我們可以說，現在是第一次把一個擁有許多奇妙結果的新方法公開出來，在未來的年月裡，它將贏得別人的重視。 ——伽利略
截至1600年，歐洲的科學家無疑注意到數學在自然科學研究上的重要性。這種信念的最有力的證據是哥白尼和開普勒的工作，他們為了一個在當時僅僅具有數學優越性的理論而堅決地去推翻久已公認的天文學和力學的定律以及宗教信條。儘管如此，倘若科學仍然跟著以往的腳步前進，就很可能不會有近代科學的驚人成就，數學也就不會從中取得推動創造性工作的巨大力量。可巧在17世紀中，笛卡爾和伽利略兩人針對科學活動的基本性質，進行了革命化。他們選定科學應該使用的概念，重新規定科學活動的目標，改變科學中的方法論。他們這樣做，不僅使科學得到出乎意料和史無前例的力量，而且把科學和數學緊緊地結合起來。他們這個計劃，實際上是要把理論科學歸結到數學。想要了解從17世紀到19世紀這段時間中推動數學的力量，必須先考察笛卡爾和伽利略兩人的思想。
一、笛卡爾的科學觀
笛卡爾明確宣稱科學的本質是數學。笛卡爾說，他“既不承認也不希望物理學中有任何原理不同於幾何學和抽象數學中的原理，因為後者能解釋一切自然現象，並且能對其中一些現象給出證明。”客觀世界是固體化了的空間，或者說是幾何的化身。因此它的性質應該可以從幾何的基本原理推導出來，而其中一些簡單性質隱含著邏輯推理中的基礎作用。
笛卡爾精心討論了為什麼世界是可以接近的，並可歸結到數學。他堅持物質的最基本和最可靠的性質是形狀、延展和在時空裡的運動。因為形狀也只是延展，所以他斷言：“給我延展和運動，我將把宇宙構造出來。”運動本身是力作用在分子上的結果。笛卡爾相信這些力服從於不變的數學定律，而且由於延展和運動都可用數學表示出，所以一切現象都可用數學描寫出來。
笛卡爾的機械哲學甚至推廣到人體的功能上去。他相信，力學定律可以解釋人和其他動物的生命。在他的生理學著作中，他用熱、水力、管子、活塞和槓桿的機械作用去解釋身體的作用；只有上帝和靈魂不是機械的。
如果笛卡爾把周圍的一切看作只是由運動的物質構成的，那麼，他怎樣解釋味道、氣味、顏色和聲音的質量呢？這裡他採用了古希臘關於第一性和第二性的學說，依照德謨克利特，這個學說主張“甜與苦、冷與熱以及顏色等東西，只在意念中存在，在實際中不存在，真正存在的是不變的粒子、原子以及它們在空的空間中的運動”。第一性的東西，即物質與運動，存在於物理世界中；第二性的東西，僅僅是當外界原子衝擊到人的感官時，第一性的東西產生這些感官上的效果。
因此，在笛卡爾看來，有兩個世界：一個是巨大的協調地設計出來的數學機器，存在於空間和時間中，另一個是思維的世界。第一世界中的元素作用在第二世界上的效果就產生出物質的非數學性質或次要的性質。此外，笛卡爾肯定了自然界定律的不變性，因為這些定律只是預先規定的數學圖案的一部分。就是上帝，也不能改動這不變的自然界。在這裡，笛卡爾否認了通行的信條：上帝不斷地干預著宇宙的活動。
雖然笛卡爾的哲學和科學學說背離了亞里士多德主義和經院主義，但在一個基本的方面，他還是一個經院主義者：他從自己的心裡得出關於存在和實在的命題。他相信有先天的真理，而且理智本身的力量，可以得到對於一切事物的完全知識。例如，他是在先天推理的基礎上，敘述出運動定律的（實際上，在他的生物學工作中，他作了些實驗，並且從中得出重要的結論）。
