04.07 數學上下三萬年（五）：十九世紀上半葉的數學

原文作者，聖安德魯斯大學數學與統計學院。

翻譯作者，mathyrl，哆嗒數學網翻譯組成員。

校對，math001。

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從今天起，我們將連載這部數學編年史。本文是翻譯版本，因為工作量巨大，必有疏漏（包括原文也會有錯誤），歡迎指正。

這應該是網上最全的數學編年史，從公元前30000年到公元2000年，哆嗒數學網為你奉獻。

這裡是 數學上下三萬年（五）：十九世紀上半葉的數學

這個時期歐美基本完成工業革命，各種科學學科開始按現代的門類分化，並影響到社會學科。中國也在這個時期進入半殖民地半封建社會。

本期出場人物有：高斯、勒讓德、熱爾曼、傅里葉、泊松、拉普拉斯、柯西、阿貝爾、哈密頓、狄利克雷、洛巴切夫斯基、雅克比、劉維爾、德摩根、埃爾米特等。

本系列下面是往期內容：

數學上下三萬年（一）：愛在西元前

數學上下三萬年（二）：從羅馬時代到中世紀

數學上下三萬年（三）：大航海時代

數學上下三萬年（四）：歐洲資產階級革命開啟

1800年，拉克魯瓦（Lacroix）完成了他的三卷本教科書《微分學與積分學》（Traité de Calcul differéntiel et intégral）的出版。

1801年

高斯出版了《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）。它包含了七部分，前六部分研究數論，最後一部分研究正十七邊形尺規作圖。

1801年

穀神星被發現然後不知所蹤。高斯從少量已有的觀測資料計算了它的軌道，隨後幾乎恰好在高斯預測的位置上穀神星被重新發現。

1801年

高斯證明了費馬的猜想，即每個正整數可以表為三個三角數之和。

1803年

拉扎爾·卡諾（Lazare Carnot）出版了《位置幾何學》（Géométrie de position），其中首次在幾何學中系統地使用了向量。

1804年

貝塞爾（Bessel）發表了一篇關於哈雷彗星軌道的論文，其中使用了200年前哈里奧特的觀測數據。

1806年

阿爾岡（Argand）引入了阿爾岡圖作為在平面上覆數幾何表示的一種方法。

1806年

勒讓德發展了最小二乘法，用於尋找一組數據的最佳逼近。

1807年

傅立葉（Fourier）發現了用一系列三角函數之和來表示連續函數的方法，並在一篇提交到法國科學院的論文《固體上的熱傳導》（On the Propagation of Heat in Solid Bodies）中使用了這個方法。

1808年

熱爾曼（Germain）對費馬大定理作出了重要貢獻。這就是被勒讓德命名的“熱爾曼定理”。

1809年

潘索（Poinsot）發現了兩個新的正多面體。

1809年

高斯描述了最小二乘法，在《天體運動論》（Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium）中他使用這種方法尋找天體的軌道。

1810年

葛爾剛（Gergonne）出版了他的新數學期刊《純粹數學與應用數學年刊》（Annales de mathématique pures et appliquées）的第一卷，這個期刊又稱為《葛爾剛年刊》（Annales de Gergonne）。

1811年

泊松（Poisson）出版了《力學》（Traité de mécanique）。它包含了泊松關於數學在電磁學與力學的應用的研究工作。

1812年

拉普拉斯（Laplace）出版了兩卷本《概率的解析理論》（Théorie Analytique des probabilités）。第一卷研究了生成函數以及概率論中出現的各種表達式的逼近。第二捲包含了拉普拉斯的概率定義、貝葉斯法則與數學期望。

1814年

阿爾岡（Argand）給出了對代數基本定理的一個漂亮證明（帶有一些缺陷）。

1814年

巴洛（Barlow）製作了巴洛表，給出了從1到10000的整數的因子分解、平方、立方、平方根、倒數和雙曲線對數。

1815年

彼得·羅熱（Peter Roget，《羅熱同義詞詞典》的作者）發明了對數計算尺。

1815年

普法夫（Pfaff）發表了關於被稱為“普法夫形式”的重要工作。

1816年

皮科克（Peacock），赫歇爾（Herschel）和巴貝奇（Babbage）是劍橋分析學會（Analytical Society）的領袖，該學會出版了拉克魯瓦（Lacroix）的教科書《微分學與積分學》（Traité de Calcul differéntiel et intégral）的英譯本。

