03.03 既然1+1＝2不能被证明，那为什么我们可以使用它？

幻紫狐狸

这个提问莫名其妙嘛。感觉是高中生突然知道了哥德巴赫猜想，觉得是世界难题，想出来秀一把，却连常识都搞错了。

首先要说，自然数的1+1=2是可以被证明的。起源是当爱因斯坦提出相对论时，对物理学的基础造成了很大影响。在数学上大家也想搞出坚固的基础。于是提出了皮亚诺公理。这个公理可以解释为啥1+1=2而不是1+1=3。

至于哥德巴赫猜想，目前最接近的答案是陈景润老师做出的1+2。这里可没有=3。数学描述是任何一个大于6的偶数都可以写作一个质数加两个质数的乘机。即a=b+c*d。其中a是偶数，b，c，d都是质数。目前最接近证明完全的是使用哥德尔不完备定律，也就是提出皮亚诺公理那位的学生。但是由于不能证明质数符合其鸡翅条件，所以不能用来解决这个猜想。

目前来说，我们使用超算，已经可以把128位以内的质数找出来了，而在这个范围内，还没有发现不符合哥德巴赫猜想的例子。我们一般使用的数，没有超过这个范畴的，也就是说我们在这个范围内当做这个猜想是真的。

无所事事161773009

【修改版 1.1】

我想提问者肯定是被简化的科普给搞糊涂了。在大众科普传媒中，所提到的1+1问题的，涉及到素数（又称质数，指对大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数称为质数，2是唯一的偶数质数。）和偶数的关系。事情的起因是这样的，话说1742年，数学爱好者哥德巴赫，有一天突发奇想任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。让我们简单验证一下 4 = 2+2；6=3+3；8=3+5........ ，在有限的范围内，可以发现这个猜想找不到反例，但由于偶数有无限多个，因此无法一一举证，而需要更加简洁的数学证明。

图示：2~20以内的所有数。注意通过将素数自加，或者将两个素数相加，我们就可以得到从2~20的每一个数，而这个规律只要你愿意，你就可以在有限的数字内一直写下去，但是不完全归纳法只能给出提示，不能给出严谨的证明。但让人烦恼的是，又没有办法寻找到一个反例。因此这道乍看起来特别简单，甚至感觉简直就应该是理当如此的一个数学猜想，由于证明它是如此之难，因此成为数学上的经典难题，被誉为——数学皇冠上的明珠。同时因为这道题看起来简单，所以也坑了许多人，无论是数学家还是业余爱好者，为了这道题费劲心思，却一无所获，笔者告诫读者，不要尝试去证明它，尤其不要尝试用小学和初中的数学知识去证明它。

因此，哥德巴赫给大数学家写了一封信，请求他想办法证明自己这个猜想。结果这个看似简单的问题，难住了大数学家欧拉，这是一道看起来相当理所当然的问题，但要严谨的证明它却出乎意料的困难。

以此相对比的是另一道同样大名鼎鼎的素数问题：存在最大的素数吗？自从发现了素数之后，很快就有人问出了这道题。因为，通过使用不完全归纳法，人们观察到一个现象，随着数字的增大，素数的个数迅速减少，那么这种减少的趋势如果一直延续下去，那是否意味着，存在一个最大的素数？所有比它大的数都必然能分解为两个整数的乘积？

图示：日本素数研究者绘制的素数密度图，随着数字增大，素数彼此之间的间隔也越来越大，意味着素数越来越稀疏。

对于数学证明不太熟悉的人来说，大概会觉得这道题简直无法证明，毕竟自然数的序列是无穷无尽的，我们如何知道是否存在一个最大的素数呢，而且即便它真的是最大的，那我们又怎么可能证明这一点呢？但早在两千多年前，几何学之父，欧几里得利用反证法巧妙的证明了不存在最大的素数，并将其记载到他的经典著作《几何原本》之中，被后人称为欧几里得定理。这里就不赘述证明的过程了，有兴趣的读者可以尝试自己证明一下，小提示利用阶乘和余数。总之，这件事也告诉我们，不完全归纳法只能作为提示，而提示可能具有误导性质。因此，虽然素数的个数在迅速下降，但它不会下降到零，因此也就不存在最大的素数。