但是除了依靠先天原理以外，他的確傳播了一個普遍的系統的哲學，從而震撼了經院主義的堡壘，開闢了新鮮的思想渠道。他的關於清除一切先入之見和偏見的企圖，是他對過去造反的明白的宣告。通過把自然現象歸結為純物理的事態，他的確作了許多努力去剝掉科學中的神秘主義和玄虛成分。笛卡爾的著作影響很大，他的演繹而且系統的哲學風行於17世紀，特別是使牛頓注意到運動的重要性。他的哲學著作的精裝本，甚至成為貴婦們梳妝檯上的點綴品。
二、伽利略的科學研究方式
雖然伽利略的科學哲學大部分與笛卡爾的一致，但是給近代科學制定出更徹底更有效更具體的程序，並用自己的工作證實該程序的效果的，卻是伽利略。
伽利略（1564—1642）出生於比薩一個布商的家庭，他進了比薩大學學醫。那裡的課程還是在中世紀的水平上。伽利略從一位工程師那裡學了數學，在17歲那年從醫學轉到數學。學了大約8年之後，他向博洛尼亞大學申請教師職位，但因不夠優秀而遭到拒絕。後來他得到比薩大學的一個數學教授職位。在那裡，他開始攻擊亞里士多德的科學，並且毫不遲疑地發表他的看法，即使同事們疏遠了他也在所不顧。那時他已經開始寫出重要的數學論文，引起一些能力較差的人的忌妒。這使他感到不愉快，因而在1592年接受了帕多瓦大學數學教授的職位。在那裡，他寫了一本小冊子《力學》（Le mecaniche，1604）。在帕多瓦待了18年後，他被美第奇的大公爵科西莫（Cosimo II）邀請到佛羅倫薩，並被任命為宮廷首席數學家。科西莫給了他一所住房和可觀的薪俸，並且保護他免受耶穌會的迫害（那時耶穌會把持著教皇職位，而伽利略由於擁護哥白尼的學說已經受到他的威脅）。伽利略把他發現的木星衛星命名為美第奇衛星，這些星是在他為科西莫服務的第一年中發現的。他在佛羅倫薩有充分時間從事研究和寫作。
比薩大學
他提倡哥白尼學說，觸怒了羅馬宗教法庭，1616年被召到羅馬。他對於太陽中心論的傳播受到譴責，不得不答應不再發表關於這個專題的東西。1630年教皇烏爾班（Urban）八世允許他發表數學而不是教義的書。在1632年，他出版了經典著作《關於兩大世界體系的對話》（Dialogo dei massimi sistemi）。1633年羅馬教皇法庭再次傳喚他，在刑具威脅下，強迫他放棄對於太陽中心論的擁護。他再度被禁止發表東西，而且被迫過著實際上是軟禁的生活。但他仍然從事於寫出他多年來關於運動現象和材料力學的思想與工作。他的著作《關於兩門新科學的探討和科學證明》（Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno à duenuovescienze），又叫《關於兩門新科學的對話》，被秘密運到荷蘭，1638年在那裡出版。這是一部經典著作，在書中伽利略提出了自己的科學方法。他用以下的話為自己辯護：“我對教會和對我自己的良心的虔誠和崇敬從來沒有衰減過。”
伽利略在許多科學領域裡是傑出人物。他是敏銳的天文觀察者。他常被稱為近代發明之父；雖然他沒有發明望遠鏡[當時詩人瓊森（Ben Jonson）稱之為迷惑鏡]，但他一聽說這種想法，就立刻造出一個來。他是顯微鏡的一個獨立發明者，並且設計了第一個擺鐘。他又設計並製成一個羅盤，其標尺自動地給出數值結果，避免了計算之煩。這種羅盤銷路很廣，他做了很多個出售。
伽利略是第一個重要的近代聲學研究者。他提出一個聲波理論，並且開始進行關於音調、諧音和絃振動的研究工作。這工作被梅森和牛頓繼承，成為18世紀中數學工作的主要激發力。
伽利略的主要著作至今仍被認為是文學傑作。在他1610年寫的《恆星的使者》（Sidereus Nuncius）一書裡，他宣佈了他的天文觀測，並宣稱他是哥白尼理論的支持者。這書立刻給他帶來勝利，他被選為著名的羅馬“山貓學院”（Academy of the Lynx-like）成員。他的兩部經典著作《關於兩大世界體系的對話》和《關於兩門新科學的對話》寫得清楚、直接、機智而有深奧，書中伽利略讓一個角色提出流行的觀點，另一個角色對他作巧妙而堅定的辯論，指出這些觀點的錯誤和弱點以及新觀點的力量。