1817年

貝塞爾在研究開普勒問題過程中發現了一族被稱為“貝塞爾函數”的整函數，以確定三體在相互引力的作用下的運動。

1817年

波爾查諾（Bolzano）出版了《純分析證明》（Rein analytischer Beweis），試圖將微積分從無窮小量概念中解放出來。他不使用無窮小量來定義連續函數。這本著作包含了波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理。

1818年

受到拉普拉斯工作的啟發，亞德里安（Adrain）發表了地球形態以及不同緯度的重力的研究。

1819年

霍納（Horner）向皇家學會提交了一篇論文，給出了用於求解代數方程的“霍納方法”，該論文於同年發表在英國皇家學會哲學彙刊。

1820年

布利安香（Brianchon）發表了《在給定四個條件下，確定等邊雙曲線的研究》（Recherches sur la determination d'une hyperbole equilatère, au moyen de quatres conditions données），其中包含了九點圓定理的陳述和證明。

1821年

納維對於不可壓縮流體給出了著名的“納維-斯托克斯方程”。

1821年

柯西（Cauchy）出版了《分析教程》（Cours d'analyse），這是第一次將數學分析建立在正式基礎上。它為巴黎綜合理工學院的學生設計，致力於儘可能嚴格地發展微積分的基本定理。

1822年

彭賽列（Poncelet）在《論圖形的射影性質》（Traité des propriétés projectives des figures）發展了射影幾何的原理。這本著作包含了射影幾何的基本思想，例如交比、透視、對合、以及虛圓點。

1822年

傅立葉（Fourier）1811年的獲獎作品《熱的解析理論》（Théorie analytique de la chaleur）發表。它使得傅立葉分析的技術被廣泛地利用，這將廣泛應用於數學和整個科學領域。

1822年

費爾巴哈（Feuerbach）發表了他的關於三角形的九點圓的發現。

1823年

鮑耶·亞諾什（János Bolyai）完成了關於非歐幾何的一個完整體系的論文的準備工作。當鮑耶發現高斯已經預見到他的大部分工作但沒有發表任何東西，他推遲了發表。

1823年

巴貝奇（Babbage）開始製造一臺大“差分機”，該機器可以計算對數以及三角函數。他的經驗來自於他在1819年至1822年間製造的小“差分機”。

1824年

薩迪·卡諾（Sadi Carnot）出版了《論火的動力，以及合適的機器來開發這個動力》（Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance）。這是一本關於蒸汽機的書，它在熱力學中有根本重要性。形成熱力學第二定律的基礎的“卡諾循環”也出現在這本書中。

1824年

阿貝爾（Abel）證明了高於四次的多項式方程沒有根式解。他把這個證明自費出版在一本六頁的小冊子上。

1824年

貝塞爾對行星擾動進行研究的同時進一步發展了“貝塞爾函數”。

1824年

斯坦納（Steiner）發展了綜合幾何學。他在1832年發表了關於這個論題的理論。

1825年

岡珀茨（Gompertz）給出了“岡珀茨死亡率定律”，它表明死亡率呈幾何級數增長，因此當死亡率以對數標度繪製時，得到一條直線，稱為“岡珀茨函數”。

1826年

安培（Ampère）出版了《關於電動力學現象之數學理論的回憶錄，獨一無二的經歷》（Memoir on the Mathematical Theory of Electrodynamic Phenomena, Uniquely Deduced from Experience）。它包含電動力定律的數學推導，並描述了四個實驗。它為電磁理論奠定了基礎。

1826年

克雷勒（Crelle）開始出版他的期刊《純數學和應用數學雜誌》（Journal für die reine und angewandte Mathematik），後來被稱為“克雷勒雜誌”。第一卷包含了阿貝爾的幾篇論文。

