說到拉馬努金，這位大神簡直就是BUG般的存在，他對於數學的直覺無人能敵，倘若他不僅僅只是32歲的生命，那麼他絕對有可能會創造新的歷史，讓印度也成為世界數學大國。
印度之子 拉馬努金
人們最佩服的是他怎麼就能想到創造那些匪夷所思的等式來，還有一些他筆記本上的公式都快一百年了，人類都沒有完全揭開背後的謎題，有些奇思妙想的式子，到現在都只是知道這是對的，卻還是不知道拉馬努金是怎麼得來的，他總說這是智慧女神夢中告訴他的。你信麼?曉然菌絕對不信，他肯定有自己的一套辦法得出的，最欣賞的是這個公式。
拉馬努金等式
左邊和黃金分割率相關，右邊是帶有e的連續分式，我們也叫連分數。這個數居然還可以用這麼優美的方式等價起來，真是典雅到不可思議。我們重點來討論一下右半部分的連分數形式。
先來做一道中學數學題熱熱身：
請問這個數值A是多少？初看這個如此複雜的式子有點丈二和尚摸不著頭腦，這玩意也能求？真的可以，我們很容易看到這個式子的分母部分要無窮遞推下去，既然是無窮次遞推，那麼這裡多一次或者少一次遞推對結果都是沒有影響的。實際上，這個問題如果嚴謹地解答，第一步還要論證一下A是收斂的才可以繼續下面的工作。不過這裡的已知條件告訴我們A是收斂到一個具體的值了。於是根據上面的分析，我們可以列出一個方程來。
連分數形式下的黃金分割比解法
這個求解過程可能有些同學們有點不太容易接受，但是這個思路卻是很自然而然的，如此簡單的一個規則，到最後居然是等於黃金分割率，是不是很有意思。
設計中處處體現黃金分割比
既然黃金分割比0.618...可以用這種方式來表示，那麼別的數呢？數學上證明過，任意一個實數都是可以表示成上面的連分式形式。當然也是可以的，只不過無理數中下面的連分數是無限的，而有理數的連分數形式都是有限的。既然實數都可以用連分數表示，那不就相當於是我們日常使用的大部分數都可以用這種方式來表示了。
可能有些同學會注意到，A連分數形式的分母中的1都加了下劃線。這些加了下劃線的數字有什麼特別嗎？當然有，這些1在連分數形式下就好像是座標一樣，牢牢地幫助我們去定位了最終的黃金分割比。我們現在把一個數的整數部分提取出來，再把這些劃線的1分別排開，於是黃金分割率Ф=0.6180339887 ...=[0;1,1,1,1...],這裡的0是Ф的整數部分。我們再來看幾個經典的連分數形式：
連分數形式下的根號2
這裡的根號2如果用連分數形式來表示，就是[1;2,2,2,2...]了。有興趣的同學可以證明一下上面這個等式。
觀察上面幾個連分數的例子，對於一般無理數，我們彷彿已經習慣了這樣無窮簡單的表示形式了，那對於一些特殊的無理數呢？比如圓周率π呢？這又是怎麼的景象，從連分數開始出現之後就有人做了研究，得出π的連分數形式是什麼了？
連分數形式下的π
由於π這個數字是超越數，我們就很難找到一種簡單的方式來表示，[ ]內的數字肯定不像上面那樣有明顯的規律。π=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3...]。
通過上面的這幾個式子我們發現，用這種方式來表示某個數字，也是很簡單明瞭，讓人印象深刻。不過話說回來，我們為什麼好好的十進制表示法不用，要來琢磨這種表示方法呢？肯定是有意義的啊。我們可以通過連分數迅速地得到逼近真實無理數值的一個分數。
我們來試試利用連分數形式來找π的近似分數值。
假設我們這裡逐漸提高精度來操作，於是
連分數形式下逐步逼近π
