數學是一門奇妙的學科，從最簡單的算數到極難的橢圓曲線問題，我們從中都可以看到一些彷彿和我們直觀印象不符，有些反直覺的知識，還有一些很有意思的數學趣聞，下面就舉一些簡單的例子讓大家感受數學的奇妙。
首先是最常見的一個問題：0.999.......是否等於1，其實按照現在實數定義，這兩個數是嚴格相等的，並不是0.9999...的極限等於1，嚴格的證明可以使用戴德金分割來證明，一般使用1/3之類的證明是不嚴謹的，因為無限小數嚴格來說不能做四則運算。
算術中的1+1=2並不是公理，根據皮亞諾公理它是嚴格可證的。
科赫曲線：面積有限，周長無限。
托里拆利小號：體積有限，表面積無限。
不動點定理：把一張世界地圖揉成一團，隨機地丟地上，地圖上的一個地點的垂直投影必定和現實中這個地點在空間上相重合。
e是無理數，π是無理數，那麼e+π，e-π，e*π，e/π是有理數還是無理數呢？看似如此簡單的問題，人們不知道。
不可計算數：蔡廷常數，這聽起來有點不可思議，蔡廷常數是一個確定的數字，但現已在理論上證明了，你是永遠無法求出它來的。
五次方程沒有根式解，是不是很令人沮喪與費解，但這就是事實。
上下山問題：爬同一座山，上山速度3m/s，下山速度5m/s，平均速度不是4m/s。也有點反常識，但簡單計算一下就知道了。
調和級數是發散的！
皮筋與螞蟻問題：一隻螞蟻在理性彈性繩的一端，向另一端以每秒1cm的速度爬行。彈性繩同時以每秒10cm的速度均勻地拉長，螞蟻能否爬到終點？如果以每秒100cm的速度均勻拉長呢？
擺線長度：擺線長度等於圓直徑四倍，這條與圓息息相關，怎麼看怎麼“無理”的一條線，長度不僅和π沒有關係，還是個漂亮的整數倍！太不可理解了，一個圓滾出來的線居然與π無關。
正多邊形有無窮多個，那麼正多面體呢？有點意外，只有五種，其實這個不是很難證明，用歐拉定理就可以。
最大有意義的數：葛立恆數（當然現在不是啦，但他的構造是最讓人能理解的，其它的Tree（3）之類構造就很難讓人聽懂），這個數的第一層就已經遠遠超出人類的想像，你甚至無法說出這個數的位數的位數的位數的位數（隨便你寫n多位數）。。。。。。（比如1234567890這個數的位數是10，而10的位數是2，2的位數是1）
關於維度：數學中的空間維度和物理中的維度定義是不盡相同的。數學中關於空間維度中的定義是過直線上一點可以做幾條相互垂直的線。所以大家看一些科普讀物的時候要做區分。
橢圓周長：橢圓周長沒有精確的初等解析解，在不同需求的場合有不同的公式，中學課本講的橢圓周長公式是誤差比較大的一種。
不可能事件概率一定是0%，而概率是0%的事件，有可能是可能事件。
四色理論實際上是使用了窮舉法證明的，這些數學家也太暴力了。所以現在還有人試圖用更美的方法證明四色理論。
數學史的發展也充滿了暴力，第一次數學危機是由於畢達哥拉斯的學生髮現了無理數根號2，而畢達格拉斯解決這個危機的方法是：淹死他的學生希帕索斯。。。。。
生男生女問題：某國有規定夫婦如果生了男孩，就不能再生了， 如果生女孩，允許再生，直到生出男孩。但你不能人為干擾，比如墜胎之類的， 那麼從數學上看，最後人群男女總比例會是多少？直覺上是不是感覺最後女孩會多很多？其實無論怎樣，結果都是1：1
計算Pi的任意一位：如果我想知道圓周率的第2000位，是不是一定要算出前1999位？嗯，最起碼在上個世紀90年代前是這樣的，但數學家發現了BBP公式，所以現在你可以任意計算任何一位，而不需要知道它前面的值（僅限於二進制）。
讓無數數學家傷心的定理：哥德爾不完備定理。簡單來說該定理指出，我們目前的數學系統中，必定存在不能被證明也不能被證偽的定理。該定理一出，就粉碎了數學家幾千年的夢想——即建立完善的數學系統，從一些基本的公理出發，推導出一切數學的定理和公式。所以，哥德巴赫猜想，黎曼猜想一定能證明或者證偽嗎？或者我們可以換個角度，去證明哥德巴赫猜想既不能證明也不能證偽。
著名的大炮打蚊子的證明：
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