學以致用是學習的根本目的
小李是一名初中數學老師，剛畢業兩年。他勤奮地備課、上課和批改作業，希望自己能教出一個年級第一，秀一把教學上的實力。
幾次考試下來，小李發現，如果某一道試題的類型平時有練過，學生的得分率比較有保障；可是如果平時沒練過，即便題目本身難度不大，學生的得分率也低得不敢恭維。
小李覺得這是自己抓題型不夠全面的緣故，於是加大了挖掘題型的力度，同時讓學生反覆練習，三道不夠來五道，五道不夠來十道。結果呢，學生在常規題上，得分的確穩定了一些，但只要題目稍作改變，學生還是轉不過彎來。
一次周測，試卷上有一道4分的填空題，小李平時沒講過，不出所料，他的兩個班都在這道題上“全軍覆沒”。他懊惱地去打水，看到老王也在改這份試卷，便借來翻一翻，發現老王的學生在這道題上幾乎都拿了滿分。小李好奇地問：“你是什麼時候講過這種題目的？”“我還沒講過，匆匆忙忙地就考了！”老王回答。小李大吃一驚：“那你的學生在這道題的得分率怎麼這麼高？”“是嗎？我感覺一般吧。”老王一臉的誠懇。
小李納悶了：“同樣的知識點，同樣沒講過的題型，為什麼老王的學生能解決，我的學生卻解決不了？”
學生對學過的知識不會用，老師該如何解決
1.小李的問題本質上是什麼？
和小李一樣，許多老師關心和思考的一個問題，就是如何在有限的時間內，幫助學生把所寫的數學知識達到學以致用，能不能解決生活問題另說，起碼先能夠用來解決考試的題目吧！
在心理學上，把在某一個情境下學到的知識，應用到另一個情境中的現象，叫做遷移。小李想要解決的，其實就是怎樣才能幫助學生實現學習的正向遷移。
美國的心理學家奧蘇貝爾認為，遷移與學生的認知結構及其特徵有關，為此他提出了認知結構遷移理論。
他根據新知識與學生頭腦中舊知識之間的關係，將學生的學習分成機械學習和有意義學習兩種。在機械學習中，新知識與舊知識的關係是非實質的和人為的，比如學生把乘法口訣背得很溜，但對背後的邏輯一無所知；在有意義學習中，新知識與舊知識的關係是實質性的和非人為的，比如學生根據“三角形內角和等於180°”，理解“等腰三角形內角和等於180°”這一結論。
認知結構理論指出，一切有意義的學習，都是建立在原有認知結構的基礎之上，受原有認知結構的影響，因此它本身就包含了遷移。
什麼是認知結構？認知結構就是學生頭腦裡的知識結構，從狹義上看，它是學生頭腦裡所有對數學知識的理解與看法的集合。
不會應用是表象，認知結構的完善才是根本
遷移是以認知結構為中介，舊的學習通過影響原有認知結構的有關特徵，來影響新的學習。奧蘇貝爾提出，影響遷移的特徵主要有三個：
一是認知結構的可利用性，指原有知識結構中是否具有能同化新知識的適當觀念。什麼是同化？同化就是把獲得的信息進行轉化，使之符合原有的認知方式。比如學生第一次遇到“矩形”兩字感到陌生，你解釋“矩形就是長方形”，他秒懂，這就是同化。對於能否同化新知識的觀念，它們概括程度越高，包容性越大，遷移就越容易發生。
二是認知結構的可辨別性，指學習者能否分清新舊知識之間的相同點和不同點。高分辨度可以避免知識點之間的混淆帶來的遷移干擾。比如有的學生在學有理數的加減時，做習題得心應手，可學了有理數乘法以後，就出現“-3+（-2）=5”這樣的錯誤，這是沒有分清加法和乘法在符號處理方面的異同，導致混淆的結果。
