數的運算之代數學

一．概念描述

現代數學：代數學簡稱代數，是數學的一個分支，用字母代表數來研究數的運算性質和規律，從而把許多實際問題歸結為代數方程或方程組。在近代數學中，代數學的研究由數擴大到多種其他對象，研究更為一般的代數運算的性質和規律。

根據研究對象的不斷擴充，代數學的發展可以被分為算術、初等代數、高等代數、近代代數和現代代數五個歷史時期。算術是代數的前身，也被看作代數的一部分。

小學數學：小學數學教材中沒有出現“代數學”的定義，但是在四年級總複習時開始用到“數與代數”一詞。

二．概念解讀

“代數”一詞，來自拉丁文“algebra”，但它又是從阿拉伯文變化而來的，原意是“還原”或“移項”的意思。我國清代數學家李善蘭在1859年首先使用“代數”這個名詞，他將英國數學家棣麼甘所著的書Elemants of Algebra定名為《代數學》。

小學階段主要研究的是“算術”和“初等代數”，所以在小學教材中沒有直接出現“代數”一詞，而是做了一點鋪墊，稱這部分內容為“數與代數”。

算術是研究數在加、減、乘、除、乘方和開方等運算下的性質的數學分支學科。而數的概念是隨著歷史的發展不斷擴充的。我們的祖先由於記事和分配的需要，頭腦中逐漸抽象出了數的概念。古希臘人曾用小石子記錄牲畜的頭數或部落的人數，現在使用的英語單詞calculate（計算）一詞就是從希臘文calculus（石卵）演變而來的。結繩記事、刻痕計數、擺小棍等也是古人常用的計數方法。這些辦法代代使用，逐漸由少到多地形成了自然數的概念並且產生了記數的符號。雖然能夠寫出來的只是有限個，但是人們已經逐漸認識到自然數有無限多個。隨著時間推移，人們逐漸發現，僅僅用自然數表示事物的多少已經不夠了。比如5個人分4件東西，每個人該得幾件呢？用自然數就無法表示，於是產生了分數。自然數（包括零）和正分數，通常稱為算術數。非零自然數也稱為正整數。算術數及其運算是小學階段數學學習的主要內容。

隨著認識的不斷髮展，又逐漸產生了負數的概念。正整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。數的範圍被擴充了，人們的計算更方便了。後來又有了無理數（這部分內容集中在中學學習，在小學階段我們最熟悉的圓周率∏就是其中之一。遺憾的是，在小學階段我們認識的無理數僅此一個，實在太少了，以至於有學生認為無理數很少，其實無理數比有理數多得多）。有理數和無理數一起統稱為實數。數的範圍擴大了，各種數學理論的研究就得以深化。後來實數域又被擴展到了複數域。

儘管人們對數的歸類法還有某些分歧，但在承認數的概念還會不斷髮展這一點上意見是一致的。到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。關於複數部分見下圖。

初等代數是研究數和字母的代數運算理論和方法的，更確切地說，是研究有理數、實數或複數，以及以它們為係數的多項式的代數運算理論和方法的數學分支學科。初等代數是更古老的算術的推廣和發展。在古代，當算術裡積累了大量的各種數量問題的解法後，為了尋求有系統的、更普遍的方法，以解決各種數量關係的問題，就產生了以解方程的原理為中心問題的初等代數。

代數學的起點是用字母表示數。在人類歷史的發展過程中，人們最先接觸的是具體的數量，從具體的數量到抽象的數是人類認識上的第一次飛躍，也由此產生了算術理論。隨著生產的發展，人們發現算術中的許多現象具有共同的特徵，這時，只用幾組算式來表示，就不能代表這幾組算式的一般性規律，若是用語言文字表達又很麻煩。數不夠用了，必然要引起數學史上第二次抽象---用字母表示數。歷經2000多年，最終形成了用字母表數的方法，從此貫穿於全部數學中。由此，數學在表達方法、解題思想和研究方法方面都發生了深刻的變化。

有了字母表示數，代數學中的代數式、代數方程便出現了。因此，代數可以理解為“用字母代替數”，表明它比算術更高明。有了字母表示數，數學中的定理、性質、定律、法則、運算律等都能用字母公式表達出來了。

三．教學建議

①“數與代數”部分是義務教育階段數學課程的重要內容，貫穿於一至九年級。它主要包括數的概念、數的運算、數量的估計：字母表示數，代數式及其運算：方程、方程組、不等式，函數等。由於此部分內容多、跨度大，把握好核心概念就顯得尤為突出。如對“數感”和“符號意識”的培養是這部分內容所承載的重要任務。（具體要求可以參考《（義務教育數學課程標準（201 1年版））解讀》）

②瞭解相關內容的本質與發展過程，從整體上認識相關概念方法的發展脈絡，有助於教學目標的實現。例如，在六年級總複習時，教師在與學生交流了學過哪些數之後，問：“數數的時候，有自然數就夠了，為什麼還要有這麼多的數呢？我們一起來回顧一下。教師出示數的發展過程的圖片和簡短文字，進而在學生解釋的基礎上講解數的發展史，在藉助於數軸將各種數進行分類，形成初級網絡。這樣，學生在瞭解歷史及活動的過程中進一步認識了數。這樣構建知識網絡的教學，不僅有利於學生整體把握知識之間的內在聯繫，還能深化學生對每部分知識的理解和應用，而且能從中提煉數學思想，提升學生的能力水平。

（1）《數學的源於流》（張順燕，高等教育出版社，2003）

該書的第十章第一節主要論述了什麼是代數。

（2）《數學史概論》（李文林，高等教育出版社，2002）

該書關於代數學有非常詳細的闡述，值得大家學習。