1826年

彭賽列（Poncelet）關於圓錐曲線極點與極線的工作使他發現了對偶原理。引入了術語“極線”的葛爾剛（Gergonne）獨立發現了對偶原理。

1827年

雅可比（Jacobi）在向勒讓德寫的信中詳述了他關於橢圓函數的發現。與此同時，阿貝爾在獨立地進行關於橢圓函數的工作。

1827年

莫比烏斯（M?bius）出版了關於解析幾何的《重心的計算》（Der barycentrische Calkul）。它成為了經典幷包含了他的關於射影幾何與仿射幾何的很多結果。書中他引入了齊次座標並討論了幾何變換，特別是射影變換。

1827年

費爾巴哈（Feuerbach）寫了一篇論文，獨立於莫比烏斯引入了齊次座標。

1828年

高斯引入了微分幾何並發表了《關於曲面的一般研究》（Disquisitiones generales circa superficies）。這篇論文來源於他對測地線的興趣，它包含了“高斯曲率”等幾何思想。這篇論文也包含了高斯著名的“絕妙定理”（theorema egregrium）。

1828年

格林（Green）出版了《論應用數學分析於電磁學》（Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnets），書中將數學應用於電場和磁場的性質。他引入了術語“勢”，發展了勢函數的性質，並將其應用於電和磁。連接表面積分和體積積分的公式，現在稱為“格林定理”，在書中首次出現，“格林函數”也首次出現在書中，該函數被廣泛應用於偏微分方程的解。

1828年

阿貝爾開始研究雙週期橢圓函數。

1828年

普呂克（Plücker）出版了《解析幾何》（Analytisch-geometrische），發展了“普呂克簡算記號”。他比莫比烏斯和費爾巴哈早一年獨立地發現了齊次座標。

1829年

伽羅華（Galois）向法國科學院提交了他的第一篇關於方程代數解的作品。

1829年

羅巴切夫斯基（Lobachevsky）發展了非歐幾何，特別是雙曲幾何，他關於這個論題的第一份描述發表在《喀山通訊》（Kazan Messenger）。當它被提交到聖彼得堡科學院時被奧斯特羅格拉德斯基（Ostrogradski）拒絕。

約1830年

巴貝奇（Babbage）創建了用於保險計算的第一個精確精算表。

1830年

泊松在彈性力學中引入了“泊松比”，其中涉及材料的應力和應變。

1830年

皮科克（Peacock）出版了《論代數》（Treatise on Algebra），試圖給代數學一個與歐幾里德《幾何原本》相媲美的邏輯處理。

1831年

莫比烏斯（M?bius）發表了《一大類特殊的反轉公式》（über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen），書中引入了莫比烏斯函數以及莫比烏斯反演公式。

1831年

柯西（Cauchy）給出了單復變解析函數的冪級數展開。

1832年

斯坦納（Steiner）出版了《不同幾何形式的依賴關係的系統性發展》（Systematische Entwicklungen ...），書中給出了基於度量考慮的射影幾何的一種處理。

1832年

鮑耶·亞諾什（János Bolyai）關於非歐幾何的工作作為他父親鮑耶·法爾科斯的書的附錄發表。

1833年

勒讓德指出了關於平行公設的12個“證明”中的缺陷。

1834年

哈密頓（Hamilton）在《動力學中的一種普遍方法》（On a General Method in Dynamics）使用代數來處理動力學。這篇論文給出了應用於動力學的特徵函數的第一個陳述。

1835年

凱特勒（Quetelet）出版了《論人類及其能力之發展》（Sur l'homme et le développement de ses facultés）。他提出了“平均人”的概念，認為平均人是根據正態曲線對人類特徵測量的中間值。

1835年

科里奧利（Coriolis）出版了《物體系的相對運動方程》（Sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps）。他引入了“科里奧利力”，並證明，如果在運動方程中添加一個稱為“科里奧利加速度”的額外的力，那麼運動定律適用於轉動參考系。同年科里奧利出版了一本關於檯球的數學理論的著作。

1836年

奧斯特格拉斯基（Ostrogradski）重新發現了格林定理。

1836年

劉維爾創辦了數學雜誌《純粹與應用數學雜誌》（Journal de Mathématiques Pures et Appliquées），這份雜誌有時被稱為《劉維爾雜誌》（Journal de Liouville），記錄了19世紀法國數學的一部分重要內容。

