶數質數。）和偶數的關係。事情的起因是這樣的，話說1742年，數學愛好者哥德巴赫，有一天突發奇想任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。讓我們簡單驗證一下 4 = 2+2；6=3+3；8=3+5........ ，在有限的範圍內，可以發現這個猜想找不到反例，但由於偶數有無限多個，因此無法一一舉證，而需要更加簡潔的數學證明。

圖示：2~20以內的所有數。注意通過將素數自加，或者將兩個素數相加，我們就可以得到從2~20的每一個數，而這個規律只要你願意，你就可以在有限的數字內一直寫下去，但是不完全歸納法只能給出提示，不能給出嚴謹的證明。但讓人煩惱的是，又沒有辦法尋找到一個反例。因此這道乍看起來特別簡單，甚至感覺簡直就應該是理當如此的一個數學猜想，由於證明它是如此之難，因此成為數學上的經典難題，被譽為——數學皇冠上的明珠。同時因為這道題看起來簡單，所以也坑了許多人，無論是數學家還是業餘愛好者，為了這道題費勁心思，卻一無所獲，筆者告誡讀者，不要嘗試去證明它，尤其不要嘗試用小學和初中的數學知識去證明它。

因此，哥德巴赫給大數學家寫了一封信，請求他想辦法證明自己這個猜想。結果這個看似簡單的問題，難住了大數學家歐拉，這是一道看起來相當理所當然的問題，但要嚴謹的證明它卻出乎意料的困難。

以此相對比的是另一道同樣大名鼎鼎的素數問題：存在最大的素數嗎？自從發現了素數之後，很快就有人問出了這道題。因為，通過使用不完全歸納法，人們觀察到一個現象，隨著數字的增大，素數的個數迅速減少，那麼這種減少的趨勢如果一直延續下去，那是否意味著，存在一個最大的素數？所有比它大的數都必然能分解為兩個整數的乘積？

圖示：日本素數研究者繪製的素數密度圖，隨著數字增大，素數彼此之間的間隔也越來越大，意味著素數越來越稀疏。

對於數學證明不太熟悉的人來說，大概會覺得這道題簡直無法證明，畢竟自然數的序列是無窮無盡的，我們如何知道是否存在一個最大的素數呢，而且即便它真的是最大的，那我們又怎麼可能證明這一點呢？但早在兩千多年前，幾何學之父，歐幾里得利用反證法巧妙的證明了不存在最大的素數，並將其記載到他的經典著作《幾何原本》之中，被後人稱為歐幾里得定理。這裡就不贅述證明的過程了，有興趣的讀者可以嘗試自己證明一下，小提示利用階乘和餘數。總之，這件事也告訴我們，不完全歸納法只能作為提示，而提示可能具有誤導性質。因此，雖然素數的個數在迅速下降，但它不會下降到零，因此也就不存在最大的素數。

“哥德巴赫猜想”因其簡明和符合直覺，但卻難於證明，讓它在素數研究領域中一舉成名，它表述的簡單性、易於理解的特性以及其知名度，就是一個充滿誘惑力的陷阱，吸引著許多數學愛好者和年輕的數學家們嘗試通過攻克這道難題來揚名立萬。但所有這些嘗試都失敗了，數學家們開始退而求其次，如果不能證明任意充分大的偶數都可寫成兩個質數之和，那我們可以先證明它可以被寫成，比如不多於5000個素數之和？

思路一旦變換，漸近的成果也就隨之出爐，後世的數學家按此思路一路縮小所需要的素數個數，直到中國的年輕數學家陳景潤，他在1966年發表的《大偶數表為一個素數及一個不超過兩個素數的乘積之和》（簡稱“1+2”，這個2是指兩個素數相乘），這成為哥德巴赫猜想研究上的里程碑，他所發表的成果也被稱之為“陳氏定理”。後來有人將陳景潤的事蹟寫成一個長篇報告文學《皇冠上的明珠》。

