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我們前面講到，泊松分佈描述的是概率非常小的情況下的統計規律性。這一講我們通過學習高斯分佈，也就是正態分佈來正確認識大概率事件。
高斯分佈也叫正態分佈
與泊松分佈那樣的小概率事件相對，如果一個事件A發生的概率非常大，等於或者接近1/2（當p大於1/2時，1-p小於1/2，我們把p和1-p互換，依然只要研究p小於1/2的情況），同時試驗次數n也非常大，會是什麼結果呢？
我們假定事件A經過n次試驗後發生了k次，把k的概率分佈圖畫一下，就得到了一箇中間鼓起，像倒扣的鐘一樣的對稱圖形。
這個圖形你一定很熟悉，18世紀，數學家棣莫弗和拉普拉斯把這種中間大，兩頭小的分佈稱為正態分佈。不過，高斯對正態分佈的誤差（也就是標準差������）作出了更嚴格的分析，於是正態分佈今天就被命名為高斯分佈。
我經常講，發明的榮譽常常是授予最後一個發明者，高斯分佈也是如此，因為是高斯為這項發現畫了句號。
高斯對正態分佈的主要貢獻在於，他利用概率分佈的平均值和標準差（高斯實際使用的是方差，但是方差和標準差是完全相關的，今天我們用到更多的是標準差），來定義了正態分佈，這種定義更具有普遍意義。
我們用一個大家並不陌生的例子來說明均值、標準差，和發生概率三者之間的關係。
哪個班的成績更優秀？
假如有兩個班，一班的考試成績在60～100分之間變化，均值（平均分）為80分。二班的成績在70～100分之間變化，均值為85分。那我們能說二班比一班成績好嗎？這個問題沒有那麼簡單。
根據我們的經驗，同學們的成績通常分佈在平均分附近的比較多，特別好或者特別差的很少，對於這種情況，我們就可以用正態分佈來刻畫兩個班成績的分佈，並且對它們進行比較。
圖左邊標註了80的曲線是一班的，右邊標註了85的曲線是二班的。從這兩條曲線可以看出，一班的成績有一個很小的可能性超過90分，只是因為隨機性的存在，比如極個別差生乾脆交了白卷，導致整個班的平均分才成為了80分。如果一班真實的平均分應該是90分，而二班依然是85分，我們得說一班反而比二班強了。只不過，這種情況的可能性並不大。
我把這個可能性用藍色畫在了圖中。類似的，二班雖然平均分為85分，但是也存在一個小概率的可能性，它的平均分不到75分，我用綠色在圖中畫出來了。
那麼我們有多大把握說明平均分85分的二班一定比80分的一班強呢？這就要看兩個班成績的平均浮動範圍了，這就是我們所說的標準差。這個數值其實就類似方便麵包裝袋上標的淨重60克，後面還會標一個+-1克，這個1就是標準差。
如果兩個班的標準差都是5分，一班的真實成績也+-5，大致就是在75到85分的範圍內浮動，二班的成績是在80到90分的範圍浮動。在這兩個浮動範圍重疊的部分，我們無法判斷哪個班成績更好。這個重疊區域，即文稿圖中紅色的區域，表示我們無法作出判斷的情況，這個區域的面積，就是我們無法作出判斷的概率。
具體到這個圖中，紅色區域的面積佔了兩條曲線所覆蓋面積的65%。也就是說，有65%的可能性，我們沒法說哪一個班的成績好。或者說，我們只有大約35%的信心，證明第二個班的成績比第一個班好。這種信心通常被稱為置信度。關於置信度，你也可以回顧我的《信息論40講》中第16講的課程。
從這個例子中我們可以看出，兩個班平均分差五分，如果標準差也是5分，我們並沒有足夠的證據說明哪個班成績更好。那麼在什麼情況下能證明，平均分85分的二班，就比平均分80分的一班學得好呢？
那就是減少標準差。當標準差������降低到只有1時，這兩個班成績的概率分佈大致如下圖，重疊的部分只佔面積的5%。這時我們大約有95%的信心說二班比一班好。其實這個很好理解，從分佈圖來看,標準差越大,分佈圖越扁平，重合面積就越大; 標準差越小,分佈越 "瘦高"，兩部分的重合面積就越小，我們就越有把握判斷哪個在橫軸上的分數越高。
如何減小標準差？
接下來大家可能會問，怎樣才能減小標準差呢？
如果同學們的成績分佈情況不變，提高25倍的統計人數（雖然學校裡沒有這麼大的班），標準差就會從5降低到1左右。
2019年10月份，醫學界發生了一件轟動世界的事情。美國百健公司（Biogen）宣佈他們所研製的治療阿爾茨海默病的藥品Aducanumab在大規模臨床試驗中被證明有效，全世界都為此歡呼。但是僅僅在半年前，他們進行的小規模試驗後的結果卻是藥效不明顯。這又是怎麼一回事呢？