伽利略對於自然界堅決地同臆測的、神秘的看法決裂，而贊成力學的和數學的觀點。他還相信，科學問題不應該為神學的辯論所迷惑和矇蔽。他的科學成就之一就是他明確地認識了科學領域而決然地把它同宗教教條割斷。
伽利略相信自然界是用數學設計的。他1610年的敘述是著名的：
自然界是簡單而有秩序的，它的行為是規則的而且必要的。它按照完美而不變的數學規律活動著。神聖的理智是自然界中理性事物的源泉。上帝把嚴密的數學必要性放入世界，人只有通過艱苦努力才能領會這個必要性。因此，數學知識不但是絕對真理，而且像聖經那樣，每句每行都是神聖不可侵犯的。實際上，數學更優越，因為對聖經有許多不同的意見，而對真理則不會。
另一信條，德謨克利特的原子論，在伽利略的著作中比在笛卡爾的著作中更為明顯。原子論預先假定有空的空間（笛卡爾不承認這一點）和單個的不可毀滅的原子。變化是由原子的組合和分解構成的。物體中所有質的差別，都是由原子在數量、大小、形狀和位置排列上的差別造成的。原子的主要性質是不可透入性和不可毀滅性。這些性質可用來解釋化學現象與物理現象。伽利略擁護原子論，把它擺在科學學說的前線。
第一個提出原子論的德謨克利特
原子論把伽利略吸引到第一性和第二性的學說。他說：“如果把耳朵、舌頭和鼻子都去掉，我的意見是，形狀、數量[大小]和運動將仍存在，但將失掉嗅覺、味覺和聲覺，這些是從活的動物抽象出來的，照我看來，只是一些名詞而已。”因此，伽利略和笛卡爾一樣，一下子就剝掉了千百種現象和性質而集中到物質和運動著兩種可用數學描述的東西。在一個把運動問題作為最突出最嚴肅的問題的世紀裡，科學家認為運動是一個基本的物理現象，也許是不足為怪的。
伽利略的下一步思想，笛卡爾也曾提到過的，就是任何科學分支應在數學模型上取圖案。這包括兩個主要步驟。數學從公理出發，通過演繹推論而建立新的真理。據此，任何科學分支，都應從公理或原理出發，然後演繹地進行下去，還應從公理推出儘量多的結果。這個思想源於亞里士多德，他尋求的也是在數學模型指引下的演繹結構。
可是，伽利略根本上不同於希臘人，不同於中世紀的科學家甚至笛卡爾之處，在於他的尋求基本原理的方法。前人和笛卡爾都相信基本原理出自心中，心只需對任何一類現象去想，就能認出基本的真理。心的這種力量，在數學中明白地得到證實。像“等量加等量結果還相等”和“兩個點確定一條直線”等公理，只要我們想到數和幾何圖形，就會立刻呈現出來，而且是無可爭辯的真理。希臘人也曾找出一些自明的物理原理。例如“宇宙中所有物體都應有自然位置”，這條原理是再恰當沒有的了。靜止狀態看來顯然比運動狀態更為自然。必須用力來推動和保持物體的運動，這也似乎是無可爭辯的。相信心能夠提供基本原理，並不否認觀測在獲得這些原理的過程中可能起的作用。但是觀測只是喚起正確的原理，正如看見一個熟識的面孔，就能想起有關那個人的事情一樣。
希臘和中世紀的科學家如此相信先天的基本原理，以至當觀測偶然不符合時，他們就造出特殊的解釋來保存原理，同時也說明異常的地方。這些人，照伽利略的說法，是首先決定世界應該如何作用著，然後把他們所看見的東西配合到他們預想的原理中去。