三是認知結構的穩定性，指用來同化新知識的知識的鞏固程度。鞏固程度越高，越有助於遷移。 比如很多學生表示“角平分線上的點到該角兩邊的距離相等”這一性質接受不了，其實是因為他們對“點到直線的距離”這一概念未能鞏固，有句話說的好：“基礎不牢，地動山搖”，先學的概念沒鞏固，後面的概念就會學得相當吃力。
奧蘇伯爾的認知結構遷移理論代表了從認知觀點來解釋遷移的一種主流傾向。
認知結構的可利用性、可辨別性和穩定性，對學習的遷移缺一不可
2.老師如何幫助學生促進遷移的順利進行？
只要原有認知結構影響了新的學習，就存在遷移。為了促進遷移的順利進行，老師需要幫助學生塑造良好的認知結構，提高學生認知結構的可利用性、可辨別性和穩定性。
（1）設計先行組織者，提高原有認知結構的可利用性和可辨別性
先行組織者是指在新的學習任務開始前呈現的引導性材料，它的目的是為新的學習內容提供觀念上的固著點，在原有知識和新的知識之間架起一座“認知橋樑”，讓學生有效地學習新材料。
先行組織者分為兩類：
一類是陳述性組織者，它與新的學習產生一種上位關係，目的是為新的學習提供最適當的類屬者，提高原有認知結構的可利用性。
比如學習菱形和矩形，課本一上來先提供幾張平行四邊形的圖片，讓學生觀察它們的共同特徵，接著就提出菱形和矩形的概念。如果老師老老實實地按這個步驟教，學生可能會疑惑：“好不容易才學完平行四邊形，怎麼又冒出菱形和矩形，還有正方形是什麼鬼？！”
老師不妨換個思路，引導學生從邊的角度看四邊形的進化路線。一個四邊形的四條邊可以分為對邊和鄰邊。其中，對邊有兩組，如果一組平行，另一組不平行，那麼這個四邊形就會變成一個梯形；如果兩組對邊分別平行，那麼這個四邊形就是平行四邊形。
平行四邊形還可以怎麼進化呢？對邊分析完了，我們考慮鄰邊。鄰邊有兩種進化可能，一種是相等，另一種是垂直。如果鄰邊相等，平行四邊形就會變成菱形；如果鄰邊垂直，平行四邊形就會變成矩形；如果相等和垂直一起滿足，平行四邊形就會變成正方形，可以說是四邊形的終極形態。這樣解釋，學生對菱形、矩形和正方形的概念會更容易上手。
陳述性組織者對於言語和分析能力較普通的學生更為有效，因為它為學生提供適當的圖式，把新舊知識聯繫起來，促進學生的理解，避免了不必要的機械記憶。
陳述性組織者的作用，在於提供適當的框架，把新舊知識聯繫起來
除了陳述性組織者，另一類是比較性組織者，通常用於比較熟悉的學習材料，目的是比較新的知識與原有認知結構中的相關知識，提高原有認知結構的可辨別性。
比如學生在學習菱形時，對菱形的性質會用得挺順手，可是學了矩形後，就會鬧出看到菱形就得到對角線相等的笑話，這是把菱形和矩形的性質混淆的結果。因此，老師不妨列出一個表，比較菱形和矩形在性質上的共同點和不同點，這樣有助於學生加深印象，避免把兩者的有關性質混淆。
類似的例子還有很多，比如絕對值、相反數和倒數這三個概念，許多學生臨近中考了，還傻傻分不清楚；還有判定直角三角形全等的“HL”條件，常常被學生當做“SAS”來用......