由於這本書的出版，讓許多國人知道，還有這麼一道很好理解的超級數學難題的存在。這激發了數學愛好者的好奇和雄心，但這其中多數人甚至看不懂陳景潤的證明，而是直接動用四則運算大法，去嘗試證明哥德巴赫猜想，一些人甚至相信自己使用小學數學就完美的證明了這道“世紀難題”，只是受到官方數學界的壓制，因此無法得到承認。但如果能用初等數學解決這道難題，那大數學家歐拉，以及數百年來的數學家們都是傻子麼？不過，人一旦偏執就無法接受對自己成果的否定，而數學偏偏是一門邏輯異常嚴謹的學問，任何一步的紕漏都是不能通過嘴炮狡辯過去的，需要無可辯駁的邏輯和相關定理的支持，不能想當然。

當然，雖然證明哥德巴赫猜想很困難，但要否證它卻相對簡單，只要找到一個反例就行。找到一個具體的偶數，發現它不能被拆解為兩個素數之和就行，當計算機登上舞臺之後，一些數學家嘗試用計算機來暴力搜索，但在可接受的時間內，計算機也並未找到反例。當然，沒找到反例，不能作為證明。如今就差這最後一步了，但陳景潤開闢的道路，大概只能走到1+2，要想徹底解決這道難題，看來需要更有創新性的想法，甚至需要一個新的數學分支。數學史上的超級難題，常常是數學思維創新的源泉，已有的知識解決不了，就意味著需要新的知識。

如果，提問者問的就是字面上的問題，1+1=2。那這和數學證明無關，而是屬於公理系統，是數學運算的基本架構。對完全形式化邏輯感興趣的人可以參考皮亞諾自然數算術公理，它定義了數學運算。

圖示：用皮亞諾算術公理系統定義的加法。證明1+1=2

裸猿的故事

首先這裡的1+1=2根本不是什麼哥德巴赫猜想!哥德巴赫猜想簡稱是1+1問題,沒有等號，更沒有二！至於為什麼這麼簡稱，有人問再說了。

那麼1+1=2需要證明麼，又是否可以被證明？

我們熟悉的1、2、3等等等，有個名字叫做自然數，也就是自然而然的數，人類學會用火那時候就應該會數數了。早期人類主要食物來源採集和狩獵，統計勞動成果就得計數：一個梨、一個梨子、又一個梨；一隻豬、一隻豬、又一隻豬……

隨著生產力的發展，東西越來越多，用石頭計數就是下面這個效果了：

於是聰明人想出來這樣一個辦法。

可是還是不夠方便，於是人們又發明了數字，並且發明了用數字位置不同表述不同數值。

這樣人類就可以僅僅用一串符號表達東西的數量了！

說了這麼多，其實這中間有個Great Bug！“最後的魁拔”到底還拍不拍了，我還等著看海問香和遠浪呢。怎麼就扯到動畫片了呢？趕緊扯回來！這個大的Bug是什麼呢，就是沒相同的梨，如果梨都一樣，那孔融讓梨就很尷尬了！

實際生活中，東西不一樣還好解決，不就是鴨梨麼，這次你吃小的，下次讓你吃大的！實在分贓不均就打一次世界大戰唄，還不行就再打一次。但數學是很精確的東西，都不一樣可不行，還讓不讓人數數了？！於是人們給出了一個數學最基本的假設，也就是有很多個完全一樣的“1”。

數學分支很多，每一個分支都有基本假設（公理）和定義作為基礎，剩下的一些定理公式都有這些假設和定義推導出來。初中學幾何，不是有點、線、面等等的定義和一些公理（也就是假設）麼，剩下的都叫定理，定理就需要證明了。

前面說了，自然數就是自然而然的數字，我們人類原始狀態就會掰著手指頭數數，為啥還要公理和定義呢，這就是牽扯到數學的邏輯嚴謹，要區分自然數與其它數必須有這些公理和定義。

