勾股定理從出現至今，大約有近500種證明方法，有解析、有演繹、有圖形等等，下面給出幾個圖形的證法，體會數形結合的魅力。

01勾股定理的無字證明

畢達哥拉斯

01.1畢達哥拉斯的面積證法（公元前6世紀）

關鍵點：利用左右的面積的不同表示方法尋找聯繫，大部分公式的證法皆用此思路。

歐幾里得

01.2歐幾里得的“新娘的椅子”證法（公元前3世紀）

關鍵點：

首先證明△AGB≌△ACE,

其次可以得到△AGB的面積是正方形ACFG面積的一半，△ACE的面積是矩形AOME面積的一半，故而正方形ACFG面積=矩形AOME面積；

同理，正方形CBKH=矩形BDMO,從而可以得出a^2+b^2=c^2

01.3三國東吳人趙爽的“朱實——黃實”證法（公元3世紀）

關鍵點：c^2= (ab/2) ×4+(a-b)^2，依然是尋求兩種表示的等量關係。

這個圖形也是北京2002世界數學大會的會標。

01.4劉徽的割補證明（公元3世紀）

01.5印度婆什迦羅的證明（公元12世紀）

婆什迦羅在畫出下圖後只寫了一個字“瞧”，充分體現了“無字證明”的驚奇神采。

加菲爾德

01.6加菲爾德證法

加菲爾德在證出此結論5年後，成為美國第20任總統，所以人們又稱其為“總統證法”。

關鍵點：此證法依然採用兩種表示間的聯繫。

上述六種證法實際上全部採用面積關係，兩種表示之間的聯繫來進行證明的。好處就是初中水平的學生都可以看得懂，學得會，在提示之下自己可以單獨證明。

這些證明方法也都有“魔術師帽子裡的兔子”的嫌疑，究竟是是如何想到的，突破口在什麼地方這些都是我們必須思考的問題，只有這樣數學才有意思，人類才會向前發展。

其他代表證法一覽

02勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形就是直角三角形。最長邊所對的角為直角。

這條定理的證法極多，其最簡單的證明，寥寥數字即可完成。

根據餘弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）÷2ab，

由於a^2+b^2=c^2，故cosC=0；

因為0°

不知是否有人懷疑，這個證明方法可行嗎？是否有“循環論證”的弊端。在1979年的全國高考數學試卷中，其中第4題（共10道大題）就是證明勾股定理。當時很多考生對這道題的證明都犯了循環論證的錯誤：有的直接用餘弦定理；有的用瞭解析幾何中兩點間距離公式；還有的用三角恆等式(sinɑ)^2+(cosɑ)^2=1.他們都忘記了這幾個公式、定理的證明與推導都是來自於勾股定理。也就是說，使用了下面的推導順序：

勾股定理→餘弦定理（距離公式、(sinɑ)^2+(cosɑ)^2=1）→勾股定理

但是對於逆定理的上述證明方法，不存在循環論證的問題，這是因為逆定理和定理本身是兩個彼此獨立的命題，我們所依據的推導順序是：

勾股定理→餘弦定理→勾股定理的逆定理。

下面證法來自蘇版教材八年級上冊：

已知在△ABC中，a^2+b^2=c^2，求證△ABC是直角三角形

證明：做任意一個Rt△A'B'C'，使其直角邊B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°。設A'B'=c'

在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得，A'B'=B'C'^2+A'C^2'= a^2+b^2=c'^2

∵a^2+b^2=c^2，∴cc'=c

在△ABC和A'B'C'中，∵AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'，∴△ABC≌△A'B'C'

∴∠C=∠C'=90°

實際上這種證法是歐幾里得在《幾何原本》中所給出的證明的翻版。

勾股定理及其逆定理同是成立，說明a^2+b^2=c^2這個條件既是一個三角形為直角三角形的必要條件，又是它的充分條件。

勾股定理的特徵是把三角形中有一個直角的幾何性質和代數關係式a^2+b^2=c^2聯繫起來。這個代數式給出了直角三角形中三邊長度的依賴關係。