心理學家通過大量實驗表明，當原有知識不穩定和不清晰時，使用比較性組織者對認知結構可辨別性的提高更有幫助；而當原有知識已經得到鞏固和清晰時，只有過度學習新知識才能提高認知結構的可辨別性。 比如在學矩形時，如果學生對菱形的性質還不過關時，比較矩形和菱形的異同點，能夠幫助學生同時加深兩者的印象；可是如果學生對菱形的性質已經鞏固了，與其作比較，不如多來幾組矩形有關的習題，當然要注意適度。
比較性組織者的作用，在於分清新舊知識的異同點，避免混淆
（2）利用刻意練習，提高認知結構的穩定性。
認知結構的穩定性，涉及知識的鞏固程度。現代神經科學和認知科學認為，人的知識和技能，其實是大腦內一系列神經纖維傳遞的電脈衝信號的組合。在知識的學習過程中，神經元外側的脂質，我們稱為髓磷脂，起到了關鍵的作用，它能像膠皮把電線包起來一樣，把神經纖維給包起來，通過防止電脈衝外洩而使得信號更強、更快、更準確，知識因此得以鞏固。
人腦之中分佈著大量“自由的”髓磷脂，它們觀測腦神經纖維的信號發射和組合，哪些神經纖維用的越多，它們就過去把這一段線路給包起來，保護其中的電脈衝信號，從這個角度看，練習是鞏固知識和技能的不二法門，而迄今為止發現的最強大的學習方法，就是刻意練習。
刻意練習的目前為止最有效的學習方法
要想用好刻意練習，老師需要把握四個要點。
第一，只在學習區練習。
做題是學生常用的練習方式。一道題，如果學生不費勁就解出來，說明它處在學生的舒適區；如果學生看了半天還無從下手，甚至題目都沒看懂，說明它處在學生的恐慌區；而如果學生皺起眉頭思考，能找到大部分的思路，那就說明它處在學生的學習區。
刻意練習對老師的第一個要求，就是努力讓學習任務落在學生的“學習區”內，具有高度的針對性。可是，一個班有幾十個學生，同樣的任務不可能同時落入每個學生的學習區。為此，老師可以做兩件事情。
第一件事情是整理習題。學一個知識點，我們可以從課本、學案、配套練習和網絡題庫四個渠道，找到充足的習題。有的老師懶得想，一張學案從頭搞到尾就完事，這樣很難有針對性。更好的選擇，是把找到的題目進行分類，先按核心知識點分，在從易到難排序。
比如學習菱形的性質，找夠習題後，我們可以把考查“四邊相等”的題目歸一類，把考查“對角線垂直”的題目歸一類，然後從易到難排序，形成一份習題清單備用。
第二件事情就是動態佈置練習任務，原則是“抓兩頭，帶中間”。“兩頭”指的是班裡成績水平領先和落後的學生，“中間”指的是成績水平介入兩頭之間的學生。在給學生布置練習任務時，我們不妨以中間學生的“學習區”為基準，來指定習題；對於成績水平領先的學生，鼓勵他們用更快的速度完成任務，然後從清單中找更難的題目挑戰；而對於成績水平落後的學生，我們可以想辦法和他們一起找到可以做的事情，比如閱讀筆記和講過的例題，甚至閱讀其他同學的答案。
設置梯度任務，幫助學生進入自己的“學習區”練習
第二，大量重複訓練
從不會到會，秘訣在於重複。艾賓浩斯遺忘曲線告訴我們，學習一個知識，如果不及時練習回顧，學生很快就會遺忘，最後所剩無幾。可是，一個學期的教學時間有限，要學習的知識點有多，老師又該如何在新課和複習中取得平衡呢？
答案就是調整練習的間隔。艾賓浩斯在記憶保持曲線的基礎上，發明了一種“351-351”複習法：學生把一個知識點理解並記住後，要儘量在3小時之內複習一遍，接下來，在5小時內、10小時內、3天內、5天內、10天內分別複習一遍，經過這6次的學習，長期記憶就會形成，該知識點也會得到鞏固。