伽利略決定在物理學中，和在數學中相反，基本原理必須來自經驗與實驗。尋求正確而基本的原理的道路，是要注意什麼是自然界說的，而不必注意什麼是心之所願的。他辯論道，自然界不是先造出人腦，然後把世界安排得使它能被人的智慧所接受。對於中世紀的思想家無休止地重複亞里士多德的話並且爭論它的含義，伽利略給以批評說，知識來自觀測，不來自書本，關於亞里士多德的辯論是無用的。他說：“當我們得到自然界的意志時，權威是沒有意義的……”
有些文藝復興時代的思想家以及伽利略的同時代人弗朗西斯·培根也得出同樣的結論：實驗是必要的。在他的新方法這一特殊方面，伽利略並沒有走在別人前面。但是，笛卡爾卻認為伽利略依賴於實驗的辦法是不明智的。笛卡爾說，感官所及的事情只能引向幻覺，只有理性能透過幻覺。從內心所提供的天生的一般原理，我們能推出自然界的特殊現象，並且理解它們。伽利略確曾領會到，人可能從實驗得出不正確的原理，因而從這原理得出的推論也是不正確的。因此，他建議用實驗去考核推理的結果，並且去獲得基本原理。
就實驗而論，伽利略確是一個過渡人物。他還有50年後的牛頓，都相信少數關鍵性實驗應該能產生正確的基本原理。不僅如此，有許多伽利略叫做實驗的，實際上是思想中的實驗，這就是說，他依靠日常經驗去想象如果真作實驗的話，應該得到什麼結果，於是他就堅信不疑地作出結論，好像他曾真正作過實驗一樣。
當他在《關於兩大世界體系的對話》中描寫到一個球從航行著的船的桅杆頂上掉下來的運動時，辛普利丘（Simplico，書中對話人之一）問他是否作過實驗。伽利略答道：“沒有作過，我不需要作，即使沒有任何經驗，我也能肯定是這樣的，因為它不能不是這樣。”事實上，他說他很少作實驗，作實驗主要是為了駁斥那些不遵循數學的人。
這事的真實情況是伽利略對於自然有一些成見，這使他相信有少許實驗就足夠了。例如，他相信自然界是簡單的，因此當他考慮自由落體以遞增的速度下降時，他斷定速度增加在下降的每一秒時間內是一樣的，這是最簡單的“真理”。他也相信自然界是用數學設計出來的，因此任何數學定律，即使只是在很有限的實驗中似乎是對的，在他看來就是對的。
伽利略和惠更斯、牛頓一樣，認為科學工作中的演繹數學部分所起的作用比實驗部分所起的作用要大。對伽利略說來，由一個單獨的原理推出大量定理所引起的自豪感，不亞於該原理本身的發現所引起的自豪感。為近代科學造型的人——笛卡爾、伽利略、惠更斯和牛頓（還可加上哥白尼和開普勒）——都是以數學家的身份去探索自然，無論在一般方法上或具體研究上都是這樣。他們是懸擬式的思想家，期望通過直觀或通過關鍵性的觀察和實驗去了解廣泛的、深刻的（但是簡單的）、清晰而且不變的數學原理，然後從這些基本原理導出新的定律，完全和數學本身構造它的幾何的方式一樣。大量的活動是演繹部分，整個的思想體系就是這樣導出的。
17世紀的大思想家所想象的科學的正當程序，後來確實證明是有益的。用理性去尋求自然界定律，到了牛頓的時代，在薄弱的觀察和實驗的基礎上，導出了極有價值的結果。16、17世紀的巨大科學成就是在天文學和力學方面，關於前者，觀測只給出了很少一點新鮮的東西；關於後者，實驗的結果很難說是驚人的，而且確實是沒有決定性的。但是，數學理論卻達到了廣博與完善的地步。在後來的兩個世紀中，科學家根據極少甚至瑣碎的觀測和實驗，給出了深刻而廣泛的自然定律。
伽利略、惠更斯和牛頓都期望有少數實驗就夠了。這期望是容易理解的，因為他們都相信自然界是用數學設計的，所以沒有理由不按照數學家研究數學的程序去進行科學的研究。正如蘭德爾（John Herman Randall）在《近代思想的形成》（Making of the Modern Mind）一書中所說：“科學產生於用數學解釋自然這一信念......”