“哥德巴赫猜想”因其简明和符合直觉，但却难于证明，让它在素数研究领域中一举成名，它表述的简单性、易于理解的特性以及其知名度，就是一个充满诱惑力的陷阱，吸引着许多数学爱好者和年轻的数学家们尝试通过攻克这道难题来扬名立万。但所有这些尝试都失败了，数学家们开始退而求其次，如果不能证明任意充分大的偶数都可写成两个质数之和，那我们可以先证明它可以被写成，比如不多于5000个素数之和？

思路一旦变换，渐近的成果也就随之出炉，后世的数学家按此思路一路缩小所需要的素数个数，直到中国的年轻数学家陈景润，他在1966年发表的《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1+2”，这个2是指两个素数相乘），这成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑，他所发表的成果也被称之为“陈氏定理”。后来有人将陈景润的事迹写成一个长篇报告文学《皇冠上的明珠》。

由于这本书的出版，让许多国人知道，还有这么一道很好理解的超级数学难题的存在。这激发了数学爱好者的好奇和雄心，但这其中多数人甚至看不懂陈景润的证明，而是直接动用四则运算大法，去尝试证明哥德巴赫猜想，一些人甚至相信自己使用小学数学就完美的证明了这道“世纪难题”，只是受到官方数学界的压制，因此无法得到承认。但如果能用初等数学解决这道难题，那大数学家欧拉，以及数百年来的数学家们都是傻子么？不过，人一旦偏执就无法接受对自己成果的否定，而数学偏偏是一门逻辑异常严谨的学问，任何一步的纰漏都是不能通过嘴炮狡辩过去的，需要无可辩驳的逻辑和相关定理的支持，不能想当然。

当然，虽然证明哥德巴赫猜想很困难，但要否证它却相对简单，只要找到一个反例就行。找到一个具体的偶数，发现它不能被拆解为两个素数之和就行，当计算机登上舞台之后，一些数学家尝试用计算机来暴力搜索，但在可接受的时间内，计算机也并未找到反例。当然，没找到反例，不能作为证明。如今就差这最后一步了，但陈景润开辟的道路，大概只能走到1+2，要想彻底解决这道难题，看来需要更有创新性的想法，甚至需要一个新的数学分支。数学史上的超级难题，常常是数学思维创新的源泉，已有的知识解决不了，就意味着需要新的知识。

如果，提问者问的就是字面上的问题，1+1=2。那这和数学证明无关，而是属于公理系统，是数学运算的基本架构。对完全形式化逻辑感兴趣的人可以参考皮亚诺自然数算术公理，它定义了数学运算。

图示：用皮亚诺算术公理系统定义的加法。证明1+1=2

裸猿的故事

首先这里的1+1=2根本不是什么哥德巴赫猜想!哥德巴赫猜想简称是1+1问题,没有等号，更没有二！至于为什么这么简称，有人问再说了。

那么1+1=2需要证明么，又是否可以被证明？

我们熟悉的1、2、3等等等，有个名字叫做自然数，也就是自然而然的数，人类学会用火那时候就应该会数数了。早期人类主要食物来源采集和狩猎，统计劳动成果就得计数：一个梨、一个梨子、又一个梨；一只猪、一只猪、又一只猪……

随着生产力的发展，东西越来越多，用石头计数就是下面这个效果了：

于是聪明人想出来这样一个办法。

可是还是不够方便，于是人们又发明了数字，并且发明了用数字位置不同表述不同数值。

这样人类就可以仅仅用一串符号表达东西的数量了！

说了这么多，其实这中间有个Great Bug！“最后的魁拔”到底还拍不拍了，我还等着看海问香和远浪呢。怎么就扯到动画片了呢？赶紧扯回来！这个大的Bug是什么呢，就是没相同的梨，如果梨都一样，那孔融让梨就很尴尬了！