老師可以做的是，白天講完知識點後，在當晚的作業中佈置相應的題目；在接下來的三天，每節課的課前小測，還有連續兩週的周測，都安排一定量的題目；如果周測發現學生還不過關，可以視情況加一兩節複習課或練習課，就這樣反覆練習，幫助學生鞏固知識。
熟能生巧，仍未過時
第三，持續獲得有效反饋
老師最大的作用是什麼？有的人認為是激發學生的學習興趣，有的人認為是傳道受業解惑，其實對於學生的學習來講，老師最大的作用，應該是提供即時有效的反饋。
一個知識用得好不好，最好有老師隨時指出，學生必須能夠隨時瞭解練習結果，看不到結果的練習等於沒有練習。在某種程度上，刻意練習是以錯誤為中心的練習，學生需要建立起對錯誤的極度敏感，一旦發現自己錯了就感到非常不舒服，一直練習到改正為止。
反饋要想做到即時，老師需要提高結果分析能力。課堂上，學生在練習時，老師不妨手拿紅筆來回巡視，發現錯誤就悄無聲息地畫個圈提醒，一輪練習做完後，立即把觀察到的問題做個統一點評，讓學生知曉。對於學生的作業和周測卷，老師或者提高批改速度，或者委託科代表幫忙，或者直接板書答案，供學生訂正，總之，要趁學生心裡還有一絲惦記的時候，完成反饋的提供，這樣才有助於激發學生持續的積極性。有的老師不緊不慢，作業收上來好幾天才發，這週考試下一週才改完評講，學生早已經忘記了，效果自然大打折扣。
反饋要想做到有效，老師就不能僅僅滿足於打勾打叉，簡單地評個ABCD等級，這是浮於表面的反饋。三流老師只會告訴學生答案對錯，二流老師能夠指出學生錯誤背後的原因，而一流老師能預見學生大概率會犯哪些錯誤，通過設計題目，讓學生和常見的錯誤“不期而遇”，從而有效改正。這種預見性的修煉，離不開個人平時對經驗的總結和積累，也離不開備課組的通力合作和精心教研。
能提供即時有效的反饋，是老師的核心價值所在
第四，精神高度集中
有一年幸運地跟一位教學大神同事同一個備課組，據說她上課風趣幽默，很受學生喜歡，成績也是槓槓的。我特地把自己的課調開，連續聽了她好幾個禮拜的課，發現了一個細節：在講知識點的時候，課室裡的確是歡聲笑語的一片，可是到了做練習的時候，課室裡會出奇地安靜，仔細一看，幾乎每個學生都專心地盯著題目思考，上一秒還開著玩笑的同事，此時是一臉的嚴肅，掌控著整個紀律。
刻意練習沒有“寓教於樂”這個概念。曾經有個著名小提琴家說過，如果你是練習手指，你可以練一整天；可是如果你是練習腦子，你每天能練兩個小時就不錯了，因為高度集中是一件很耗體力的活。《娛樂至死》的作者波茲曼說過，從來沒有任何一位先賢說應該寓教於樂。教育哲學家從來都認為獲得知識是一件困難的事情，學習是要付出代價的，耐力和汗水不可少。
因此，在學生做練習時，老師最好的選擇，就是管理好紀律，營造一個獨立思考的安靜氛圍。這不是一件容易的事，有的學生總是忍不住開小差，或者找身邊的人討論，有的老師可能覺得為難，管吧，人家在討論問題；不管吧，討論的學生越來越多，課堂很快就會嘈雜一片。解決的一個辦法，就是劃定獨學和討論的時間，先保證獨立思考，再適當兼顧討論。為了讓學生能夠集中精力，老師需要把練習的紀律牢牢地掌控住才行。
老師需要營造獨立思考的氛圍，呵護學生的專注力
現代管理學之父彼得·德魯克說過：“你唯一的能力就是應用知識創造價值的能力。”從系統的角度看，知識的應用是知識管理的一部分，它與知識的輸入、以及認知結構的搭建是分不開的。作為老師，我們不能把目光侷限於學生解決所謂的常見題型，而應該幫助學生完善知識的管理，從根本上提高學習效率。
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