但是，伽利略確實從經驗中得出幾個原則，而且他的研究方式截然不同於他的前輩。他斷定人必須深入到現象的基本中去，而把後者作為起點。在《關於兩門新科學的對話》中，他說，處理無窮多樣的重量、形狀和速度是不可能的。他曾經觀察到不同的物體在空氣裡降落的速度差異，比在水裡的要小。介質越稀薄，差異越小。“當觀察到這點之後，我就得出結論：在一個完全沒有阻力的介質中，所有物體以同一速度降落。”伽利略在這裡所做的是去掉偶然的或次要的效應，得到首要的效應。
當然，實際的物體是在有阻力的介質中降落的。他的回答是：“……因此，為了科學地進行處理，必須割掉這些困難，在無阻力的情形下，發現並且證明這些定理之後，再按照實際經驗所給予的限制來應用這些定理。”
去掉空氣阻力和摩擦力之後，伽利略找出了在真空裡運動的基本定律。這樣，他不僅用物體在空的空間中運動的概念來駁斥亞里士多德，甚至駁斥笛卡爾，而且他所做的正如數學家在研究實際圖形時所做的那樣。數學家從線上去掉分子構造、顏色和厚度而得到線的基本性質，然後就集中研究這些性質。數學的抽象方法離開了現實，但當回到現實時，卻比所有因素都考慮進去更為有力。
伽利略的下一個原理，是關於數學本身的應用，但只是一個特殊方式的應用。亞里士多德派和中世紀的科學家都倒向質的方面，他們認為質是基本的。他們研究質的獲得與喪失，辯論質的意義。伽利略和他們不同，主張尋求量的公理。這個改變最為重要。舉個簡例。亞里士多德派說，球的降落是因為它有重量；它落在地上，是因為任何物體都要找它的自然位置；而重物的自然位置是地球的中心。這些原理都是屬於質的。甚至開普勒的第一運動定理——行星的軌道是橢圓——也是屬於質的。與此相反，讓我們來看這一敘述：球在降落中每秒鐘的速度，以英尺計，是32乘以開始降落後所經歷的秒數，用符號表示便是v=32t。這是一個關於球如何降落的量的敘述。伽利略著意於找出這樣的敘述作為公理，並期望用數學方法得出一些推論，這些推論將仍給出量的知識。
決定去尋求用公式表達的量的知識，帶來了另一個根本的決定。亞里士多德派相信，科學的任務之一是要解釋事情為什麼發生，解釋一詞意味著把現象的原因挖掘出來。“物體降落，因為它有重量”這一敘述給出降落的直接原因，而“物體找它的自然位置”這一敘述則給出最後原因。但是，量的敘述v = 32t，不管它價值如何，沒有解釋物體為什麼降落，它只說明速率是怎樣隨著時間而變的。換句話說，公式不解釋，只描寫。伽利略尋求的自然知識是描寫性的。他在《兩門新科學》中說：“落體運動的加速度的原因何在，不是研究工作的必要部分。”更一般些，他指出，他將研究並證明運動的若干性質，而不管其原因是什麼。實證的科學探討，要同最後原因的問題分開，對於物理原因的忖度應該放棄。
對伽利略的這個原理的初次反應，勢必是否定的。用公式描寫自然現象，只能說是第一步。亞里士多德派好像實際上已掌握了科學的真正作用，這就是解釋種種現象為什麼發生。甚至笛卡爾也提出抗議，他說：“伽利略關於真空中落體所說的一切都是沒有根據的，他應該首先定出重量的本質。”笛卡爾又說，伽利略應該在最後的理由上著想。但是，伽利略追求描寫的決定是歷來關於科學方法論的最深刻最有成效的思想。
儘管亞里士多德派已經談到一些關於質的名詞，例如流動性、剛性、要素、自然位置、自然的和猛烈的運動，以及潛勢等，伽利略卻選擇了一組全新的可以測量的概念，使得它們的測度可以用公式聯繫起來。這組概念包括距離、時間、速度、加速度、力、質量和重量等。這些概念我們是太熟悉了，不覺得有什麼奇怪，但在伽利略的時代，這是徹底的改造，至少作為基本概念來說是如此。這些概念在瞭解和掌握自然的努力中，已證明是最有幫助的。