实际生活中，东西不一样还好解决，不就是鸭梨么，这次你吃小的，下次让你吃大的！实在分赃不均就打一次世界大战呗，还不行就再打一次。但数学是很精确的东西，都不一样可不行，还让不让人数数了？！于是人们给出了一个数学最基本的假设，也就是有很多个完全一样的“1”。

数学分支很多，每一个分支都有基本假设（公理）和定义作为基础，剩下的一些定理公式都有这些假设和定义推导出来。初中学几何，不是有点、线、面等等的定义和一些公理（也就是假设）么，剩下的都叫定理，定理就需要证明了。

前面说了，自然数就是自然而然的数字，我们人类原始状态就会掰着手指头数数，为啥还要公理和定义呢，这就是牵扯到数学的逻辑严谨，要区分自然数与其它数必须有这些公理和定义。

公理（公设）的总结或者提出是很难的。爱因斯坦的构建的相对论，就是一种基本假设，你可以根据它推导出很多东西，已故著名物理学家霍金就是根据相对论推导出了黑洞等猜想而赚了不少钱。自然数人类用了数万年，提出的公理不能违背这些应用又要和其它数严格的区分，实在不容易，因此自然数公理的提出比相对论早不了多少。

1891年意大利数学家、语言学家皮亚诺创建了《数学杂志》，1899年他在这本杂志上阐述了自然数公理。阐述完这事儿没两年皮亚诺就去研究语言了，也颇有成就，是世界语的奠基人，这就是所谓开了挂的人生吧。自然数公理也就是为皮亚诺公设，一共五条，自然语言化的方法叙述如下。

①0是自然数；

②每一个自然数x，都有一个后继数x'，x'也是自然数

③0不是任何自然数的后继数；

④如果y、z都是自然数x的后继数，那么y = z；

⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n也是对的，可以证明它对n' 同样是对的。最后一条很奇妙，它规定了自然数的间隔。不多叙述，有兴趣的可以自己研究一下。

自然数的数轴，一个等步长方向确定无限延伸的数轴。

终于有了自然数了，严谨的自然数。那么再看看自然数的加法是如何定义的。

自然数加法的定义也是严格遵守了皮亚诺公设的。我们看上面的公理和定义，并没有写“1+1=2”，既然不是公理，也不是定义，那就自然需要证明了！怎么证明呢？

1+1=2这个算式用语言表述就是两个0的后继数相加等于0的后继数的后继数。证明如下：

0'+0'=（0'+0）'=（0+0）'' =0''

或者1+1 = 1+0' =（1+0）' = 1' = 2

根据1+1=2的证明，我们可以证明0m+0n=0m+n（m和n代表0的第多少位后继数，而不是多少次方），也就是我们的常用自然数加法对所有自然数都是成立的，我们可以使用它！

综上：1+1=2是可以被证明的，只是它被证明比它被应用晚了很久很久。

知识与见闻

首先，1+1=2是能被证明的。（具体可以参阅https://www.guokr.com/article/6556/）

因为它自身就是一个符合在某一公理条件下的运算。之所以我们能使用它，是因为我们都接受了几个最基本的公理。换句话讲，也就是我们都默认了某一个“框架”，在这个“框架”下，我们可以自然的使用“框架”下约定俗成的各种符号来解决日常问题。而再深一步讲，我们之所以“默认”使用这个“框架”，是因为它“最贴近我们所认知的这个世界”。

然而，是否又存在其他“框架”呢？

答案是可能，未知。

为什么这么说？因为我们真正对这个世界的认知到底有多少，我们并不清楚。最好的例子就是经典力学中欧氏几何得心应手，但到了相对论中爱因斯坦就发现欧氏几何不足以来解释，直到他了解到了非欧几何。而非欧几何也正正是修改了传统人们所认知的欧氏几何最基础公理而衍生出来的。

