集合論的創立者格奧爾格·康托爾，1845年3月3日出生於俄國聖彼得堡（前蘇聯列寧格勒）一個商人家庭。他在中學時期就對數學感興趣。1862年，他到蘇黎世上大學，1863年轉入柏林大學。
當時柏林大學正在形成一個數學教學與研究的中心，他在1867年的博土論文中就已經反映出“離經叛道”的觀點，他認為在數學中提問的藝術比起解法來更為重要。的確，他原來的成就並不總是在於解決間題，他對數學的獨特貢獻在於他以特殊提問的方式開闢了廣闊的研究領域。他所提出的問題一部分被他自己解決，一部分被他的後繼者解決，一些沒有解決的問題則始終支配著某一個方向的發展，例如著名的連續統假設。
1869年康托爾取得在哈勒大學任教的資格，不久就升為副教授，並在1879年升為教授，他一直到去世都在哈勒大學工作。哈勒是一個小地方，而且薪金微薄。康托爾原來希望在柏林找到一個薪金較高、聲望更大的教授職位，但是在柏林，那位很有勢力而且又專橫跋扈的克洛耐克處處跟他為難，阻塞了他所有的道路。原因是克洛耐克對於他的集合論，特別是他的“超窮數”觀點持根本否定的態度。由於用腦過度和精神緊張，從1884年起，他不時犯深度精神抑鬱症，常常住在療養院裡。1918年1月6日他在哈勒大學附近的精神病院中去世。
戴德金
集合論的誕生可以說是在1873年年底。1873年11月，康托爾在和戴德金的通信中提出了一個問題，這個問題使他從以前關於數學分析的研究轉到一個新方向。他認為，有理數的集合是可以“數”的，也就是可以和自然數的集合成一對一的對應。但是他不知道，對於實數集合這種一對一的對應是否能辦到。他相信不能有一對一的對應，但是他“講不出什麼理由”。
不久之後，他承認他“沒有認真地考慮這個問題，因為它似乎沒有什麼價值”。接著他又補充一句，“要是你認為它因此不值得再花費力氣，那我就會完全贊同”。可是，康托爾又考慮起集合的映射問題來。很快，他在1873年12月7日又寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的了，這一天可以看成是集合論的誕生日。
戴德金熱烈的祝賀了康托爾取得的成功。其間，證明的意義也越來越清楚。因為康托爾還成功地證明代數數的集合也是可數的。所謂代數數就是整係數代數方程的根，而象π與e這樣的不能成為任何整係數代數方程的根的數，則稱為超越數。
早在1847年，劉維爾就通過構造的方法（當時大家認為是唯一可接受的方法）證明了超越數的存在，也就是具體造出超越數來。可是，康托爾1874年發表的有關集合論的頭一篇論文《論所有實代數集合的一個性質》斷言，所有實代數數的集合是可數的，所有實數的集合是不可數的。因此，非代數數的超越數是存在的，並且其總數要比我們熟知的實代數數多得多，也就是說超越數的集合也是不可數的。
從左到右:萊布尼茨,康托爾和希爾伯特
有限和無窮的這個特點可以從下面的小故事反映出來，這個故事據說是希爾伯特說的。
某一個市鎮只有一家旅館，這個旅館與通常旅館沒有不同，只是房間數不是有限而是無窮多間，房間號碼為1，2，3，4，……我們不妨管它叫希爾伯特旅館。這個旅館的房間可排成一列的無窮集合（1，2，3，4，…），稱為可數無窮集。
希爾伯特旅館悖論
有一天開大會，所有房間都住滿了。後來來了一位客人，堅持要住房間。旅館老闆於是引用“旅館公理”說：“滿了就是滿了，非常對不起！”。正好這時候，聰明的旅館老闆的女兒來了，她看見客人和她爸爸都很著急，就說：“這好辦，請每位顧客都搬一下，從這間房搬到下一間”。於是1號房間的客人搬到2號房間，2號房間的客人搬到3號房間……依此類推。最後1號房間空出來，請這位遲到的客人住下了。
第二天，希爾伯特旅館又來了一個龐大的代表團要求住旅館，他們聲稱有可數無窮多位代表一定要住，這又把旅館經理難住了。老闆的女兒再一次來解圍，她說：“您讓1號房間客人搬到2號，2號房間客人搬到4號……，k號房間客人搬到2k號，這樣，1號，3號，5號，……房間就都空出來了，代表團的代表都能住下了。”
過一天，這個代表團每位代表又出新花招，他們想每個人佔可數無窮多間房來安排他們的親戚朋友，這回不僅把老闆難住了，連女兒也被難住了。聰明的女兒想了很久，終於也想出了辦法。（因為比較繁瑣，這裡不詳細介紹了）
希爾伯特旅館越來越繁榮，來多少客人都難不倒聰明的老闆女兒。後來女兒進了大學數學系。有一天，康托爾教授來上課，他問：“要是區間[0，1]上每一點都佔一個房間，是不是還能安排？”她絞盡腦汁，要想安排下，終於失敗了。康托爾教授告訴她，用對角線方法證明一切想安排下的方案都是行不通的。
由康托爾的定理，可知無窮集合除了可數集臺之外還有不可數集合，可以證明：不可數集合的元素數目要比可數集合元素數目多得多。為了表示元素數目的多少，我們引進“基數”也稱“勢”的概念，這個概念是自然數的自然推廣。可以與自然數集合N一一對應的所有集合的共同性質是它們都具有相同的數目，這是最小的無窮基數記做ω。（ω是希伯來文字母第一個，讀做阿列夫）。同樣，連續統（所有實數或[0，1]區間內的所有實數集合）的基數是C.康托爾還進一步證明，C＝2ω。，問題是C是否緊跟著ω。的第二個無窮基數呢？這就是所謂連續統假設。
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