公理（公設）的總結或者提出是很難的。愛因斯坦的構建的相對論，就是一種基本假設，你可以根據它推導出很多東西，已故著名物理學家霍金就是根據相對論推導出了黑洞等猜想而賺了不少錢。自然數人類用了數萬年，提出的公理不能違背這些應用又要和其它數嚴格的區分，實在不容易，因此自然數公理的提出比相對論早不了多少。

1891年意大利數學家、語言學家皮亞諾創建了《數學雜誌》，1899年他在這本雜誌上闡述了自然數公理。闡述完這事兒沒兩年皮亞諾就去研究語言了，也頗有成就，是世界語的奠基人，這就是所謂開了掛的人生吧。自然數公理也就是為皮亞諾公設，一共五條，自然語言化的方法敘述如下。

①0是自然數；

②每一個自然數x，都有一個後繼數x'，x'也是自然數

③0不是任何自然數的後繼數；

④如果y、z都是自然數x的後繼數，那麼y = z；

⑤任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數1是對的，又假定它對自然數n也是對的，可以證明它對n' 同樣是對的。最後一條很奇妙，它規定了自然數的間隔。不多敘述，有興趣的可以自己研究一下。

自然數的數軸，一個等步長方向確定無限延伸的數軸。

終於有了自然數了，嚴謹的自然數。那麼再看看自然數的加法是如何定義的。

自然數加法的定義也是嚴格遵守了皮亞諾公設的。我們看上面的公理和定義，並沒有寫“1+1=2”，既然不是公理，也不是定義，那就自然需要證明了！怎麼證明呢？

1+1=2這個算式用語言表述就是兩個0的後繼數相加等於0的後繼數的後繼數。證明如下：

0'+0'=（0'+0）'=（0+0）'' =0''

或者1+1 = 1+0' =（1+0）' = 1' = 2

根據1+1=2的證明，我們可以證明0m+0n=0m+n（m和n代表0的第多少位後繼數，而不是多少次方），也就是我們的常用自然數加法對所有自然數都是成立的，我們可以使用它！

綜上：1+1=2是可以被證明的，只是它被證明比它被應用晚了很久很久。

知識與見聞

首先，1+1=2是能被證明的。（具體可以參閱https://www.guokr.com/article/6556/）

因為它自身就是一個符合在某一公理條件下的運算。之所以我們能使用它，是因為我們都接受了幾個最基本的公理。換句話講，也就是我們都默認了某一個“框架”，在這個“框架”下，我們可以自然的使用“框架”下約定俗成的各種符號來解決日常問題。而再深一步講，我們之所以“默認”使用這個“框架”，是因為它“最貼近我們所認知的這個世界”。

然而，是否又存在其他“框架”呢？

答案是可能，未知。

為什麼這麼說？因為我們真正對這個世界的認知到底有多少，我們並不清楚。最好的例子就是經典力學中歐氏幾何得心應手，但到了相對論中愛因斯坦就發現歐氏幾何不足以來解釋，直到他了解到了非歐幾何。而非歐幾何也正正是修改了傳統人們所認知的歐氏幾何最基礎公理而衍生出來的。

因此，在未知的領域，是否存在某些問題使到我們所認知的基本代數公理“都不足以解釋”，而最終發展出另一套公理體系從而使到1+1=2是“不可用甚至是錯的”？這個沒人能夠回答，因為人類探索的地方還很小很小。最類似的例子莫過於日本數學家望月新一在證明ABC猜想時，顛覆了數學最底層最基本的地方——他把同時附著於“數字”之上的加法結構和乘法結構拆開，變形，然後“復原”（http://songshuhui.net/archives/101102）。暫時而言，世界上沒有人能理解他的論文，因其太過於“顛覆”，以至於動搖到我們“所認知”的代數根本。現在，世界著名數學家們正對他的論文進行審核且成功的希望很大，萬一他成功了，那對已知的數學帶來的衝擊就是“顛覆性”的。

