一.O(logn)代碼小證明

我們先來看下面一段代碼:

int cnt = 1;
while (cnt < n)
{
 cnt *= 2;
 //時間複雜度為O(1)的程序步驟序列
}

由於cnt每次在乘以2之後都會更加逼近n，也就是說，在有x次後，cnt將會大於n從而跳出循環，所以$2 ^ x = n$, 也就是$x = log_2n$，所以這個循環的複雜度為O(logn)

二.典型時間複雜度

$c$ 常數
$logN$ 對數級
$log ^ 2N$ 對數平方根
$N$ 線性級
$NlogN$
$N ^ 2$ 平方級
$N ^ 3$ 立方級
$2 ^ N$ 指數級

由此我們可以得知，$logN$的算法效率是最高的

三.常見的$logN$算法

1.對分查找

- (int)BinarySearch:(NSArray *)originArray element:(int)element
{
 int low, mid, high;
 low = 0; high = (int)originArray.count - 1;
 while (low <= high) {
 mid = (low + high) / 2;
 if ([originArray[mid] intValue] < element) {
 low = mid + 1;
 } else if ([originArray[mid] intValue] > element) { 

 high = mid -1;
 } else {
 return mid;
 }
 }
 
 return -1;
}

2. 歐幾里得算法

- (unsigned int)Gcd:(unsigned int)m n:(unsigned int)n
{
 unsigned int Rem;
 while (n > 0) {
 Rem = m % n;
 m = n;
 n = Rem;
 }
 return m;
}

3.冪運算

- (long)Pow:(long)x n:(unsigned int)n
{
 if (n == 0) {
 return 1;
 }
 if (n == 1) {
 return x;
 }
 
 if ([self isEven:n]) {
 return [self Pow:x * x n:n / 2];
 } else {
 return [self Pow:x * x n:n / 2] * x;
 }
}
- (BOOL)isEven:(unsigned int)n
{
 if (n % 2 == 0) {
 return YES;
 } else {
 return NO;
 }
}
 

四.庫裡的log函數

在$$庫裡有log()函數和log2()函數

log()函數的底數默認為自然對數的底數e

log2()函數的底數很顯然就是2咯qwq

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
//#define DEBUG(x) cerr << #x << "=" << x << endl
int main()
{
 cout << log(M_E) << endl;
 cout << log2(2) << endl;
 return 0;
}
/<cmath>/<algorithm>/<cstring>/<cstdio>/<iostream>

然後我們就會得到

1
1

的結果

$$庫裡有兩個常量M_E和M_PI M_E代表的是自然對數的底數e M_PI代表的是圓周率π

最後，也是最基本的最重要的

當題目的數據範圍達到了$10^{18}$的時候，很顯然就要用O(logn)的算法或數據結構了