因此，在未知的领域，是否存在某些问题使到我们所认知的基本代数公理“都不足以解释”，而最终发展出另一套公理体系从而使到1+1=2是“不可用甚至是错的”？这个没人能够回答，因为人类探索的地方还很小很小。最类似的例子莫过于日本数学家望月新一在证明ABC猜想时，颠覆了数学最底层最基本的地方——他把同时附着于“数字”之上的加法结构和乘法结构拆开，变形，然后“复原”（http://songshuhui.net/archives/101102）。暂时而言，世界上没有人能理解他的论文，因其太过于“颠覆”，以至于动摇到我们“所认知”的代数根本。现在，世界著名数学家们正对他的论文进行审核且成功的希望很大，万一他成功了，那对已知的数学带来的冲击就是“颠覆性”的。

借用松鼠会文章中的一个节选来说明望月新一论文的颠覆性

因此，不要认为我们“平常都那样用的”就放之四海都是正确的。我们“标记”、“使用”的等式，只是“在特定框架”“承认构筑该框架的基础公理”的条件下才能成立。

至于问答上，也有人问类似的“为什么需要证明1+1=2”“为什么能用”一类的问题。其实，作为一般的人，日常生活按照默认的来就足够了。再往下挖，所涉及的问题就不会单单的1+1=2这么简单了。当然，那些网络嘴炮一看到1+1就哥什么巴什么猜想的就不吐槽了，而大声嚷嚷说不需要证明的，是否也太过于片面？数学并不是直觉科学，是需要一个个严谨的逻辑才能推衍且是在一定框架条件下才能成立的科学。

最后借用开篇提到果壳那文章中的一句话：

Caspar7329

这是因为数学界所说的"1+1“，不是小学算术中的1+1。将这两者混淆，一般是一些简化的科普读物采取的混乱描述方式所致。

数学界的”1+1“问题实际上是哥德巴赫猜想的主要部分。哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）是数论中存在最久的未解问题之一。这个猜想最早出现在1742年克里斯蒂安·哥德巴赫与数学家莱昂哈德·欧拉的通信中。

欧拉表述的版本“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”：

任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。

这个猜想的进一步表述版本：

任一大于2的偶数都可写成两个数之和，一个数的质因数个数不超过一个，另一个数的质因数个数不超过一个。

但是直接证明这样的猜想至今还是一个难题，所以对此有了很多的简化版本：

一个“足够大”的偶数可以写成两个数之和，一个数的质因数个数不超过a个，另一个数的质因数个数不超过b个。

这一说法就简称为“a+b”。很容易理解这和算术上的a+b不是一回事。

当年陈景润证明的是这一说法的一部分，也就是“1+2”。

写成数学语言的话，就是：

一个“足够大”的偶数可以写成两个数之和，一个数的质因数个数不超过一个，另一个数的质因数个数不超过二个。

可以看到这个描述的版本离欧拉的强哥德巴赫猜想只有一步之遥，但是这一步也是至今为止最为困难的，50年来数学界并没有发展出足以跨出这一步的方法。

Ps.有人可能注意到在命题的前面还有一处差别，就是“足够大”和“大于2”的偶数，严格来说这两个是不一样的定义。但是在电子计算机发展的今天，只要能够在证明“足够大”的同时给出“足够大”的下限，并对下限以内的所有偶数进行穷举逐个验证，就可以直接完成证明。所以一般认为这个差别不是实质上的差异。

海边椰子

有趣的问题，忍不住来回来。

人们为了更好的认识世界创造了很多东西。

第一是方便记录。

在没有1+1等于2的时候，人是通过一笔一笔的记录，比如在墙上花上111111，证明有6个，但这样很麻烦，于是就有了代表数量的文字。

第二是方便传授

如果没有一个把虚的东西——一种想法方法。变成实际的文字记录，那么传授给后代，或是简单的交流都会很复杂。并且当一个团体如果不用一套准则的话也会很麻烦。

还是用1+1＝2为例。如果一个人规定1+1＝2，另一个人规定1+1＝3（这里的3在那个人的理念里可能是两个的意思。）这样两套不同的准则交织在一起就很麻烦。

1+1＝2不能被证明，就是因为他是人们创造的东西。创造物是无法证明的。就像你画了一个图案，你说他代表鸡，很多人传承了你的想法。那这个图案在现在就代表鸡，能证明吗？不能。