借用松鼠會文章中的一個節選來說明望月新一論文的顛覆性

因此，不要認為我們“平常都那樣用的”就放之四海都是正確的。我們“標記”、“使用”的等式，只是“在特定框架”“承認構築該框架的基礎公理”的條件下才能成立。

至於問答上，也有人問類似的“為什麼需要證明1+1=2”“為什麼能用”一類的問題。其實，作為一般的人，日常生活按照默認的來就足夠了。再往下挖，所涉及的問題就不會單單的1+1=2這麼簡單了。當然，那些網絡嘴炮一看到1+1就哥什麼巴什麼猜想的就不吐槽了，而大聲嚷嚷說不需要證明的，是否也太過於片面？數學並不是直覺科學，是需要一個個嚴謹的邏輯才能推衍且是在一定框架條件下才能成立的科學。

最後借用開篇提到果殼那文章中的一句話：

Caspar7329

這是因為數學界所說的"1+1“，不是小學算術中的1+1。將這兩者混淆，一般是一些簡化的科普讀物採取的混亂描述方式所致。

數學界的”1+1“問題實際上是哥德巴赫猜想的主要部分。哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）是數論中存在最久的未解問題之一。這個猜想最早出現在1742年克里斯蒂安·哥德巴赫與數學家萊昂哈德·歐拉的通信中。

歐拉表述的版本“強哥德巴赫猜想”或“關於偶數的哥德巴赫猜想”：

任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。

這個猜想的進一步表述版本：

任一大於2的偶數都可寫成兩個數之和，一個數的質因數個數不超過一個，另一個數的質因數個數不超過一個。

但是直接證明這樣的猜想至今還是一個難題，所以對此有了很多的簡化版本：

一個“足夠大”的偶數可以寫成兩個數之和，一個數的質因數個數不超過a個，另一個數的質因數個數不超過b個。

這一說法就簡稱為“a+b”。很容易理解這和算術上的a+b不是一回事。

當年陳景潤證明的是這一說法的一部分，也就是“1+2”。

寫成數學語言的話，就是：

一個“足夠大”的偶數可以寫成兩個數之和，一個數的質因數個數不超過一個，另一個數的質因數個數不超過二個。

可以看到這個描述的版本離歐拉的強哥德巴赫猜想只有一步之遙，但是這一步也是至今為止最為困難的，50年來數學界並沒有發展出足以跨出這一步的方法。

Ps.有人可能注意到在命題的前面還有一處差別，就是“足夠大”和“大於2”的偶數，嚴格來說這兩個是不一樣的定義。但是在電子計算機發展的今天，只要能夠在證明“足夠大”的同時給出“足夠大”的下限，並對下限以內的所有偶數進行窮舉逐個驗證，就可以直接完成證明。所以一般認為這個差別不是實質上的差異。

海邊椰子

有趣的問題，忍不住來回來。

人們為了更好的認識世界創造了很多東西。

第一是方便記錄。

在沒有1+1等於2的時候，人是通過一筆一筆的記錄，比如在牆上花上111111，證明有6個，但這樣很麻煩，於是就有了代表數量的文字。

第二是方便傳授

如果沒有一個把虛的東西——一種想法方法。變成實際的文字記錄，那麼傳授給後代，或是簡單的交流都會很複雜。並且當一個團體如果不用一套準則的話也會很麻煩。

還是用1+1＝2為例。如果一個人規定1+1＝2，另一個人規定1+1＝3（這裡的3在那個人的理念裡可能是兩個的意思。）這樣兩套不同的準則交織在一起就很麻煩。

1+1＝2不能被證明，就是因為他是人們創造的東西。創造物是無法證明的。就像你畫了一個圖案，你說他代表雞，很多人傳承了你的想法。那這個圖案在現在就代表雞，能證明嗎？不能。

最後回到問題上，為什麼我們可以使用它。

首先需要說明不是說錯誤的就不能使用。

更何況無法證明只是他的特徵罷了，他的使用性無關。比如 地上有一個石頭，我發現用他可以畫畫，但我無法證明這塊石頭＝筆。可是他能畫畫，並且我畫了上萬年都沒出任何問題。那麼他就可以使用。