我們已經描述出伽利略程序的主要特點。其中有些思想是別人曾經提出的，有些則完全是他自己的創造。但是，伽利略的卓越之處在於他非常清楚地看出當時科學研究工作中的錯誤和缺點，徹底地拋棄了舊的方式，而又非常明白地制定了新的程序。另外，在應用這些程序於運動問題時，他不但表演了這個方法，而且成功地獲得了輝煌的成果——換句話說，他證明了他的程序是有效的。他工作的完整、思想和表達的明晰以及論辯的力量，影響了幾乎所有他的同輩和後輩。伽利略是近代科學方法論的奠基人。他完全意識到他的成就，別人也意識到他的成就。哲學家霍布斯談到伽利略時說：“他是第一個給我們打開通向整個物理領域的門的人。”
牛頓全盤接受了伽利略的程序。牛頓斷言，需要用實驗來提供基本定律。他又明白知道，在得到一些基本原理之後，科學的作用就是從這些原理推出新的事實。他在《自然哲學的數學原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）的序文中說：
牛頓在《原理》中說，他的目的是要發現並宣告“一切事物按測度、數目和重量安排”的準確方式。牛頓有充分理由來強調與物理解釋針鋒相對的量的數學定律，因為在他的天體力學裡，中心的物理概念是引力，而引力的作用是完全不能用物理的術語解釋的。牛頓不給解釋，只給出一個顯明而有用的數量公式，表明引力是怎樣作用的。這就是為什麼他在《原理》的開端說：“因此，我計劃在這裡只給出這些力的數學概念，不考慮它們的物理原因和根底。”在書接近末尾的地方，他又重複他的思想：
放棄物理的機械解釋而改用數學的描寫，甚至傑出的科學家也感到震驚。惠更斯認為引力的概念是“荒謬的”，因為穿越空的空間的作用，排除了任何機械的解釋。他很驚訝牛頓竟然自找麻煩去作這樣多費力的計算，其中除了引力的數學原理以外，別無根據。萊布尼茨攻擊引力，說它是一個無實質而又不可解釋的力量。約翰·伯努利（John Bernoulli，雅各布·伯努利的弟弟）也否定它，認為它“背叛了那些習慣於除了無可爭辯和論據確鑿的物理原理而外，不接受任何物理原理的思想”。但是，只有依靠數學的描寫（即使完全缺乏物理的瞭解時也依靠它）才使得牛頓的驚人貢獻成為可能，更不用說後來的發展了。
由於科學變得沉重地依賴於數學，所以擴展數學領域和數學技術的人是科學家；而科學所提供的種種問題，給數學家的創造性工作指出了許多重要的方向。
三、函數概念
按照伽利略程序進行的科學探討，第一個數學收穫來自對運動的研究。這個問題吸引了17世紀的科學家和數學家。在17世紀的早期，特別是在伽利略給太陽中心論增添了證據之後，開普勒的天文學已為一般人所接受，但他的橢圓運動定律只是近似的。作用於任何兩個物體間的引力的概念，已由開普勒（還有別人）提示過。如何改進計算行星位置的問題還未解決。開普勒得到定律主要是依靠用曲線去擬合天文數據，但沒有根據基本的運動定律取解釋為什麼行星沿著橢圓軌道運動。關於如何從運動原理導出開普勒定律這一基本問題，是一個明顯的挑戰。
改進天文學理論，還有一個實用的目的：水手們需要測定緯度和經度的準確方法。緯度可以通過觀察太陽或恆星來確定，但測定經度則較困難。16世紀的測經度的辦法經常產生大約500英里的誤差。大約1514年之後，經度是用月球對一些恆星的相對方向來確定的。不過，這個方法也不準確。就是在牛頓的時代，關於月球位置的知識仍是這樣得不準確，以至用表冊來確定船在海中的位置，可以導致大到100英里的誤差。1675年，英王查理（Charles）二世在格林尼治（Greenwich）建立起皇家觀測臺，以期對月球運動得到較好的觀測，並且把該臺作為測定經度的固定站。1712年，英國政府設立一個“經度測定委員會”，並且設置高達兩萬英鎊的獎金來徵求測量經度的方案。
