初中數學裡，三角函數與圓相結合的綜合題是中考必考題型，圓提供背景或"舞臺"，三角函數"演唱”，二者相互融合建立方程，最終完美地進行了一場饒有趣味，別開生面的"表演”。
【題目呈現】
1.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交於點E，過點B的切線BP與CD的延長錢交於點P，連接DC，CB.
(1)求證:AE×EB=CE×ED;
(2)若⊙O的半徑為3，OE=2BE，CE/DE=9/5，求tan∠OBC的值及DP的長.
【分析】第(1)問相對簡單，要證AE×EB=CE×ED，化為比例式，AE/CE=ED/EB，利用"三點定型法”可確定須證△ADE∽△CBE(或△AEC∽△DEB)，這裡只給出前一種的圖形分析，後一種與前一種類似，如下圖，
連接AD，在圓的背景下，依據同弧所對的圓周角相等，可得∠A=∠BCD，又∠AED=∠CEB，∴△AED∽△CEB，∴AE/CE=ED/EB，∴AE×EB=CE×ED.
(2)要求tan∠OBC，則需將∠OBC放在直角三角形中，求出∠OBC所在直角三角形的兩直角邊的長度，題中給出半徑為3，OE=2BE，則OE=2，BE=1，AE=5，又知CE/DE=9/5，可設CE=9a，DE=5a，由(1)知AE×EB=CE×ED，∴5×1=9a×5a，解得a=1/3，∴CE=3，DE=5/3，此時看出OC=CE=3，∴△OCE為等腰三角形，於是過點C作CF⊥AB於點F，如下圖，
則OF=EF=OE/2=1，∴EF=EB=1，FB=2，在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF=2√2，在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴tan∠OBC=CF/FB=2√2/2=√2，由於BP是⊙O的切線，AB是直徑，∴∠EBP=90°，∴∠CFB=∠EBP，又EF=EB，∠CEF=∠PEB，∴△CFE≌△PBE，∴EP=CE=3，∴DP=EP一ED=3一5/3=4/3.
2.如圖，在菱形ABCD中，點P在對角線AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圓.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若AC=8，tan∠BAC=√2/2，求⊙O的半徑.
【分析】(1)要證AB是⊙O的切線，得連接OA，證∠OAB=90°，如何證呢？須從條件中找直角，注意到條件PA=PD，也就知弧AP=弧DP，於是連接OP，且OP交AD於E，如下圖，
則OP⊥AD，AE=DE，∴∠EAP+∠EPA=90°，∵OA=OP，∴∠OAE+∠EAP=∠EPA，∴∠OAE+∠EAP+∠EAP=90°，∵四邊形ABCD為菱形，∠EAP=∠PAB，∴∠OAE+∠EAP+∠PAB=90°，即∠OAB=90°，∴直線AB為⊙O的切線.
(2)由於AC=8，tan∠BAC=√2/2，又菱形的對角線互相垂直平分，一條對角線平分一組內對角，∴連接BD交AC於F，如圖
則AF=4，tan∠BAC=tan∠DAC=√2/2，∴BF=DF=2√2，在Rt△AFD中，可得AD=2√6，∴AE=AD/2=√6，在Rt△AEP中，PE=tan∠DAC×AE=√2/2×√6=√3，設⊙O的半徑為r，則OE=r一PE=r一√3，在Rt△AEO中，由勾股定理可得r²=(√6)²+(r一√3)²，解得r=3√3/2，∴⊙O的半徑為3√3/2.
3.如圖，四邊形ABCD內接於圓O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=3/5，求AD的長.
【分析】解法一，由∠A=90°，則可知∠DCB=90°，又cosB=3/5，我們知道，由於給出某個角的三角函數，則可尋找該角所在的直角三角形，再結合其他條件，推導出所求結果，依託∠A=90°，延長AD，BC交於點E，如圖，
易知∠B=∠EDC，∴cosB=cos∠EDC=CD/DE=3/5，在Rt△ECD中，∴DE=5/3×CD=50/3，在Rt△EAB中，cosB=AB/BE=3/5，∴BE=85/3，由勾股定理得AE=68/3，∴AD=AE一DE=6.
方法二，依託∠BCD=90°，延長BA，CD交於點E，如圖，
易知∠ADE=∠B，∵cosB=3/5=cos∠ADE，依據公式sin²a+cos²a=1，可得sinB=sin∠ADE=4/5，設AD=3m，AE=4m，ED=5m，∴CE=CD+ED=10+5m，EB=AB+AE=17+4m，∴CE/EB=4/5，即(10+5m)/(17+4m)=4/5，解得m=2，∴AD=6.