實踐出真知嘛。

當然 當我們發現1+1＝2已經不適用時，我們就會用其他的算法啦。

以古扒今

這是算術的基本約定的體現，基於對我們的下類經驗的總結：一個蘋果加上另一個蘋果等於兩個蘋果。也就是說，一個個體加上另一個同類個體，在一般的經驗上是兩個同類個體。這類常見的現象，我們用基本的算術法則來對應之。

這其實一開始只是一種人為約定而已，無非設定了規則，就像棋類規則也是人為發明的一樣。算術的基本邏輯後來被數學家皮亞諾歸納為“皮亞諾公理”。

這種約定，其實也沒啥特殊與神秘。就好像給人取姓名，中國人可以有中國人自己的命名系統，西方人可以有西方人自己的命名系統，兩者之間有共同有不同。而這其中的共性意味著普適性。

對這樣的約定需要證明嗎？不需要，使用就是。用得好，能夠以此為前提，推理出現實，進而發現其他自然規律的那些假設自然能夠存在，獲得公理地位；用得不好，逐漸被人發現所推之間有矛盾，也即不能邏輯自洽，產生無法解決的悖論，那就自然會被廢棄或加以改進。

1+1=2所遵循的基本算術規則，迄今為止並沒有遭遇不可解釋的悖論，因此作為公理性的約定從古存在至今，並得到了越來越深入的解釋。

它需要去證明嗎？不需要。去邏輯證明反而是一種邏輯錯誤。因為這是約定的基本前提，不屬於被推理的範疇。我們不應當用前提去推理前提本身，這是邏輯錯誤。

人有不經證明而約定或假設任何東西的自由，至於其是否適應於現實，是否指向了真理，關鍵是看其是否能在實踐中真正幫助人類從已知拓展到未知。有實際幫助的，就說明這種人為約定合乎於自然真理與法則；沒有幫助的，甚至反而還帶來麻煩的，則說明這種人為約定是無益的乃至是有害的與謬誤的。

這其中的發展其實也存在著一種類似進化論的“用進廢退”的基本過程。

建章君

如果你問一個數學家，為什麼可以使用不能被證明的1+1＝2？

數學家會一本正經的告訴你，所謂的"1+1“，不是小學算術中的1+1。數學界的”1+1“問題實際上是哥德巴赫猜想的主要部分。

哥德巴赫猜想？對，就是我國著名數學家陳景潤長期鑽研並很有建樹的那個。

1742年，哥德巴赫給歐拉的信中提出了以下猜想：任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和，這就是哥德巴赫猜想。

“哥德巴赫猜想”因其簡明，讓你感覺就應該是這樣，但又無法直接證明。這使得它在素數研究領域名聲大噪。當年，哥德巴赫自己無法證明它，於是就寫信請教世界聞名的大數學家歐拉幫忙證明，但歐拉也沒有成功。

於是，數學家們想到了一個變通的方法：既然不能證明任意充分大的偶數都可寫成兩個質數之和，那麼我們可否先證明它可以被寫成某種形式，比如不多於5000個素數之和？

沿著這個思路一直髮展，到陳景潤的時候，就發表了《大偶數表為一個素數及一個不超過兩個素數的乘積之和》（簡稱“1+2”，這個2是指兩個素數相乘，即一個“足夠大”的偶數可以寫成兩個數之和，一個數的質因數個數不超過一個，另一個數的質因數個數不超過二個）。

但陳景潤開闢的道路，大概只能走到1+2，要想徹底解決這道難題（1+1），需要更多的創新，甚至開創一個新的數學分支。這就像是人類可以鑽木取火，但要更好地使用火，需要新的技術和設備，比如打火機、蠟燭等等。