格林尼治天文臺
17世紀的科學家也面臨著解釋地球運動問題。既然地球不再是宇宙的中心，為什麼物體應該待在地球上呢？為什麼下降的物體要落到地球上呢？不僅如此，從一切運動，例如拋射體的運動來看，好像地球是靜止的。這些問題激起了許多人的注意，其中包括卡爾達諾、塔爾塔利亞、伽利略和牛頓。拋射體的路線、射程和所能達到的高度，以及炮彈的速度對於高度和射程的影響都是基本的問題，因而當時的親王們花了大量的錢來謀求解決。科學家們想到，因為宇宙據信是按照一個宏偉的計劃造成的，所以能解釋地球運動的原理，也能解釋天體的運動。
從各種運動問題的研究中出現了一個特殊的問題：如何設計一些較為準確的方法來測量時間？從1348年以後通用的機械鐘是不夠準確的。佛蘭芒人（Flemish）的製圖家弗裡修斯（Gemma Frisius，1508—1555）曾提出用時鐘來測定經度。但是截止到1600年，還沒有準確的、耐久的、適用於航海的鐘。
伽利略注意到擺的往復所用的時間是固定的，而且看來是與擺幅無關的。他設計了擺鐘，並且叫他的兒子造出一個來。但是對單擺做出基本工作的，卻是胡克（Robert Hooke）和惠更斯。適用於航海的鐘終於由哈里森（JohnHarrison，1693—1776）在1761年設計出來，在18世紀末開始使用。在這之前，由於沒有適當的鍾，所以關於月球運動的準確觀測還是那個世紀的主要科學問題。
伽利略擺鐘手稿
數學從運動的研究中引出了一個基本概念。在那以後的二百年裡，這個概念在幾乎所有的工作中佔中心位置，這就是函數——或變量間的關係——的概念。伽利略創立近代力學的著作《兩門新科學》幾乎從頭至尾包含著這個概念。伽利略用文字和比例的語言表達函數關係。例如，“兩個等體積圓柱體的面積（底面積除外）之比，等於它們高度之比的平方根。”又如：“兩個側面積相等的正圓柱，其體積之比等於它們高度之比的反比。”如：“從靜止狀態開始以定常加速度下降的物體，其經過的距離與所用時間的平方成正比。”“沿著同高度但不同坡度的傾斜平板下滑的物體，其下滑的時間與平板的長度成正比。”這些話清楚地表明他是在討論變數和函數，只差把文字敘述表為符號形式這短短的一步了。不久之後，伽利略關於落體距離的敘述就寫為s = kt²，關於沿斜板下滑時間的敘述就寫為t = kl。
在17世紀引進的絕大部分函數，在函數概念還沒有充分認識以前，是當作曲線來研究的。例如，關於log x、sin x和等初等超越函數的研究就是這樣。伽利略的學生托里拆利（Evangelista Torricelli，1608—1647）在1644年的一封信裡，描述他對曲線的研究（他的原稿直到1900年才刊出）。他是受到當時的對數工作的啟發而考慮這條曲線的。笛卡爾在1639年也碰到過這條曲線，但沒有談到它和對數的關係。正弦曲線是通過羅貝瓦爾關於旋輪線的研究，作為旋輪線的伴侶曲線進入數學的。沃利斯在他的《力學》（Mechanica，1670）中給正弦曲線畫了兩個週期的圖。那時的三角函數表和對數函數表是非常精確的。
另一與此有關的事，是用運動概念來引進舊的和新的曲線。在希臘時代，有少數曲線例如割圓曲線和阿基米德螺線，是用運動定義的。但在那時這些曲線不屬於正規數學的範圍。到了17世紀，看法就不同了。梅森在1615年把前人已知的曲線cycloid（旋輪線）定義為當車輪沿地面滾動時輪上一個定點的軌跡。伽利略證明把物體斜拋向空中時，路徑是一個parabola（拋物線），因而把這曲線看作動點的軌跡。