1836年

彭賽列（Poncelet）出版了《力學在機械中的應用》（Cours de mécanique appliquée aux machines）。它第一次提出了將數學應用於機械設計。

1837年，泊松出版了《關於判斷的概率之研究》（Recherches sur la probabilité des jugements）。在書中他確立了概率的法則，給出了“泊松大數定律”，並且對於二項分佈一種限制情形的離散隨機變量描述了“泊松分佈”。

1837年

《劍橋與都柏林數學雜誌》開始出版。

1837年

狄利克雷（Dirichlet）給出了函數的一般定義。

1837年

劉維爾（Liouville）討論了積分方程，並給出了“斯圖姆-劉維爾定理”用於求解此類方程。

1837年

旺策爾(Wantzel)證明了經典問題倍立方與三等分角不可能用尺規作圖。

1838年

貝塞爾（Bessel）測量了天鵝座61的視差，這是第一顆被計算視差的恆星。

1838年，庫諾特（Cournot）出版了《財富理論的數學原理之研究》（Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses），書中討論了數學經濟學，特別是供需函數。

1838年

德摩根（De Morgan）發明了術語“數學歸納法”，並使該方法精確化。

1839年

拉梅（Lamé）證明了費馬大定理在n=7的情形。

1840年

柯西出版了四卷本《分析與數學物理習題集》（Exercises d'analyse et de physique mathematique）的第一卷。

1841年

高斯發表了一篇光學論文，其中給出了一個公式，用於計算給定焦距的透鏡成像的位置和大小。

1841年

雅可比（Jacobi）撰寫了《函數行列式》（De determinantibus functionalibus），致力於研究函數行列式，現在稱為雅可比行列式。

1841年

凱特勒（Quetelet）建立了比利時中央統計局。

1842年

海森（Hesse）在一篇研究三次和二次曲線的論文中引入了“海森行列式”。

1842年，斯托克斯（Stokes）開始研究流體，出版了《關於不可壓縮流體的穩定流動》（On the steady motion of incompressible fluids）。

1843年

哈密頓（Hamilton）發現了四元數，它是複數的四維推廣。

1843年

劉維爾（Liouville）向法國科學院宣稱他發現了伽羅華的未發表作品中的深刻結果，並承諾將伽羅華的論文以及他自己的註解發表出來。

1843年

庫默爾（Kummer）在研究唯一分解時發明了“理想複數”。這導致了環論的發展。

1843年

凱萊（Cayley）在他的論文中研究了“n維幾何”，他是第一個研究高維幾何的人。他使用行列式作為主要工具。

1844年

劉維爾找到了第一個超越數，這種數不能被表示為有理係數代數方程的根。

1844年，格拉斯曼（Grassmann）出版了《線性外代數，數學的新分支》（Die lineale Ausdehnundslehre, ein neuer Zweig der Mathematik），其中他發展了一種代數的思想，用特定的法則來處理表示幾何對象的符號，例如點、線、面等。

1845年

凱萊出版了《線性變換理論》（Theory of Linear Transformations），其中他研究了線性變換的複合。

1845年

柯西在研究置換群的時候證明了一個群論基本定理，後來被稱為“柯西定理”。

1846年

劉維爾在《Liouville's Journal》（劉維爾雜誌）發表了伽羅華的關於求解代數方程的論文。

1846年

14歲的麥克斯韋（Maxwell）寫了他的第一篇論文《論卵形線與其他多焦點曲線》（On the description of oval curves, and those having a plurality of foci）。

1847年

布爾（Boole）出版了《邏輯的數學分析》（The Mathematical Analysis of Logic），其中他證明了邏輯法則可以用數學方法處理而非形而上學。布爾的工作為計算機邏輯奠定了基礎。

1847年

德摩根（De Morgan）提出了兩個集合論定律，被稱為“德摩根律”。

1847年

斯陶特（Von Staudt）出版了《位置幾何學》（Geometrie der Lage）。它第一次將射影幾何從度量基礎中完全解脫出來。

1848年

湯姆森（開爾文勳爵）提出了以他名字命名的絕對溫標。

1849年

埃爾米特（Hermite）將柯西的留數技術應用到雙週期函數。

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