其中(1)中的22/7是約率，(2)中的355/113叫密率。這兩個相當接近真實圓周率的數值是我國南北朝時期偉大的數學家祖沖之首次得到的。在中學時代，曉然菌看到一本書上寫著這樣一句話，這裡的密率355/113的精確度在分子分母1000以內的最接近圓周率的一個分數值，與真實π僅相差千萬分之三！我們現在已經不清楚祖大神當年是通過怎樣的計算找到密率的值的，事實上那個時候的曉然菌也想不通，直到看到連分數可以無限逼近真實數值的方法之後才恍然大悟。
祖沖之大神
祖大神用的方法是割圓術求圓周率，實際操作中，他不斷用正多邊形來逼近一個真正的圓，使得這個圓的面積在內外接正多邊形的範圍之間，隨著正多邊形邊數的增加，這個區間越來越小，那麼求到的圓周率就越來越接近真實值。祖大神當年計算到正12288邊形才把圓周率精確到小數點後7位！現在看來，祖大神用的方法應該跟這裡的連分數逼近法很相似。只要重複這樣的過程，就可以很方便地得到分數形式的近似值。
人們都認可的連分數在某種情況下的確有著比十進制表示法更方便。但是人們也從來沒有想到，在這個看似自然而然的表示方法下，隱藏著一個巨大且詭異的謎題。
蘇聯數學家亞歷山大·雅科夫列維奇·辛欽
1964年，蘇聯數學家亞歷山大·雅科夫列維奇·辛欽證明了，幾乎對於所有的實數都有，下面這個結論：
連分數 定義
其中a0,a1,a2,...的幾何平均數會趨向於一個固定的常數K，這裡的K也叫辛欽常數。目前計算的結果，大約是2.6854520010...。用數學語言表示就是：
辛欽常數的定義
任意實數都可以用上面的連分數形式來表示的結論，我們想想完全能夠接受，這裡的a0,a1,a2...都可以是整數，我們好好思考後也勉強接受。現在又出來一個更加無厘頭的結論說的是這裡的a0,a1,a2...之間都是有關係的，它們的幾何平均值居然還能收斂在一個值附近！這個實在太難以讓人接受了！
也就是說π=[3;7,15,1,292,1,...]，把這裡的所有整數相乘再開n次方會逼近2.685452...
現在也找不到資料來證實當年辛欽是怎麼從連分數形式裡提煉出這個驚人的結論。事實上，我們稍加思考就能意識到，辛欽應該是通過大量的實例分析後才歸納出這個結論來，因為，對於任意一個符合條件的無理數，這樣的計算都是空前繁雜的，60年代，正是大型計算機發展地如火如荼的時代，辛欽本人應該是藉助了計算機才完成了這樣的猜想並且給出了證明。
第一臺電子計算機 埃尼阿克
20世紀90年代，人們用了IBM RS6000/590工作站，計算了2.5小時，得到了K的前7350位，這個常數值的確穩定地存在著。辛欽常數已經發現了快60年了，但是數學家們對於這個數的研究卻非常有限，人們甚至都無法判斷這個數字是無理數還是有理數這個根本性問題。不知道大家注意到沒有，辛欽的論述是幾乎所有的實數都滿足，那有哪些實數不滿足呢？目前為止的研究表明，有理數、實係數二次方程的解（比如黃金分割率就不滿足），特別的人們發現自然對數的底e也不滿足。但是為什麼π卻滿足呢？e和π不是最著名的超越數麼？究竟符合什麼條件的實數才會出現辛欽常數呢，這個問題顯然對於現代的數學水平要求太高，人們完全沒有能力去解決，這個恐怕要再等上許多年了。
π和e的相同與不同
種種跡象表明，這個常數的存在絕對不是偶然的，在這背後肯定有非常深刻的原因。也許是辛欽過早地發現了這個結論，遠遠超越了現代人類數學發展的水平，所以即使過了六十年，數學界也基本上對於這個問題無從下手。
辛欽常數的發現完全出乎了人們的意料，就像是一個剛剛完全乾涸的池塘裡下了一場小雨之後居然發現這裡有一條超級大魚，人們根本想不到這裡會出現一條大魚，更加也不明白為什麼這裡會有大魚。只能希望，我們以後的數學發展能夠從本質上揭示這個詭異常數存在的真正原因了。
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