其實半年前的試驗就是因為樣本數量比較少，巨大的標準差掩蓋了藥物相比安慰劑在療效上的差異。而當樣本數量增加後，方差降低了，藥效就看出來了。
可以對比圖中的幾條曲線：綠色的是參照組，黃色的是小樣本試驗的結果，藍色的是大樣本試驗的結果。你可以看出樣本數大了，結果曲線和參照組的重合度就減少了。
大家可能會講，標準差������和置信度這些東西我也不會算，能不能告訴我幾個簡單的數字，我在生活中直接用就好了。答案是有的！
如果一個隨機變量的取值符合高斯分佈，它有大約68%的可能性，動態範圍不超過平均值加減標準差������。這時我們說，在一個標準差之內，我們對平均值的置信度為68%。
比如在上面的例子中，一班的平均成績為80分，標準差為5分，於是我們有68%的置信度說，考慮到隨機性的影響，這個班的平均成績應該落在75～85分之間，而不是之外。
如果我們把允許的誤差的範圍放大一點，放大到正負兩倍的標準差，那麼有大約95%的情況，這個隨機變量的動態範圍不超出平均值加減兩倍的標準差，或者說，我們有95%的置信度相信這一點。
做科學實驗時，通常需要有95%的置信度，否則大家覺得不踏實。當然，如果我們進一步擴大誤差範圍到三倍的������，那麼置信度就提高到99.7%。在要求極高的實驗中，我們甚至會要求更高。
這個規則適合於任何高斯分佈，我們通常稱之為“三������原則”或者“68-95-99.7原則”。平時大家記住帶有隨機性質的結論，需要有95%的置信度就好了。我把上述三種情況畫在了下面的圖中，可以看一眼下面下圖，獲得一個感性的認識。
大家同時也注意一下，圖中曲線和x軸之間的面積，就是曲線的積分，面積的大小就代表了高斯分佈在某個範圍內的概率。
舉例應用：
瞭解了標準差和置信度的關係，我們就拿它來分析一個例子。這個例子是關於股票投資的，我們以美國的股市為例來說明。
在過去的半個世紀裡，標準普爾500指數的增長率大約是每年7%～8%左右，但是你知道它的標準差有多大麼？高達16%左右。這說明股市的波動性特別大。有人可能會問為什麼標準差會大於回報率，因為在不少年頭，回報率是負的。
可以看下圖，你會發現7%～8%的平均回報完全被淹沒在巨大的正負誤差波動中了。通常，金融領域的人會將這種標準差直接稱為風險。
這個事實說明，其實我們對於大概率事件，往往是視而不見的，而風險其實就存在其間，我有三點結論要詳細說明。
首先是股市的風險要遠遠高出大部分人的想象，這不用多說了，一張圖勝過千言萬語。美國的標準普爾500指數，是世界風險最低，回報最高的投資工具，而且是500個表現很好的股票的平均值，收益和風險之比尚且如此，其它的投資風險就更高得多了。因此，大家在投資時如何小心都不為過。
其次，由於任何一種投資都有標準差（風險），因此對比投資回報時要把它考慮進去，不能只考慮回報不考慮風險。
比如投資A的回報是10%，風險是20%，投資B的回報是5%，風險是3%。不能光看10%比5%高，就認定投資A比B好，要橘子和橘子對比，蘋果和蘋果對比，在相同風險條件下對比。事實上在做投資時，A、B這兩種投資恰恰是很好的具有互補性的工具。
當然，對於回報總是大於零的債券和存款（先不考慮歐洲的負利率），很多人會覺得是零風險的，其實這種看法也是錯的。因為那些投資在計算回報時沒有考慮通貨膨脹的因素，如果你存款的回報是3%，而通貨膨脹可能達到5%，這就是風險。
事實上，全世界所有的國家都刻意低報通貨膨脹率，因為房價的上漲是不算在通貨膨脹內的，而它恰恰可能是造成通脹的重要原因。
最後，如果有一隻股票連續三年的回報是10%，另一隻只有5%，你能說第一隻比第二隻好嗎？不能，因為5%的差異，要遠比16%的標準差小很多，事實上個股的方差比股指更大。換句話說，這5%的差異更可能是市場浮動的隨機性造成的。
事實上，美國每年漲幅最好的10只股票、10個基金到了第二年表現都會跌出前十名。因此，不要以為自己的投資回報在幾年裡超過了股市大盤，就覺得自己是股神。
要點總結：
我們通過介紹高斯分佈，說明了兩個隨機變量均值的差異和偶然性之間的關係。
由於偶然性的存在，如果只有很小的均值差異，那可能說明不了什麼問題。我們還介紹了著名的3������原則，大家記住有隨機性的結論，需要有95%的置信度就好。下一講，我們一起研究一下貝葉斯公式，下一講見。——吳軍《數學通識五十講》
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