把曲線看作動點的路徑這一概念，通過羅貝瓦爾、巴羅和牛頓而獲得明顯的認可與接受。牛頓在《求曲邊形的面積》（Quadrature of Curves，寫於1676年）中說：“我認為這裡的數學量，不是由小塊合成的，而是由連續運動描出的。線是描畫出來的，因而它的產生不是由於湊零為整，而是由於點的連續運動……這樣的起源，真正發生在事物的本性中，並且是日常從物體的運動中看見的。”
逐漸地就給這些曲線代表的各類函數引進了名詞和記號。但還存在著許多沒有認識到的細微的難點。例如，在17世紀中，函數（x是正負整數或分數）的使用，已經很普通了。那時假定（此假定一直到19世紀定義了無理數之後才取消）此函數對於無理數也有意義。因此人們對於形如的式子沒有發生過疑問，而默認它的值位於同樣形式的兩個數之間，其中一個的指數是小於的任何有理數，另一個的指數是大於的任何有理數。
笛卡爾提的幾何曲線和機械曲線的區別，引出了代數函數和超越函數的區別。幸而笛卡爾的同時代人沒有注意到他排斥機械曲線的事。通過求面積、求級數和，以及進入微積分裡的其他運算，人們發現並研究了許多超越函數。詹姆斯·格雷戈裡在1667年證明圓扇形的面積不能表為圓半徑和絃的代數函數，從而明確了代數函數和超越函數的區別。萊布尼茨證明sin x不可能是x的代數函數，無意中證明了詹姆斯·格雷戈裡尋求的結果。
蘇格蘭數學家格雷戈裡
17世紀中，函數概念的定義以詹姆斯·格雷戈裡在他的論文《論圓和雙曲線的求積》（Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura，1667）中所給出的最為明顯。他定義函數是這樣一個量：它是從一些其他的量經過一系列代數運算而得到的，或者經過任何其他可以想象到的運算而得到的。這最後一句話的意思，據他的解釋是除了五種代數運算以外，必須再加上一個第六種運算，即趨於極限的運算。詹姆斯·格雷戈裡的定義被遺忘了，但無論如何，不久就證明他的定義太窄，因為函數的級數表示式不久就廣泛地使用開了。
自從牛頓於1665年開始微積分的工作之後，他一直用“流量”（fluent）一詞來表示變量間的關係。萊布尼茨在他1673年的一篇手稿裡用“函數”（function）一詞來表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量——例如切線、法線、次切線等的長度以及縱座標等。至於該曲線本身，據他說是由一個方程式給出的。萊布尼茨又引進“常量”、“變量”和“參變量”，這最後一詞是用在曲線族中的。約翰·伯努利自1697年起就談到一個按任何方式用變量和常量構成的量（“任何方式”一詞據他說是包括代數式子和超越式子而言）。到1698年他採用了萊布尼茨的“x的函數”一詞作為他這個量的名字。萊布尼茨在他的著作《歷史》（Historia，1714）中，用“函數”一詞來表示依賴於一個變量的量。
瑞士數學家約翰·伯努利
在符號方面，約翰·伯努利利用X或ξ表示一般的x的函數，但到了1718年他又改寫為ϕx。萊布尼茨同意這樣做，但又提出用x、x²等來表示x的函數，其上標是在同時考慮幾個函數時用的。記號f(x)是歐拉於1734年引進的。從此函數概念就成了微積分裡的中心概念。
變量與函數的引入將數學從常量時期代入了變量時期。
下一講：微積分的創立
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