最后回到问题上，为什么我们可以使用它。

首先需要说明不是说错误的就不能使用。

更何况无法证明只是他的特征罢了，他的使用性无关。比如 地上有一个石头，我发现用他可以画画，但我无法证明这块石头＝笔。可是他能画画，并且我画了上万年都没出任何问题。那么他就可以使用。

实践出真知嘛。

当然 当我们发现1+1＝2已经不适用时，我们就会用其他的算法啦。

以古扒今

这是算术的基本约定的体现，基于对我们的下类经验的总结：一个苹果加上另一个苹果等于两个苹果。也就是说，一个个体加上另一个同类个体，在一般的经验上是两个同类个体。这类常见的现象，我们用基本的算术法则来对应之。

这其实一开始只是一种人为约定而已，无非设定了规则，就像棋类规则也是人为发明的一样。算术的基本逻辑后来被数学家皮亚诺归纳为“皮亚诺公理”。

这种约定，其实也没啥特殊与神秘。就好像给人取姓名，中国人可以有中国人自己的命名系统，西方人可以有西方人自己的命名系统，两者之间有共同有不同。而这其中的共性意味着普适性。

对这样的约定需要证明吗？不需要，使用就是。用得好，能够以此为前提，推理出现实，进而发现其他自然规律的那些假设自然能够存在，获得公理地位；用得不好，逐渐被人发现所推之间有矛盾，也即不能逻辑自洽，产生无法解决的悖论，那就自然会被废弃或加以改进。

1+1=2所遵循的基本算术规则，迄今为止并没有遭遇不可解释的悖论，因此作为公理性的约定从古存在至今，并得到了越来越深入的解释。

它需要去证明吗？不需要。去逻辑证明反而是一种逻辑错误。因为这是约定的基本前提，不属于被推理的范畴。我们不应当用前提去推理前提本身，这是逻辑错误。

人有不经证明而约定或假设任何东西的自由，至于其是否适应于现实，是否指向了真理，关键是看其是否能在实践中真正帮助人类从已知拓展到未知。有实际帮助的，就说明这种人为约定合乎于自然真理与法则；没有帮助的，甚至反而还带来麻烦的，则说明这种人为约定是无益的乃至是有害的与谬误的。

这其中的发展其实也存在着一种类似进化论的“用进废退”的基本过程。

建章君

如果你问一个数学家，为什么可以使用不能被证明的1+1＝2？

数学家会一本正经的告诉你，所谓的"1+1“，不是小学算术中的1+1。数学界的”1+1“问题实际上是哥德巴赫猜想的主要部分。

哥德巴赫猜想？对，就是我国著名数学家陈景润长期钻研并很有建树的那个。

1742年，哥德巴赫给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和，这就是哥德巴赫猜想。

“哥德巴赫猜想”因其简明，让你感觉就应该是这样，但又无法直接证明。这使得它在素数研究领域名声大噪。当年，哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教世界闻名的大数学家欧拉帮忙证明，但欧拉也没有成功。

于是，数学家们想到了一个变通的方法：既然不能证明任意充分大的偶数都可写成两个质数之和，那么我们可否先证明它可以被写成某种形式，比如不多于5000个素数之和？

沿着这个思路一直发展，到陈景润的时候，就发表了《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1+2”，这个2是指两个素数相乘，即一个“足够大”的偶数可以写成两个数之和，一个数的质因数个数不超过一个，另一个数的质因数个数不超过二个）。

但陈景润开辟的道路，大概只能走到1+2，要想彻底解决这道难题（1+1），需要更多的创新，甚至开创一个新的数学分支。这就像是人类可以钻木取火，但要更好地使用火，需要新的技术和设备，比如打火机、蜡烛等等。