方法三，過點C作CE⊥AB於E，DF⊥CE於F，如圖，易知∠DCF=∠B，
由於CD=10，∴CF=cos∠DCF×CD=3/5×10=6，則DF=8，易知DF=AE，∴EB=AB一AE=17一8=9，在Rt△CBE中，CE=EB/tanB=9÷3/4=12，∴AD=EF=CE一CF=12一6=6.
方法四，給出圖形，同學們自己做一下，
當然本題還有其他解法，同學們開動腦筋，大膽地思考吧！
4.如圖，AB是⊙O的直徑，D，E為⊙O上位於AB異側的兩點，連接BD並延長至點C，使得CD=BD，連接AC交⊙O於點F，連接AE，DE，DF.
(1)求證:∠E=∠C;
(2)若∠E=55°，求∠BDF的度數;
(3)設DE交AB於點G，若DF=4，cos=2/3，E是弧AB的中點，求EG×ED的值.
【分析】(1)由於AB是直徑，想到直徑所對的圓周角為直徑，同時BD=CD，則AD垂直平分BC，如圖，
則∠B=∠C，又∠E，∠B都對弧AD，∴∠E=∠B，∴∠E=∠C.
(2)若∠E=55°，則∠B=∠E=55°，在Rt△ADB中，可得∠DAB=35°，由(1)知∠FAB=2∠DAB=70°，由於圓內接四邊形對角互補，可得∠AFD=125°，在四邊形ABDF中，可得∠BDF=110°.
(3)由於E為弧AB的中點，想到連接OE，如圖
則OE⊥AB，△AOE為等腰直角三角形，AE=AO√2，由於∠B=∠C，又∠B=∠CFD，∴∠C=∠CFD，CD=DB=DF=4，在Rt△ADB中，∵cosB=2/3，即DB/AB=2/3，∴AB=6，∴AO=OE=3，AE=3√2.那麼EG×ED又如何算呢？我們要熟記下圖的相似模型，如圖，
△AEG與△DEA中，∠E共用，若∠D=∠EAG(或∠AGE=∠DAE)，則△AEG∽△DEG，則AE/ED=EG/AE，即AE²=EG×ED，我們觀察到AE為公共邊，EG與ED在一條直線上，若能熟悉這一模型，自然想到證△AEG∽△DEA，由於E為弧AB的中點，則∠ADE=∠BDE，又∠EAG=∠BDE，∴∠ADE=∠EAG，而∠E共用，∴△AEG∽△DEA，∴AE²=EG×ED=(3√2)²=18.
5.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連接AC，過弧BD上的一點E作EG∥AC交CD的延長線於點G，連接AE交CD於點F，且EG=FG，連接CE.
(1)求證:△ECF∽△GCE;
(2)求證:EG是⊙O的切線;
(3)延長AB交GE的延長線於點M，若tanG=3/4，AH=3√3，求EM的值.
【分析】依條件聯想相關知識，向結論靠攏，本題，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，想到垂徑定理，從而弧AD=弧AC，想到同弧所對的圓周角相等，由EG=FG，可得底角相等，由EG∥AC，想到內錯角相等.
(1)△ECF與△GCE，共用∠GCE，EG∥AC，得∠ACD=∠G，由AB⊥CD，得弧AD=弧AC，∴∠AEC=∠ACD，∴∠G=∠AEC，則△ECF∽△GCE.
(2)要證EG是⊙O的切線，須連接OE，如圖，
則∠AEO=∠EAO，又EG=FG，∴∠GEF=∠GFE，而∠GFE=∠AFH，∴∠GEF=∠AFH，又∠AFH+∠EAO=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，即∠GEO=90°，∴EG是⊙O的切線.
(3)∵∠ACD=∠G，∴tan∠ACD=tanG=3/4，又AH=3√3，∴HC=4√3，這時我們想到平時垂徑定理的有關習題，可算出半徑，設OC=r，OH=r一3√3，連接OC，如圖，
在Rt△HOC中，(r一3√3)²+(4√3)²=r²，解得r=25√3/6，由於GM∥AC，∴∠M=∠CAH，∴tanM=tan∠CAH=HC/AH=4/3，在Rt△OEM中，tanM=OE/EM，∴EM=OE/tanM=25√3/6÷4/3=25√3/8.
當然，也可用△AHC∽△MEO，求得EM.
【總結】依據條件，聯想相關概念，公式，定理，數學模型，自己的經驗總結，步步為營向結論靠攏，最終解決問題，所以需要同學們，一方面熟記基礎知識，另一方面，總結解題經驗，提高自己的分析問題，解決問題的能力.
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