綜上所述，無論這個特定意義1+1能否等於2，都不影響你使用自然數加法。這也是我們做算術，買菜或者逛街買衣服的時候，不用考慮1+1究竟是否等於2的原因。

鎂客網

誰說1+1=2的？在計算機語言中1+1=10啊……

所以1+1=2，這不是什麼命題，而是約定，在10進制條件下，或者在任何大於2進制的條件下，1+1=2就是個算數的約定，不需要證明，只需要定義數字是怎麼數的，以及加法的定義是什麼就行了。加入我們換到另一個時空，在那個時空裡的人，對加法的定義等同於我們對乘法的定義，那麼就會出現1+1=1的結果了。同樣，計算機雖然和我們同處一個時空，可他們不像我們有十個手指頭可以掰來掰去，而是隻有電流通過與否這兩個狀態，只能用二進制進行運算，於是我們就看到了1+1=10，當然這裡的10，換到三進制、四進制……等等條件下，還是2，也就是算法本身並沒有變。

試圖證明1+1=2，就和證明“我是一個人”一樣戲謔。不妨想想，我們要想證明自己一個“人”，會有多困難？我們很難去證明一個被稱為“定義”的概念。

需要證明1+1，不是1+1=2，而是哥德巴赫猜想中的1+1。

著名的數學家哥德巴赫想到一個問題，說任何一個大於2的偶數都可以寫成兩個素數之和，比如4=2+2，14=7+7，24=11+13，34=17+17，44=13+31……

這個想法很有趣，也非常簡單，以至於不少人都默認這是個定理了。

但問題是，素數的數量是無窮多的，偶數的數量也是無窮多，那麼在如此海量的數字中，只要有一個偶數不滿足這個特徵，這個“定理”就會崩塌。

於是在哥德巴赫猜想提出之後，很多數學家都將畢生的精力投入到解題之中，但都是無功而返，哥德巴赫猜想也由此被稱為數學王冠上的明珠。

儘管任意大於2的偶數可以寫成1個素數加1個素數這樣的1+1沒有被證明出來，但數學家們還是想到了一些簡化的思路，不能證明是1個素數加1個素數，那我們先證明這個偶數可以寫成N=A+B，其中A和B分別是這個數字的素因子。我們知道素數只有一個素因子，所以如果滿足哥德巴赫猜想，自然就是1+1被證明了，如果A和B不是1，比如A=2，那麼這個數就是素因子不超過2的一個數。

過程咱就不摳了，有興趣的人很容易就看得明白，總之，雖然不能證明1+1，但我們先證明出個1+2，也算離目標很近了。但實際上，1+2也不那麼好證明，於是這個事最終就先從比較大的A和B入手，比如9+9最先被證明了。

中國數學家在哥德巴赫猜想中介入的時間比較晚，但成就卻不小，王元就多次推近了與1+1的距離，更重要的是，1966年，陳景潤證明出了1+2，距離1+1只剩一步之遙。

時至今日，試圖證明哥德巴赫猜想的人還很多，或許有一天這個明珠就會被摘下。

最後再說明一句，這裡的1+1和1+1=2沒有啥關係，所以我們該怎麼計算還怎麼計算。

分子美食家

1+1的問題難以被證明，因為這個問題深入到了一個人類還未投入太多精力去思考的領域，這個領域也許可以支撐我們現有的數學規則。

只要有點數學知識的人肯定還隱約記得一大堆公理、定理等，並且一定記得定理是需要公理和一定的條件來證明的。而公理則不需要證明。大多數公理都源於現實中最簡單的一些事實，比如“兩點間有且有一條直線” ，但如果有人非要問：怎麼證明兩點間有且有一條直線？你會發現這真的無從解釋，最終你會敷衍提問者說：這是條公理，不需要被證明！

找不到解釋是因為還沒有人發現一套比公理還要更加底層更簡單的理論體系。公理無法被證明，但我們並不能因此而否定它們的價值，公理依然支撐著理論體系。

說到這我們說回1+1的問題。對於數學運算來說，它是為建立數學體系而定義的最基本的規則之一，已經無法再向下分解。這其實就是我們使用它的理由：它最初是人類為了運算而定義的一個基本規則。

關鍵字: 證明 哥德巴赫猜想 數學