综上所述，无论这个特定意义1+1能否等于2，都不影响你使用自然数加法。这也是我们做算术，买菜或者逛街买衣服的时候，不用考虑1+1究竟是否等于2的原因。

镁客网

谁说1+1=2的？在计算机语言中1+1=10啊……

所以1+1=2，这不是什么命题，而是约定，在10进制条件下，或者在任何大于2进制的条件下，1+1=2就是个算数的约定，不需要证明，只需要定义数字是怎么数的，以及加法的定义是什么就行了。加入我们换到另一个时空，在那个时空里的人，对加法的定义等同于我们对乘法的定义，那么就会出现1+1=1的结果了。同样，计算机虽然和我们同处一个时空，可他们不像我们有十个手指头可以掰来掰去，而是只有电流通过与否这两个状态，只能用二进制进行运算，于是我们就看到了1+1=10，当然这里的10，换到三进制、四进制……等等条件下，还是2，也就是算法本身并没有变。

试图证明1+1=2，就和证明“我是一个人”一样戏谑。不妨想想，我们要想证明自己一个“人”，会有多困难？我们很难去证明一个被称为“定义”的概念。

需要证明1+1，不是1+1=2，而是哥德巴赫猜想中的1+1。

著名的数学家哥德巴赫想到一个问题，说任何一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和，比如4=2+2，14=7+7，24=11+13，34=17+17，44=13+31……

这个想法很有趣，也非常简单，以至于不少人都默认这是个定理了。

但问题是，素数的数量是无穷多的，偶数的数量也是无穷多，那么在如此海量的数字中，只要有一个偶数不满足这个特征，这个“定理”就会崩塌。

于是在哥德巴赫猜想提出之后，很多数学家都将毕生的精力投入到解题之中，但都是无功而返，哥德巴赫猜想也由此被称为数学王冠上的明珠。

尽管任意大于2的偶数可以写成1个素数加1个素数这样的1+1没有被证明出来，但数学家们还是想到了一些简化的思路，不能证明是1个素数加1个素数，那我们先证明这个偶数可以写成N=A+B，其中A和B分别是这个数字的素因子。我们知道素数只有一个素因子，所以如果满足哥德巴赫猜想，自然就是1+1被证明了，如果A和B不是1，比如A=2，那么这个数就是素因子不超过2的一个数。

过程咱就不抠了，有兴趣的人很容易就看得明白，总之，虽然不能证明1+1，但我们先证明出个1+2，也算离目标很近了。但实际上，1+2也不那么好证明，于是这个事最终就先从比较大的A和B入手，比如9+9最先被证明了。

中国数学家在哥德巴赫猜想中介入的时间比较晚，但成就却不小，王元就多次推近了与1+1的距离，更重要的是，1966年，陈景润证明出了1+2，距离1+1只剩一步之遥。

时至今日，试图证明哥德巴赫猜想的人还很多，或许有一天这个明珠就会被摘下。

最后再说明一句，这里的1+1和1+1=2没有啥关系，所以我们该怎么计算还怎么计算。

分子美食家

1+1的问题难以被证明，因为这个问题深入到了一个人类还未投入太多精力去思考的领域，这个领域也许可以支撑我们现有的数学规则。

只要有点数学知识的人肯定还隐约记得一大堆公理、定理等，并且一定记得定理是需要公理和一定的条件来证明的。而公理则不需要证明。大多数公理都源于现实中最简单的一些事实，比如“两点间有且有一条直线” ，但如果有人非要问：怎么证明两点间有且有一条直线？你会发现这真的无从解释，最终你会敷衍提问者说：这是条公理，不需要被证明！

找不到解释是因为还没有人发现一套比公理还要更加底层更简单的理论体系。公理无法被证明，但我们并不能因此而否定它们的价值，公理依然支撑着理论体系。

说到这我们说回1+1的问题。对于数学运算来说，它是为建立数学体系而定义的最基本的规则之一，已经无法再向下分解。这其实就是我们使用它的理由：它最初是人类为了运算而定义的一个基本规则。

關鍵字: 证明 哥德巴赫猜想 数学